Równanie płaskiej fali biegnącej. Równanie fali płaskiej. Prędkość fazowa Równanie fali płaskiej w postaci zespolonej
fale mechaniczne- proces dystrybucji wibracje mechaniczne w medium (ciecz, ciało stałe, gaz) Należy pamiętać, że fale mechaniczne przenoszą energię, tworzą, ale nie przenoszą masy. Najważniejsza cecha fala to prędkość jej propagacji. Fale jakiejkolwiek natury nie rozchodzą się w kosmosie natychmiast, ich prędkość jest skończona.
Geometria wyróżnia: sferyczne (przestrzenne), jednowymiarowe (płaszczyznowe), fale spiralne.
Fala nazywa się płaska, jeśli jego powierzchnie falowe są płaszczyznami równoległymi do siebie, prostopadłymi do prędkości fazowej fali (ryc. 1.3). W konsekwencji promienie fali płaskiej są równoległymi liniami prostymi.
Równanie fali płaskiej::
Opcje :
Okres oscylacji T to okres czasu, po którym stan układu przyjmuje te same wartości: u(t + T) = u(t).
Częstotliwość oscylacji n to liczba oscylacji w ciągu 1 sekundy, odwrotność okresu: n = 1/T. Jest mierzony w hercach (Hz), ma wymiar s–1. Wahadło poruszające się raz na sekundę oscyluje z częstotliwością 1 Hz
Faza oscylacji j- wartość pokazująca, jaka część oscylacji minęła od początku procesu. Jest mierzony w jednostkach kątowych - stopniach lub radianach.
Amplituda oscylacji A- maksymalna wartość, jaką przyjmuje układ oscylacyjny, „zakres” oscylacji.
4.Efekt Dopplera- zmiana częstotliwości i długości fal odbieranych przez obserwatora (odbiornik fal), spowodowana względnym ruchem źródła fal i obserwatora. Wyobrażać sobieże obserwator zbliża się z określoną prędkością do stacjonarnego źródła fal. Jednocześnie napotyka więcej fal w tym samym przedziale czasowym niż przy braku ruchu. Oznacza to, że odbierana częstotliwość jest większa niż częstotliwość fali emitowanej przez źródło. Tak więc długość fali, częstotliwość i prędkość propagacji fali są powiązane zależnością V= / , - długość fali.
Dyfrakcja- zjawisko pochylania się wokół przeszkód, których wielkość jest porównywalna z długością fali.
Ingerencja- zjawisko, w którym w wyniku superpozycji fal koherentnych następuje wzrost lub spadek oscylacji.
Doświadczenie Younga Pierwszym eksperymentem interferencyjnym, który wyjaśniono na podstawie falowej teorii światła, był eksperyment Younga (1802). W eksperymencie Younga światło ze źródła, które służyło jako wąska szczelina S, padało na ekran z dwiema blisko siebie rozmieszczonymi szczelinami S1 i S2. Przechodząc przez każdą ze szczelin, wiązka światła poszerzyła się w wyniku dyfrakcji, a zatem na białym ekranie E, wiązki światła, które przeszły przez szczeliny S1 i S2, zachodziły na siebie. W obszarze nakładających się wiązek światła zaobserwowano wzór interferencyjny w postaci naprzemiennych jasnych i ciemnych pasów.
2.Dźwięk - mechaniczna fala podłużna, która rozchodzi się w ośrodkach elastycznych, ma częstotliwość od 16 Hz do 20 kHz. Istnieją rodzaje dźwięków:
1. ton prosty - drgania czysto harmoniczne emitowane przez kamerton (metalowy instrument, który wydaje dźwięk po uderzeniu):
2. złożony ton - nie sinusoidalny, ale okresowy oscylacja (promieniowana przez różne instrumenty muzyczne).
Zgodnie z twierdzeniem Fouriera, tak złożona oscylacja może być reprezentowana przez zbiór składowych harmonicznych o różnych częstotliwościach. Najniższa częstotliwość nazywana jest tonem podstawowym, a wiele częstotliwości to alikwoty. Zbiór częstotliwości wskazujący ich względną intensywność (gęstość strumienia energii fal) nazywany jest widmem akustycznym. Spektrum tonu złożonego jest liniowe.
3. szum - dźwięk, który uzyskuje się z dodania wielu niespójnych źródeł. Widmo - ciągłe (ciągłe):
4. uderzenie dźwiękowe - krótkotrwałe uderzenie dźwiękowe, np. bawełna, eksplozja.
Odporność na fale- stosunek ciśnienia akustycznego w fali płaskiej do prędkości oscylacji cząstek ośrodka. Charakteryzuje stopień sztywności ośrodka (tj. zdolność ośrodka do przeciwstawiania się tworzeniu odkształceń) w fali biegnącej. Wyrażony wzorem:
P / V \u003d p / c, P- ciśnienie akustyczne, p- gęstość, c- prędkość dźwięku, V- głośność.
3 - cechy, które nie zależą od właściwości odbiornika:
Intensywność (siła dźwięku) – energia niesiona przez fala dźwiękowa na jednostkę czasu przez obszar jednostki, ustawiony prostopadle do fali dźwiękowej.
częstotliwość tonu.
Spektrum dźwięku to liczba alikwotów.
Przy częstotliwościach poniżej 17 i powyżej 20 000 Hz wahania ciśnienia nie są już odbierane przez ludzkie ucho. Wzdłużne fale mechaniczne o częstotliwości mniejszej niż 17 Hz nazywane są infradźwiękami. Wzdłużne fale mechaniczne o częstotliwości przekraczającej 20 000 Hz nazywane są ultradźwiękami.
5. UZ- mechaniczne fala o częstotliwości większej niż 20 kHz. Ultradźwięki to naprzemienna kondensacja i rozrzedzenie ośrodka. W każdym medium prędkość propagacji ultradźwięków jest taka sama . Osobliwość- wąska wiązka, która pozwala oddziaływać lokalnie na obiekty. W ośrodkach niejednorodnych z małymi wtrąceniami cząstek zachodzi zjawisko dyfrakcji (przeszkody otaczające). Przenikanie ultradźwięków do innego medium charakteryzuje się współczynnikiem przenikania () =L /L, gdzie długość ultradźwięków po i przed przenikaniem do medium.
Wpływ ultradźwięków na tkanki ciała jest mechaniczny, termiczny, chemiczny. Zastosowanie w medycynie dzieli się na 2 obszary: metoda badań i diagnozy oraz metoda działania. jeden) echoencefalografia- wykrywanie guzów i obrzęków mózgu ; kardiologia- pomiar dynamiki serca. 2) Fizjoterapia ultradźwiękowa- efekty mechaniczne i termiczne na tkaninie; podczas operacji jako „skalpel ultradźwiękowy”
6. Idealny płyn wyimaginowany nieściśliwy płyn, pozbawiony lepkości i przewodności cieplnej. Idealny płyn nie ma tarcia wewnętrznego, jest ciągły i nie ma struktury.
Równanie ciągłości -V 1 A 1 = V 2 A 2 Przepływ objętościowy w dowolnej rurze prądowej, ograniczony sąsiednimi liniami prądu, musi być zawsze taki sam we wszystkich jej przekrojach
Równanie Bernoulliego - R v 2 / 2 + Rst + Rgh= const, w przypadku stałego przepływu, całkowita wysokość podnoszenia jest taka sama we wszystkich przekrojach aktualnej rury. R v 2 / 2 + Rst= const – dla poziomu. działki.
7Przepływ stacjonarny Przepływ, którego prędkość nigdy się nie zmienia nigdzie w cieczy.
przepływ laminarny- uporządkowany przepływ cieczy lub gazu, w którym ciecz (gaz) porusza się niejako warstwami równoległymi do kierunku przepływu.
burzliwy przepływ- forma przepływu cieczy lub gazu, w której ich elementy wykonują nieuporządkowane, nieustalone ruchy po skomplikowanych trajektoriach, co prowadzi do intensywnego mieszania się warstw poruszającej się cieczy lub gazu.
linie- linie, do których styczne pokrywają się we wszystkich punktach z kierunkiem prędkości w tych punktach. W przepływie stacjonarnym linie prądu nie zmieniają się w czasie.
Lepkość - tarcie wewnętrzne, właściwość ciał płynnych (cieczy i gazów) do opierania się ruchowi jednej z ich części względem drugiej
równanie Newtona: F = (dv/dx)Sη.
Współczynnik lepkości- Współczynnik proporcjonalności w zależności od rodzaju cieczy lub gazu. Liczba używana do ilościowego określenia właściwości lepkości. Współczynnik tarcia wewnętrznego.
ciecz nieniutonowska nazywana jest cieczą, w której jej lepkość zależy od gradientu prędkości, którego przepływ jest zgodny z równaniem Newtona. (Polimery, skrobia, mydło w płynie krew)
Newtona - Jeśli w poruszającym się płynie jego lepkość zależy tylko od jego natury i temperatury, a nie zależy od gradientu prędkości. (woda i olej napędowy)
.Liczba Reynoldsa- scharakteryzowanie związku między siłami bezwładności a siłami lepkości: Re \u003d rdv / m, gdzie r jest gęstością, m jest dynamicznym współczynnikiem lepkości cieczy lub gazu, v jest prędkością przepływu W R< Rekр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re >Rekp przepływ może stać się turbulentny.
Kinematyczny współczynnik lepkości- stosunek lepkości dynamicznej cieczy lub gazu do ich gęstości.
9. Metoda Stokesa, metoda oparta a Wzór Stokesa na siłę oporu, która występuje, gdy kulka porusza się w lepkim płynie, uzyskany przez Stokesa: Fc = 6 π η V r. Aby pośrednio zmierzyć współczynnik lepkości η, należy wziąć pod uwagę ruch jednostajny kuli w lepkim płynie i zastosować warunek ruch jednostajny: suma wektorowa wszystkich sił działających na piłkę wynosi zero.
Mg + F A + F c \u003d 0 (wszystko w formie wektorowej !!!)
Teraz konieczne jest wyrażenie siły grawitacji (mg) i siły Archimedesa (Fa) za pomocą znanych wielkości. Zrównując wartości mg = Fa + Fс otrzymujemy wyrażenie na lepkość:
η \u003d (2/9) * g * (ρ t - ρ w) * r 2 / v \u003d (2/9) * g * (ρ t - ρ w) * r 2 * t / L. Promień wynosi mierzona bezpośrednio kulką mikrometryczną r (o średnicy), L to droga kulki w cieczy, t to czas przemieszczania się toru L. Aby zmierzyć lepkość zgodnie z metodą Stokesa, droga L jest pobierana nie z powierzchni cieczy, ale pomiędzy znakami 1 i 2. Wynika to z następujących okoliczności. Wyprowadzając wzór roboczy na współczynnik lepkości metodą Stokesa wykorzystano warunek ruchu jednostajnego. Na samym początku ruchu (początkowa prędkość piłki wynosi zero), siła oporu również wynosi zero, a piłka ma pewne przyspieszenie. Wraz ze wzrostem prędkości rośnie siła oporu, a wypadkowa trzech sił maleje! Dopiero po pewnym znaku ruch można uznać za jednolity (a następnie w przybliżeniu).
11.Formuła Poiseuille'a: Przy stałym laminarnym ruchu lepkiego, nieściśliwego płynu przez cylindryczną rurkę o okrągłym przekroju, przepływ objętościowy na sekundę jest wprost proporcjonalny do spadku ciśnienia na jednostkę długości rury i czwartej potęgi promienia oraz odwrotnie proporcjonalny do współczynnik lepkości płynu.
SAMOLOT FALA
SAMOLOT FALA
Fala, w której kierunek propagacji jest taki sam we wszystkich punktach przestrzeni. Najprostszym przykładem jest jednorodny monochromatyczny nietłumione P.v.:
u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)
gdzie A - amplituda, j= wt±kz - , w=2p/Т - częstotliwość kołowa, Т - okres drgań, k - . Powierzchnie fazy stałej (fronty fazowe) j=const P.v. to samoloty.
W przypadku braku dyspersji, gdy vph i vgr są takie same i stałe (vgr = vph = v), istnieją stacjonarne (tj. poruszające się jako całość) przemieszczające się PV, które dopuszczają ogólną reprezentację postaci:
u(z, t)=f(z±vt), (2)
gdzie f jest funkcją arbitralną. W ośrodkach nieliniowych z dyspersją możliwe są również stacjonarne przebiegi propagujące. typu (2), ale ich kształt nie jest już dowolny, lecz zależy zarówno od parametrów układu, jak i od charakteru ruchu. W absorbujących (rozpraszających) mediach P. wiek. zmniejszać ich amplitudę w miarę ich propagacji; przy tłumieniu liniowym można to uwzględnić, zastępując k in (1) przez zespoloną liczbę falową kd ± ikm, gdzie km jest współczynnikiem. tłumienie P.in.
Jednolity przebieg, który zajmuje całość nieskończoności, jest idealizacją, ale każdy przebieg skoncentrowany w skończonym regionie (na przykład prowadzony przez linie transmisyjne lub falowody) może być reprezentowany jako superpozycja przebiegu. z taką lub inną przestrzenią. widmo k. W takim przypadku fala może nadal mieć płaski front fazowy, ale niejednorodną amplitudę. Taki P. w. nazywa płaskie fale niejednorodne. Oddzielne sekcje sferyczne i cylindryczny. fale, które są małe w porównaniu z promieniem krzywizny frontu fazowego, zachowują się w przybliżeniu jak P.V.
Fizyczny słownik encyklopedyczny. - M.: Encyklopedia radziecka. . 1983 .
SAMOLOT FALA
- fala, uk-kierunek propagacji jest taki sam we wszystkich punktach przestrzeni.
gdzie ALE - amplituda, - faza, - częstotliwość kołowa, T - okres oscylacji, k- numer fali. = const P.c. to samoloty.
W przypadku braku dyspersji, gdy prędkość fazy v f i grupa v gr są takie same i stałe ( v gr = v f = v) istnieją stacjonarne (tj. poruszające się jako całość) podróżujące P. c., które można przedstawić w formie ogólnej
gdzie f- funkcja dowolna. W ośrodkach nieliniowych z dyspersją możliwe są również stacjonarne wędrujące fale parametryczne. typu (2), ale ich kształt nie jest już dowolny, lecz zależy zarówno od parametrów układu, jak i od charakteru ruchu falowego. W absorbujących (dyssypatywnych) ośrodkach P. k na zespolonej liczbie falowej k d ik m, gdzie k m - współczynnik. tłumienie P.in. Jednorodne pole falowe zajmujące wszystko, co nieskończone, jest idealizacją, ale każde pole falowe skoncentrowane w skończonym obszarze (na przykład skierowane linie przesyłowe lub falowody), można przedstawić jako superpozycję. w. z takim lub innym widmem przestrzennym k. W takim przypadku fala może nadal mieć płaski front fazowy o nierównomiernym rozkładzie amplitudy. Taki P. w. nazywa płaskie fale niejednorodne. Zadz. działki sferyczne lub cylindryczny. fale, które są małe w porównaniu z promieniem krzywizny frontu fazowego, zachowują się w przybliżeniu jak P.V.
Oświetlony. patrz w art. Fale.
M. A. Miller, L. A. Ostrovsky.
Encyklopedia fizyczna. W 5 tomach. - M.: Encyklopedia radziecka. Redaktor naczelny A. M. Prochorow. 1988 .
Opisując proces falowy, należy znaleźć amplitudy i fazy ruchu oscylacyjnego w różnych punktach ośrodka oraz zmiany tych wielkości w czasie. Problem ten można rozwiązać, jeśli wiadomo, według jakiego prawa oscyluje i jak ciało, które wywołało proces falowy, oddziałuje z ośrodkiem. Jednak w wielu przypadkach nie ma znaczenia, jakim ciałem jest wzbudzana dana fala, ale rozwiązany jest prostszy problem. Dany stan ruchu oscylacyjnego w niektórych punktach ośrodka w określonym momencie i trzeba ustalić stan ruchu oscylacyjnego w innych punktach ośrodka.
Jako przykład rozważ rozwiązanie takiego problemu w prostym, ale jednocześnie ważnym przypadku propagacji płaskiej lub sferycznej fali harmonicznej w ośrodku. Oznaczmy zmienną wartość przez ty. Wartością tą mogą być: przemieszczenie cząstek ośrodka względem ich położenia równowagi, odchylenie ciśnienia w danym miejscu ośrodka od wartości równowagi itp. Wtedy zadaniem będzie odnalezienie tzw równania falowe - wyrażenie określające zmienną wartość ty w funkcji współrzędnych punktów ośrodka x, tak, z i czas t:
ty = ty(x, tak, z, t). (2.1)
Niech dla uproszczenia u będzie przesunięciem punktów w ośrodku sprężystym, gdy rozchodzi się w nim fala płaska, a drgania punktów mają charakter harmoniczny. Ponadto kierujemy osie współrzędnych tak, aby oś 0x pokrywa się z kierunkiem propagacji fali. Wtedy powierzchnie fal (rodzina płaszczyzn) będą prostopadłe do osi 0x(rys. 7) a ponieważ wszystkie punkty powierzchni fali oscylują w ten sam sposób, przemieszczenie ty będzie zależeć tylko od X oraz t: ty = ty(x, t). Dla oscylacji harmonicznych punktów leżących na płaszczyźnie X= 0 (rys. 9), równanie jest poprawne:
ty(0, t) = A bo ( t + α ) (2.2)
Znajdźmy rodzaj oscylacji punktów płaszczyzny odpowiadający dowolnej wartości X. Aby przejść drogę z samolotu X= 0 do tej płaszczyzny fala potrzebuje czasu τ = x/s (Z to prędkość propagacji fali). W konsekwencji oscylacje cząstek leżących w płaszczyźnie X, będzie wyglądać jak:
Tak więc równanie fali płaskiej (zarówno podłużnej, jak i poprzecznej) rozchodzącej się w kierunku osi 0x wygląda tak:
Wartość ALE to amplituda fali. Początkowa faza fali α określony przez wybór punktów odniesienia X oraz t.
Ustalmy pewną wartość fazy w nawiasach kwadratowych równania (2.3) przez ustawienie
Rozróżnijmy tę równość względem czasu, biorąc pod uwagę, że częstotliwość cykliczna ω i faza początkowa α są stałe:
Zatem prędkość propagacji fali Z w równaniu (2.3) jest prędkością ruchu fazowego, w związku z czym nazywa się to prędkość fazowa . Zgodnie z (2.5) dx/dt> 0. Zatem równanie (2.3) opisuje falę propagującą się w kierunku narastania X, tak zwany podróżująca fala progresywna . Falę rozchodzącą się w przeciwnym kierunku opisuje równanie
i zadzwoniłem podróżująca fala regresywna . Rzeczywiście, przyrównując fazę fali (2.6) do stałej i różnicując wynikową równość, dochodzimy do zależności:
z czego wynika, że fala (2.6) rozchodzi się w kierunku malejącym X.
Wprowadzamy ilość
który jest nazywany numer fali i jest równa liczbie długości fal mieszczących się w przedziale 2π metrów. Korzystanie z formuł λ = c/v oraz ω = 2π ν liczba falowa może być reprezentowana jako
Otwierając nawiasy we wzorach (2.3) i (2.6) oraz uwzględniając (2.8), otrzymujemy następujące równanie dla fal płaskich rozchodzących się wzdłuż (znak „-”) i przeciw (znak „+”) osi 0 X:
Wyprowadzając wzory (2.3) i (2.6) założono, że amplituda oscylacji nie zależy od X. W przypadku fali płaskiej obserwuje się to, gdy energia fali nie jest pochłaniana przez ośrodek. Doświadczenie pokazuje, że w ośrodku pochłaniającym intensywność fali stopniowo maleje wraz z odległością od źródła oscylacji – tłumienie fali obserwuje się zgodnie z prawem wykładniczym:
W związku z tym równanie fali płaskiej tłumionej ma postać:
gdzie A 0 - amplituda w punktach płaszczyzny X= 0 i γ jest współczynnikiem tłumienia.
Teraz znajdźmy równanie fala sferyczna . Każde prawdziwe źródło fal ma pewien zasięg. Jeśli jednak ograniczymy się do rozpatrywania fali w odległościach od źródła, znacznie większych niż jej wielkość, wówczas można rozważyć źródło sprecyzować . W izotropowym i jednorodnym ośrodku fala generowana przez źródło punktowe będzie kulista. Załóżmy, że faza oscylacji źródła t+α. Następnie punkty leżące na powierzchni fali o promieniu r, będzie oscylować z fazą
Amplituda oscylacji w tym przypadku, nawet jeśli energia fali nie zostanie pochłonięta przez ośrodek, nie pozostanie stała - maleje w zależności od odległości od źródła zgodnie z prawem 1/ r. Dlatego równanie fali sferycznej ma postać:
gdzie ALE jest stałą wartością liczbowo równą amplitudzie oscylacji w odległości od źródła równej jedności.
Dla absorbującego medium w (2.11) musimy dodać czynnik e-γr. Przypomnijmy, że na mocy przyjętych założeń, równanie (2.11) jest ważne tylko dla r znacznie przekraczające wymiary źródła drgań. Kiedy starasz się r do zera, amplituda idzie do nieskończoności. Ten absurdalny wynik tłumaczy się niestosowalnością równania (2.11) dla małych r.
Zanim zajmiemy się procesem falowym, podajmy definicję ruchu oscylacyjnego. wahanie to powtarzający się proces. Przykłady ruchów oscylacyjnych są bardzo różnorodne: zmiana pór roku, fluktuacja serca, oddychanie, ładunek na płytach kondensatora i inne.
Równanie oscylacji w postaci ogólnej jest zapisane jako
gdzie 
Od ruchu oscylacyjnego możemy przejść do rozważania ruchu falowego. Fala to proces propagacji drgań w przestrzeni w czasie. Ponieważ oscylacje rozchodzą się w przestrzeni w czasie, w równaniu falowym należy uwzględnić zarówno współrzędne przestrzenne, jak i czas. Równanie falowe ma postać
gdzie A 0 – amplituda, – częstotliwość, t – czas, – liczba falowa, z – współrzędna.
Fizyczna natura fal jest bardzo zróżnicowana. Znane są fale dźwiękowe, elektromagnetyczne, grawitacyjne, akustyczne.
W zależności od rodzaju oscylacji wszystkie fale można podzielić na podłużne i poprzeczne. Fale podłużne - są to fale, w których cząstki ośrodka oscylują wzdłuż kierunku propagacji fali (rys. 3.1a). Przykładem fali podłużnej jest fala dźwiękowa.
Fale poprzeczne - są to fale, w których cząstki ośrodka drgają w kierunku poprzecznym do kierunku propagacji (rys. 3.1b).
Fale elektromagnetyczne nazywane są falami poprzecznymi. Należy wziąć pod uwagę, że w falach elektromagnetycznych pole oscyluje i nie występują drgania cząstek ośrodka. Jeżeli fala rozchodzi się w przestrzeni z jedną częstotliwością , to taka fala nazywa monochromatyczny .
Aby opisać propagację procesów falowych, wprowadzono następujące cechy. Argument cosinus (patrz wzór (3.2)), tj. wyrażenie 
Schematycznie propagację fali wzdłuż jednej współrzędnej pokazano na ryc. 3.2, w tym przypadku propagacja następuje wzdłuż osi z.
Okres to czas jednej pełnej oscylacji. Okres jest oznaczony literą T i jest mierzony w sekundach (s). Odwrotność okresu nazywa się częstotliwość linii i oznaczone f, mierzony w hercach (= Hz). Częstotliwość linii jest powiązana z częstotliwością kołową. Połączenie wyraża się wzorem
Jeśli ustalimy czas t, to z ryc. 3.2 widać, że są punkty np. A i B, które oscylują w ten sam sposób, tj. w fazie (w fazie). Odległość między najbliższymi dwoma punktami, które oscylują w fazie, nazywa się długość fali . Długość fali jest oznaczona jako i mierzona w metrach (m).
Liczba fal i długość fali są powiązane wzorem
Liczba falowa jest inaczej nazywana stałą fazową lub stałą propagacji. Ze wzoru (3.4) wynika, że stała propagacji jest mierzona w ( 
Aby opisać proces falowy, wprowadzono pojęcie czoła fali. fala frontu jest miejscem wyimaginowanych punktów na powierzchni, do której dotarło wzbudzenie. Front fali jest również nazywany frontem fali.
Równanie opisujące czoło fali płaskiej można otrzymać z równania (3.2), w postaci
Formuła (3.5) jest równaniem czoła fali dla fali płaskiej. Równanie (3.4) pokazuje, że fronty falowe są nieskończonymi płaszczyznami poruszającymi się w przestrzeni prostopadle do osi z.
Prędkość frontu fazowego nazywa się prędkość fazowa . Prędkość fazowa jest oznaczona przez V f i jest określona wzorem
Początkowo równanie (3.2) zawiera fazę z dwoma znakami - ujemnym i dodatnim. Znak ujemny, tj. 
Dodatni znak fazy fali wskazuje na ruch czoła fali w przeciwnym kierunku, tj. przeciwny kierunek osi z. Taka fala nazywa się odbitą.
W dalszej części rozważymy fale biegnące.
Jeżeli fala rozchodzi się w ośrodku rzeczywistym, to ze względu na występujące straty ciepła nieuchronnie zmniejsza się amplituda. Rozważmy prosty przykład. Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi z, a początkowa wartość amplitudy fali odpowiada 100%, tj. A0=100. Załóżmy, że po przejściu jednego metra ścieżki amplituda fali zmniejsza się o 10%. Wtedy będziemy mieli następujące amplitudy fal
Ogólny wzorzec zmiany amplitudy ma postać
Te właściwości ma funkcja wykładnicza. Graficznie proces można przedstawić w postaci ryc. 3.3.
Ogólnie relację proporcjonalności można zapisać jako
gdzie jest stałą tłumienia fali.
Stałą fazową i stałą tłumienia można połączyć, wprowadzając złożoną stałą propagacji , tj.
gdzie jest stałą fazową, jest stałą tłumienia fali.
W zależności od rodzaju czoła fali fale są płaskie, kuliste i cylindryczne.
fala samolotu
to fala z płaskim frontem fali. Fala płaska może mieć również następującą definicję. Mówi się, że fala jest płaska, jeśli pole wektorowe 
Równanie fali płaskiej
Jeśli źródłem generującym falę jest punkt, to czoło fali rozchodzącej się w nieograniczonej jednorodnej przestrzeni jest kulą. fala sferyczna to fala o sferycznym czole fali. Równanie fali sferycznej ma postać
gdzie r jest wektorem promienia narysowanym od początku, który pokrywa się z położeniem źródła punktowego, do określonego punktu w przestrzeni znajdującego się w odległości r.
Fale można wzbudzać za pomocą nieskończonego ciągu źródeł umieszczonych wzdłuż osi z. W takim przypadku taka nić będzie generować fale, których front fazy jest powierzchnią cylindryczną.
fala cylindryczna to fala z frontem fazowym w postaci cylindrycznej powierzchni. Równanie fali cylindrycznej ma postać
Wzory (3.2), (3.10, 3.11) wskazują na inną zależność amplitudy od odległości między źródłem fali a określonym punktem w przestrzeni, do którego fala dotarła.
równania Helmholtza
Maxwell uzyskał jeden z najważniejszych wyników elektrodynamiki, udowadniając, że propagacja procesów elektromagnetycznych w przestrzeni w czasie odbywa się w postaci fali. Rozważmy dowód tego twierdzenia, tj. Udowodnijmy falową naturę pola elektromagnetycznego.
Pierwsze dwa równania Maxwella zapisujemy w postaci zespolonej jako
Weźmy drugie równanie układu (3.12) i zastosujmy do niego działanie wirnika dla lewej i prawej części. W rezultacie otrzymujemy
Oznaczać 
Z drugiej strony na podstawie dobrze znanej tożsamości w analizie wektorowej można napisać
gdzie 
Biorąc pod uwagę prawo Gaussa, tj. 
Podobnie, korzystając z symetrii równań Maxwella, można otrzymać równanie względem wektora 
Równania postaci (3.17, 3.18) nazywane są równaniami Helmholtza. W matematyce udowodniono, że jeśli jakikolwiek proces jest opisany w postaci równań Helmholtza, to oznacza to, że proces jest procesem falowym. W naszym przypadku dochodzimy do wniosku: zmienne w czasie pola elektryczne i magnetyczne nieuchronnie prowadzą do propagacji fal elektromagnetycznych w przestrzeni.
W postaci współrzędnych równanie Helmholtza (3.17) jest zapisane jako
gdzie 
Właściwości fal płaskich podczas propagacji w ośrodkach niechłonnych
Niech płaska fala elektromagnetyczna rozchodzi się wzdłuż osi z, wówczas propagację fali opisuje układ równań różniczkowych
gdzie 
Rozwiązanie systemu (3.21) ma postać
Jeśli fala rozchodzi się tylko w jednym kierunku wzdłuż osi z, a wektor 
gdzie 
Jeśli nie ma ubytków w medium, tj. parametry środowiska a i a, oraz 
Wymieniamy właściwości płaskich fal elektromagnetycznych
W przypadku ośrodka wprowadzono pojęcie oporu falowego ośrodka
gdzie 
W przypadku powietrza opór falowy wynosi
Równanie (3.24) pokazuje, że pola magnetyczne i elektryczne są w fazie. Pole fali płaskiej to fala biegnąca, która jest zapisana w postaci
Na ryc. 3.4 wektory pola 
Wektor Poyntinga w dowolnym momencie pokrywa się z kierunkiem propagacji fali
Moduł wektora Poyntinga określa gęstość strumienia mocy i jest mierzony w 
Wyznaczana jest średnia gęstość strumienia mocy
gdzie 
Energia pola zawarta w jednostce objętości nazywana jest gęstością energii. Pole elektromagnetyczne zmienia się w czasie, tj. jest zmienna. Wartość gęstości energii w danym czasie nazywana jest chwilową gęstością energii. Dla elektrycznych i magnetycznych składowych pola elektromagnetycznego chwilowe gęstości energii są odpowiednio równe
Jeśli się uwzględni 
Całkowita gęstość energii elektromagnetycznej jest wyrażona wzorem
Fazową prędkość propagacji fali elektromagnetycznej określa wzór
Długość fali jest określona
gdzie 
Szybkość przekazywania energii (prędkość grupowa) można wyznaczyć ze wzoru
gdzie 
Jeśli malujesz 
W ten sposób otrzymujemy
Gdy elektromagnetyczna fala monochromatyczna rozchodzi się w ośrodku bezstratnym, prędkości fazowe i grupowe są równe.
Istnieje zależność między prędkością fazową i grupową, wyrażoną wzorem
Rozważmy przykład propagacji fali elektromagnetycznej we fluoroplastach o parametrach =2, =1. Niech natężenie pola elektrycznego odpowiada
Prędkość propagacji fali w takim ośrodku będzie równa
Impedancja falowa fluoroplastu odpowiada wartości
Wartości amplitudy natężenia pola magnetycznego przyjmują wartości
Gęstość strumienia energii, odpowiednio, jest równa
Długość fali przy częstotliwości 
Twierdzenie Umova-Poyntinga
Pole elektromagnetyczne charakteryzuje się własną energią pola, a całkowita energia jest określona przez sumę energii pól elektrycznych i magnetycznych. Niech pole elektromagnetyczne zajmie zamkniętą objętość V, wtedy możemy napisać
Energia pola elektromagnetycznego w zasadzie nie może pozostać stała. Powstaje pytanie: jakie czynniki wpływają na zmianę energii? Ustalono, że na zmianę energii w zamkniętej objętości wpływają następujące czynniki:
część energii pola elektromagnetycznego może zamienić się w inne rodzaje energii, na przykład mechaniczną;
wewnątrz zamkniętej objętości mogą działać siły zewnętrzne, które mogą zwiększać lub zmniejszać energię pola elektromagnetycznego zawartego w rozważanej objętości;
rozważana zamknięta objętość V może wymieniać energię z otaczającymi ciałami w wyniku procesu promieniowania energii.
Natężenie promieniowania charakteryzuje wektor Poyntinga 
Odwołaj to 
Przejście od całki po powierzchni 
Wiedząc to 
Ze wzoru (3.48) widać, że lewa strona jest wyrażona jako suma składająca się z trzech wyrazów, z których każdy rozważymy osobno.
termin 
Drugi termin 
Jeśli 
Ostatni wyraz dla ośrodka liniowego można przedstawić jako:
Wzór (3.49) wyraża szybkość zmiany energii pola elektromagnetycznego zawartego w objętości V.
Po rozważeniu wszystkich terminów wzór (3.48) można zapisać jako:
Formuła (3.50) wyraża twierdzenie Poyntinga. Twierdzenie Pointinga wyraża równowagę energii w dowolnym regionie, w którym istnieje pole elektromagnetyczne.
Potencjały opóźnione
Równania Maxwella w postaci zespolonej, jak wiadomo, mają postać:
Niech prądy zewnętrzne istnieją w jednorodnym ośrodku. Spróbujmy przekształcić równania Maxwella dla takiego ośrodka i uzyskać prostsze równanie opisujące pole elektromagnetyczne w takim ośrodku.
Weź równanie 
Weźmy drugie równanie układu Maxwella (3.51) i wykonajmy transformacje:
Wzór (3.53) wyraża drugie równanie Maxwella w postaci potencjału wektora
W elektrostatyce, jak wiadomo, zależność jest spełniona:
gdzie 
Wyrażenie w nawiasach (3.54), analogicznie do wzoru (3.55), można zapisać jako
gdzie 
Weźmy pierwsze równanie Maxwella i zapiszmy je wykorzystując potencjały elektrodynamiczne
W algebrze wektorowej tożsamość jest udowodniona:
Używając identyczności (3.58), pierwsze równanie Maxwella zapisane w postaci (3.57) można przedstawić jako
Oto podobne
Pomnóż lewą i prawą część przez współczynnik (-1):
Wyrażenie (3.60) nazywa się Miernik Lorentza .
Jeśli w=0
, wtedy dostajemy Miernik kulombowski
Biorąc pod uwagę mierniki, można zapisać równanie (3.59)
Równanie (3.61) wyraża się niejednorodne równanie falowe dla wektorowego potencjału elektrodynamicznego.
W podobny sposób, na podstawie trzeciego równania Maxwella 
Otrzymane niejednorodne równania potencjałów elektrodynamicznych mają swoje własne rozwiązania
gdzie M- dowolny punkt M, 
gdzie V to objętość zajmowana przez prądy zewnętrzne, r to aktualna odległość od każdego elementu objętości źródłowej do punktu M.
Rozwiązanie dla wektorowego potencjału elektrodynamicznego (3.63), (3.64) nazywa się Całka Kirchhoffa dla potencjałów opóźnionych .
Czynnik 
Współczynnik ten odpowiada końcowej prędkości propagacji fali ze źródła, a 
W tym momencie t potencjał wektorowy 
Ze wzoru (3.64) wynika, że wektor potencjału elektrodynamicznego jest równoległy (współkierunkowy) z gęstością prądu sił zewnętrznych; jego amplituda maleje zgodnie z prawem; przy dużych odległościach w porównaniu z wymiarami emitera fala ma sferyczny front fali.
Rozważając 
Otrzymane zależności określają pole elektromagnetyczne w przestrzeni wytworzonej przez dany rozkład prądów zewnętrznych
Propagacja płaskich fal elektromagnetycznych w ośrodkach wysoko przewodzących
Rozważ propagację fali elektromagnetycznej w ośrodku przewodzącym. Takie media są również nazywane metalopodobnymi. Rzeczywisty ośrodek jest przewodzący, jeśli gęstość prądów przewodzenia znacznie przekracza gęstość prądów przesunięcia, tj. 
Wzór (3.66) wyraża stan, w którym rzeczywisty ośrodek można uznać za przewodzący. Innymi słowy, urojona część złożonej przenikalności musi przekraczać część rzeczywistą. Wzór (3.66) pokazuje również zależność 
Tak, na częstotliwości f
= 1 MHz = 10 6 Hz suchy grunt ma parametry =4, =0,01 
Dla prawdziwego medium piszemy złożoną przenikalność elektryczną
dlatego w naszym przypadku 
gdzie - przewodność właściwa, - częstotliwość cykliczna.
Wiadomo, że stała propagacji jest wyznaczana z równań Helmholtza
W ten sposób otrzymujemy wzór na stałą propagacji
Wiadomo, że
Uwzględniając tożsamość (3.49), wzór (3.50) można zapisać jako
Stała propagacji jest wyrażona jako
Porównanie części rzeczywistych i urojonych we wzorach (3.71), (3.72) prowadzi do równości wartości stałej fazowej i stałej tłumienia , tj.
Ze wzoru (3.73) zapisujemy długość fali, jaką uzyskuje pole podczas propagacji w dobrze przewodzącym ośrodku
gdzie 
Z otrzymanego wzoru (3.74) wynika, że długość fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w metalu jest znacznie zmniejszona w porównaniu do długości fali w przestrzeni.
Powyżej powiedziano, że amplituda fali podczas propagacji w ośrodku ze stratami maleje zgodnie z prawem 
Głębokość warstwy powierzchniowej - jest to odległość d, przy której amplituda fali powierzchniowej zmniejsza się o współczynnik e w stosunku do jej początkowego poziomu.
gdzie 
Głębokość warstwy powierzchniowej można również określić ze wzoru
gdzie to częstotliwość cykliczna, a to bezwzględna przenikalność magnetyczna medium, to przewodność właściwa medium.
Ze wzoru (3.76) widać, że wraz ze wzrostem częstotliwości i przewodności zmniejsza się głębokość warstwy powierzchniowej.
Weźmy przykład. Przewodność miedzi 
Odbicie i załamanie fali płaskiej na styku mediów
Podczas propagacji płaskiej fali elektromagnetycznej w przestrzeni, która jest obszarem o różnych wartościach parametrów 
współczynnik odbicia fali
współczynnik podań
fale
Jeżeli wektor fali padającej Poyntinga jest prostopadły do powierzchni rozdziału, to
gdzie Z 1 ,Z 2 - charakterystyczny opór dla danego medium.
Opór charakterystyczny określa wzór:
gdzie 
Przy skośnym padaniu kierunek propagacji fali w stosunku do granicy faz jest określony przez kąt padania. Kąt padania jest kątem między normalną do powierzchni a kierunkiem propagacji wiązki.
płaszczyzna padania jest płaszczyzną zawierającą promień padający i normalną przywróconą do punktu padania.
Z warunków brzegowych wynika, że kąty padania 
gdzie n 1 , n 2 są współczynnikami załamania odpowiednich mediów.
Fale elektromagnetyczne charakteryzują się polaryzacją. Istnieją polaryzacje eliptyczne, kołowe i liniowe. W polaryzacji liniowej rozróżnia się polaryzację poziomą i pionową.
Polaryzacja pozioma
jest polaryzacją, przy której wektor 
Niech płaska fala elektromagnetyczna o polaryzacji poziomej pada na granicę między dwoma ośrodkami, jak pokazano na rys. 3.7. Oznaczono wektor fali padającej Poyntinga 
W przypadku fali odbitej odpowiednie wektory pola mają indeks „neg”, dla fali załamanej - indeks „pr”.
Przy polaryzacji poziomej (prostopadłej) współczynniki odbicia i transmisji są następujące (rys. 3.7).
Na styku dwóch mediów spełnione są warunki brzegowe, tj.
W naszym przypadku musimy zidentyfikować rzuty styczne wektorów, tj. można napisać
Linie natężenia pola magnetycznego skierowane są na padające, odbite i załamane fale prostopadle do płaszczyzny padania. Dlatego należy pisać
Na tej podstawie możemy skomponować system w oparciu o warunki brzegowe
Wiadomo również, że siły pola elektrycznego i magnetycznego są ze sobą powiązane poprzez opór falowy ośrodka Z
Wtedy drugie równanie układu można zapisać jako
Tak więc układ równań przybrał postać
Podzielmy oba równania tego układu przez amplitudę fali padającej 
System ma dwa rozwiązania i dwie niewiadome. Wiadomo, że taki system jest rozstrzygalny.
Polaryzacja pionowa
jest polaryzacją, przy której wektor 
Przy polaryzacji pionowej (równoległej) współczynniki odbicia i transmisji wyraża się następująco (rys. 3.8).
Dla polaryzacji pionowej zapisuje się podobny układ równań jak dla polaryzacji poziomej, ale z uwzględnieniem kierunku wektorów pola elektromagnetycznego
Taki układ równań można w podobny sposób sprowadzić do postaci
Rozwiązaniem systemu są wyrażenia na współczynniki odbicia i transmisji
Kiedy płaskie fale elektromagnetyczne o równoległej polaryzacji padają na granicę między dwoma mediami, współczynnik odbicia może wynosić zero. Kąt padania, pod którym fala padająca całkowicie, bez odbicia, przenika z jednego ośrodka do drugiego, nazywa się kątem Brewstera i jest oznaczony jako 
Podkreślamy, że kąt Brewstera, gdy płaska fala elektromagnetyczna pada na niemagnetyczny dielektryk, może istnieć tylko przy polaryzacji równoległej.
Jeżeli płaska fala elektromagnetyczna pada pod dowolnym kątem na granicy między dwoma ośrodkami ze stratami, to fale odbite i załamane należy uznać za niejednorodne, ponieważ płaszczyzna o równych amplitudach powinna pokrywać się z interfejsem. Dla prawdziwych metali kąt między frontem fazowym a płaszczyzną o równych amplitudach jest mały, więc możemy założyć, że kąt załamania wynosi 0.
Przybliżone warunki graniczne Schukina-Leontovicha
Te warunki brzegowe mają zastosowanie, gdy jedno z mediów jest dobrym przewodnikiem. Załóżmy, że płaska fala elektromagnetyczna pada z powietrza pod kątem na płaską powierzchnię styku z ośrodkiem dobrze przewodzącym, który jest opisany przez złożony współczynnik załamania
Z definicji pojęcia dobrze przewodzącego medium wynika, że: 
Korzystając z warunków brzegowych Leontovicha, konieczne jest poznanie składowej stycznej wektora magnetycznego 
Emisja fal elektromagnetycznych do wolnej przestrzeni
Dowiedzmy się, jakie są warunki emisji energii elektromagnetycznej do wolnej przestrzeni. Aby to zrobić, rozważ punktowy monochromatyczny emiter fal elektromagnetycznych, który znajduje się na początku sferycznego układu współrzędnych. Jak wiadomo, sferyczny układ współrzędnych jest określony wzorem (r, Θ, φ), gdzie r jest wektorem promienia ciągniętym od początku układu do punktu obserwacji; Θ jest kątem południkowym mierzonym od osi Z (zenitu) do wektora promienia narysowanego do punktu M; φ jest kątem azymutalnym mierzonym od osi X do rzutu wektora promienia narysowanego od początku do punktu M′ (M′ jest rzutem punktu M na płaszczyznę XOY). (Rys.3.9).
Emiter punktowy znajduje się w jednorodnym medium o parametrach
Emiter punktowy emituje fale elektromagnetyczne we wszystkich kierunkach, a każdy składnik pola elektromagnetycznego jest zgodny z równaniem Helmholtza, z wyjątkiem punktu r=0 . Można wprowadzić złożoną funkcję skalarną Ψ, rozumianą jako dowolny arbitralnie przyjęty składnik pola. Wtedy równanie Helmholtza dla funkcji Ψ ma postać:
gdzie 
Załóżmy, że funkcja Ψ ma symetrię sferyczną, to równanie Helmholtza można zapisać jako:
Równanie (3.89) można również zapisać jako:
Równania (3.89) i (3.90) są identyczne. Równanie (3.90) jest znane w fizyce jako równanie oscylacji. Takie równanie ma dwa rozwiązania, które przy równych amplitudach mają postać:
Jak widać z (3.91), (3.92), rozwiązanie równania różni się tylko znakami. Ponadto, 
Rozważany przykład jest dość prosty. Jednak w przypadku promieniowania energii przez system źródeł bardzo trudno jest wybrać właściwe rozwiązanie. Dlatego wymagane jest wyrażenie analityczne, które jest kryterium wyboru właściwego rozwiązania. Potrzebne jest nam ogólne kryterium w postaci analitycznej, które pozwala wybrać jednoznaczne fizycznie zdeterminowane rozwiązanie.
Innymi słowy, potrzebujemy kryterium, które odróżnia funkcję wyrażającą falę biegnącą od źródła do nieskończoności, od funkcji opisującej falę biegnącą od nieskończoności do źródła promieniowania.
Problem ten rozwiązał A. Sommerfeld. Pokazał, że dla fali biegnącej opisanej funkcją 
Ta formuła nazywa się stan promieniowania lub Stan Sommerfeld .
Rozważmy elementarny emiter elektryczny w postaci dipola. Dipol elektryczny to krótki kawałek drutu ja w porównaniu do długiej fali ( ja<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия ja<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток
Łatwo wykazać, że zmiana pola elektrycznego w przestrzeni otaczającej przewód ma charakter falowy. Dla jasności rozważmy niezwykle uproszczony model procesu powstawania i zmiany składowej elektrycznej pola elektromagnetycznego emitowanego przez przewód. Na ryc. 3.11 przedstawia model procesu promieniowania pola elektrycznego fali elektromagnetycznej w okresie czasu równym jednemu okresowi
Jak wiecie, prąd elektryczny jest spowodowany ruchem ładunków elektrycznych, a mianowicie
W przyszłości rozważymy tylko zmianę położenia dodatnich i ujemnych ładunków na przewodzie. Linia siły pola elektrycznego zaczyna się od ładunku dodatniego, a kończy na ładunku ujemnym. Na ryc. 3.11 linia siły jest pokazana linią przerywaną. Warto pamiętać, że pole elektryczne powstaje w całej przestrzeni otaczającej przewodnik, choć na ryc. 3.11 pokazuje jedną linię siły.
Aby prąd przemienny przepływał przez przewodnik, wymagane jest przemienne źródło pola elektromagnetycznego. Takie źródło znajduje się w środku drutu. Stan procesu emisji pola elektrycznego obrazowany jest liczbami od 1 do 13. Każda liczba odpowiada pewnemu momentowi związanemu ze stanem procesu. Moment t=1 odpowiada początkowi procesu, tj. SEM = 0. W chwili t=2 pojawia się zmienna SEM, która powoduje ruch ładunków, jak pokazano na ryc. 3.11. Wraz z pojawieniem się poruszających się ładunków w drucie, w przestrzeni powstaje pole elektryczne. z czasem (t = 3÷5) ładunki przemieszczają się w kierunku końców przewodnika, a linia sił pokrywa coraz większą część przestrzeni. linia siły rozszerza się z prędkością światła w kierunku prostopadłym do drutu. W czasie t = 6 - 8 pole elektromagnetyczne po przejściu przez wartość maksymalną zmniejsza się. Ładunki przesuwają się w kierunku środka drutu.
W chwili t = 9 kończy się półcykl zmiany pola elektromagnetycznego, który zmniejsza się do zera. W tym przypadku opłaty łączą się, kompensują się nawzajem. w tym przypadku nie ma pola elektrycznego. Linia siły wypromieniowanego pola elektrycznego zamyka się i dalej oddala się od drutu.
Potem następuje druga połowa cyklu zmiany pola elektromagnetycznego, procesy są powtarzane z uwzględnieniem zmiany polaryzacji. Na ryc. 3.11 w momentach t = 10÷13 przedstawia obraz procesu z uwzględnieniem linii sił pola elektrycznego.
Rozważaliśmy proces powstawania zamkniętych linii siły wirowego pola elektrycznego. Warto jednak pamiętać, że promieniowanie fal elektromagnetycznych to jeden proces. Pola elektryczne i magnetyczne są nierozłącznymi, współzależnymi składnikami pola elektromagnetycznego.
Proces promieniowania pokazany na ryc. 3.11 jest podobny do promieniowania pola elektromagnetycznego przez symetryczny wibrator elektryczny i jest szeroko stosowany w technologii radiokomunikacyjnej. Należy pamiętać, że płaszczyzna drgań wektora natężenia pola elektrycznego 
Emisja fal elektromagnetycznych jest wynikiem zmiennego procesu. Dlatego we wzorze na opłatę można umieścić stałą C \u003d 0. Dla złożonej wartości opłaty można zapisać.
Przez analogię do elektrostatyki możemy wprowadzić pojęcie momentu dipola elektrycznego z prądem przemiennym
Ze wzoru (3.95) wynika, że wektory momentu dipola elektrycznego i skierowanego odcinka przewodu 
Należy zauważyć, że rzeczywiste anteny mają długość przewodów zwykle porównywalną z długością fali. Aby określić charakterystykę radiacyjną takich anten, drut jest zwykle dzielony mentalnie na oddzielne małe sekcje, z których każdy jest uważany za elementarny dipol elektryczny. wynikowe pole anteny znajduje się przez zsumowanie promieniowanych pól wektorowych generowanych przez poszczególne dipole.
Funkcja (78.1) musi być okresowa zarówno w odniesieniu do czasu t, jak i współrzędnych x, y i z. Okresowość w t wynika z tego, że opisuje ona fluktuacje punktu o współrzędnych x,y,z. Okresowość we współrzędnych wynika z faktu, że punkty oddzielone od siebie odległością oscylują w ten sam sposób.
Znajdźmy postać funkcji w przypadku fali płaskiej, zakładając, że oscylacje mają charakter harmoniczny. Upraszczając, skierujmy osie współrzędnych tak, aby oś x pokrywała się z kierunkiem propagacji fali. Wtedy powierzchnie fal będą prostopadłe do osi x, a ponieważ wszystkie punkty powierzchni fali oscylują w ten sam sposób, przemieszczenie będzie zależeć tylko od x i t:
Niech fluktuacje punktów leżących w płaszczyźnie x=0 (rys. 195) mają postać
Znajdźmy rodzaj oscylacji cząstek w płaszczyźnie odpowiadającej dowolnej wartości x. Aby przejść z płaszczyzny x=0 do tej płaszczyzny, fala potrzebuje czasu
Gdzie jest prędkość propagacji fali. W konsekwencji oscylacje cząstek leżących w płaszczyźnie x będą opóźnione w czasie za oscylacjami cząstek w płaszczyźnie x=0, tj. będzie wyglądać jak
Tak więc równanie fali płaskiej zostanie zapisane w następujący sposób;
Wyrażenie (78,3) podaje zależność między czasem (t) a miejscem (x), w którym w danej chwili realizowana jest ustalona wartość fazy. Po określeniu wynikającej z niej wartości dx /dt znajdziemy prędkość, z jaką porusza się dana wartość fazy. Wyrażenie różniczkujące (78.3) otrzymujemy:
Rzeczywiście, przyrównując fazę fali (78,5) do stałej i różniczkującej, otrzymujemy:
stąd wynika, że fala (78,5) rozchodzi się w kierunku malejącego x.
Równanie fali płaskiej może mieć postać symetryczną względem t i x. Aby to zrobić, wprowadzamy tak zwaną liczbę falową k;
Zastępując w równaniu (78.2) jego wartość (78.7) i wstawiając w nawiasy otrzymujemy równanie fali płaskiej w postaci
|
|
(78 .8) |
Równanie fali rozchodzącej się w kierunku malejącym x będzie różniło się od (78,8) tylko znakiem w wyrazie kx.
Teraz znajdźmy równanie fali sferycznej. Każde prawdziwe źródło fal ma pewien zasięg. Jeśli jednak ograniczymy się do rozpatrywania fali w odległościach od źródła, które są znacznie większe niż jej wymiary, to źródło można uznać za źródło punktowe.
W przypadku, gdy prędkość propagacji fali we wszystkich kierunkach jest taka sama, fala generowana przez źródło punktowe będzie kulista. Załóżmy, że faza oscylacji źródła jest . Wtedy punkty leżące na powierzchni fali o promieniu r będą oscylować z fazą (fala potrzebuje czasu, aby przebyć drogę r). Amplituda oscylacji w tym przypadku, nawet jeśli energia fali nie jest pochłaniana przez ośrodek, nie pozostaje stała – maleje wraz z odległością od źródła zgodnie z prawem 1/r (patrz §82). Dlatego równanie fali sferycznej ma postać
|
|
(78 .9) |
gdzie a jest wartością stałą równą liczbowo amplitudzie w odległości od źródła równej jedności. Wymiar a jest równy wymiarowi amplitudy pomnożonemu przez wymiar długości (wymiar r).
Przypomnijmy, że na mocy założeń przyjętych na początku, równanie (78,9) jest ważne tylko wtedy, gdy wymiary źródłowe są znacznie większe. Ponieważ r dąży do zera, wyrażenie na amplitudę idzie do nieskończoności. Ten absurdalny wynik tłumaczy się niestosowalnością równania dla małego r.
Mamy na myśli współrzędne położenia równowagi punktu.