Равенка на бранови кои патуваат со авион. Равенка на рамнински бранови. Фазна брзина Равенка на рамнински бранови во сложена форма
механички бранови- процес на дистрибуција механички вибрацииво средина (течна, цврста, гасовита) Треба да се запомни дека механичките бранови пренесуваат енергија, формираат, но не пренесуваат маса. Најважната карактеристикабран е брзината на неговото ширење. Брановите од каква било природа не се шират во вселената веднаш, нивната брзина е конечна.
Геометријата разликува: сферични (просторни), еднодимензионални (рамнини), спирални бранови.
Бранот се нарекува рамен, ако неговите бранови површини се рамнини паралелни една на друга, нормални на фазната брзина на бранот (сл. 1.3). Следствено, зраците на рамниот бран се паралелни прави линии.
Равенка на рамнински бранови::
Опции :
Период на осцилации T е временски период после кој состојбата на системот ги зема истите вредности: u(t + T) = u(t).
Фреквенција на осцилации n е бројот на осцилации во 1 секунда, реципроцитет на периодот: n = 1/T. Се мери во херци (Hz), има димензија s–1. Нишалото кое се ниша еднаш во секунда осцилира со фреквенција од 1 Hz
Фаза на осцилација j- вредност што покажува кој дел од осцилацијата поминал од почетокот на процесот. Се мери во аголни единици - степени или радијани.
Амплитуда на осцилација А- максималната вредност што ја зема осцилаторниот систем, „опсегот“ на осцилацијата.
4.Доплер ефект- промена на фреквенцијата и должината на брановите што ги перцепира набљудувачот (приемник на бранови), поради релативното движење на изворот на бранот и набљудувачот. Замислетедека набљудувачот се приближува со одредена брзина до неподвижен извор на бранови. Во исто време, наидува на повеќе бранови во ист временски интервал отколку во отсуство на движење. Ова значи дека воочената фреквенција е поголема од фреквенцијата на бранот што го емитува изворот. Значи, брановата должина, фреквенцијата и брзината на ширење на бранот се меѓусебно поврзани со релацијата V= / , - бранова должина.
Дифракција- феноменот на свиткување околу препреки, кои се споредливи по големина со брановата должина.
Мешање-појава во која, како резултат на суперпозиција на кохерентни бранови, се јавува или зголемување или намалување на осцилациите.
Искуството на ЈангПрвиот експеримент со интерференција што беше објаснет врз основа на брановата теорија на светлината беше експериментот на Јанг (1802). Во експериментот на Јанг, светлината од изворот, кој служеше како тесен процеп S, падна на екранот со два тесно распоредени процепи S1 и S2. Поминувајќи низ секоја од процепите, светлосниот зрак се проширил поради дифракција, па затоа, на белиот екран E, светлосните зраци што минувале низ процепите S1 и S2 се преклопувале. Во областа на преклопувачките светлосни зраци, беше забележана шема на пречки во форма на наизменични светли и темни ленти.
2.Звук - механички надолжен бран, кој се шири во еластични медиуми, има фреквенција од 16 Hz до 20 kHz. Постојат видови на звуци:
1. едноставен тон - чисто хармонична вибрација емитувана од камертон (метален инструмент кој испушта звук при удар):
2. комплексен тон - не синусоидална, туку периодична осцилација (зрачена од разни музички инструменти).
Според теоремата на Фурие, ваквото сложено осцилирање може да се претстави со збир на хармонични компоненти со различни фреквенции. Најниската фреквенција се нарекува основен тон, а повеќекратните фреквенции се нарекуваат призвук. Збир на фреквенции што го означуваат нивниот релативен интензитет (густина на брановиот тек на енергија) се нарекува акустичен спектар. Спектарот на сложениот тон е линеарен.
3. бучава - звук, кој се добива со додавање на многу неконзистентни извори. Спектар - континуиран (континуиран):
4. звучен удар - краткотраен звучен удар На пример: памук, експлозија.
Отпорност на бранови -односот на звучниот притисок во рамниот бран со брзината на осцилација на честичките на медиумот. Го карактеризира степенот на ригидност на медиумот (т.е. способноста на медиумот да се спротивстави на формирањето на деформации) во патувачки бран. Изразено со формулата:
P / V \u003d p / c, P- звучен притисок, p- густина, c- брзина на звукот, V- волумен.
3 - карактеристики кои не зависат од својствата на приемникот:
Интензитетот (јачината на звукот) - енергијата што ја носи звучен бранпо единица време низ единица површина, поставена нормално на звучниот бран.
фреквенција на висина.
Спектарот на звукот е бројот на призвук.
На фреквенции под 17 и над 20.000 Hz, флуктуациите на притисокот повеќе не се перцепирани од човечкото уво. Надолжните механички бранови со фреквенција помала од 17 Hz се нарекуваат инфразвук. Надолжните механички бранови со фреквенција поголема од 20.000 Hz се нарекуваат ултразвук.
5. УЗ- механички бран со фреквенција од повеќе од 20 kHz. Ултразвукот е алтернација на кондензација и реткост на медиумот. Во секој медиум, брзината на ширење на ултразвукот е иста . Особеност- теснотијата на зракот, што ви овозможува локално да дејствувате на предмети. Во нехомогени подлоги со мали подмножества на честички, се случуваат феномени на дифракција (обвивачки пречки). Пенетрацијата на ултразвукот во друг медиум се карактеризира со коефициент на пенетрација () =L /L каде што должината на ултразвукот по и пред пенетрација во медиумот.
Ефектот на ултразвукот врз ткивата на телото е механички, термички, хемиски. Примена во медицинатае поделена на 2 области: метод на истражување и дијагноза и метод на дејствување. еден) ехоенцефалографија- откривање на тумори и церебрален едем ; кардиографија- мерење на срцето во динамика. 2) Физиотерапија со ултразвук -механички и термички ефекти врз ткаенината; за време на операции како „ултразвучен скалпел“
6. Идеална течностимагинарна некомпресибилна течност, без вискозност и топлинска спроводливост. Идеалната течност нема внатрешно триење, таа е континуирана и нема структура.
Равенка на континуитет -В 1 А 1 = В 2 А 2 Протокот на волумен во која било струјна цевка, ограничен со соседните струјни линии, мора да биде ист во секое време во сите нејзини пресеци
Бернулиова равенка - Р v 2 / 2 + Рул + Ргх= Const, во случај на постојан проток, вкупната глава е иста во сите пресеци на струјната цевка. Р v 2 / 2 + Рул= const – за хориз. парцели.
7Стационарен протокПроток чија брзина никогаш не се менува никаде во течноста.
ламинарен проток- нареден проток на течност или гас, во кој течноста (гасот) се движи, како да е, во слоеви паралелни со насоката на протокот.
турбулентен проток- форма на проток на течност или гас, во која нивните елементи прават неуредни, нестабилни движења по сложени траектории, што доведува до интензивно мешање помеѓу слоевите на течност или гас што се движи.
линии- прави, тангентите на кои се совпаѓаат во сите точки со насоката на брзината во овие точки. Во стационарен проток, водовите не се менуваат со текот на времето.
Вискозитет -внатрешно триење, својство на течни тела (течности и гасови) да се спротивстават на движењето на еден од нивните делови во однос на друг
Њутнова равенка: F = (dv/dx)Sη.
Фактор на вискозност- Фактор на пропорционалност во зависност од видот на течност или гас. Број што се користи за квантифицирање на својствата на вискозноста. Коефициент на внатрешно триење.
нењутнова течностсе нарекува течност, за време на која неговата вискозност зависи од градиентот на брзината, чиј проток се покорува на Њутновата равенка. (Полимери, скроб, течен сапун крв)
Њутн -Ако во течност што се движи неговата вискозност зависи само од неговата природа и температура и не зависи од градиентот на брзината. (Вода и дизел гориво)
.Рејнолдс број- карактеризирање на односот помеѓу инерцијалните сили и вискозните сили: Re \u003d rdv / m, каде што r е густината, m е динамичкиот коефициент на вискозност на течноста или гасот, v е брзината на протокот. На R< Rekр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re >Rekp протокот може да стане турбулентен.
Кинематски коефициент на вискозност- односот на динамичкиот вискозитет на течност или гас до нивната густина.
9. Стоукс метод, базиран метод аФормулата на Стоукс за силата на отпор што се јавува кога топката се движи во вискозна течност, добиена од Стоукс: Fc = 6 π η V r. За индиректно мерење на коефициентот на вискозност η, треба да се земе предвид еднообразното движење на топката во вискозна течност и да се примени условот еднообразно движење: векторскиот збир на сите сили што делуваат на топката е нула.
Mg + F A + F c \u003d 0 (сè во векторска форма !!!)
Сега е неопходно да се изразат силата на гравитацијата (mg) и силата на Архимед (Fa) преку познати количини. Со изедначување на вредностите mg = Fa + Fс, го добиваме изразот за вискозност:
η \u003d (2/9) * g * (ρ t - ρ w) * r 2 / v \u003d (2/9) * g * (ρ t - ρ w) * r 2 * t / L. Радиус е директно мерено со микрометарска топка r (во дијаметар), L е патека на топката во течноста, t е време на патување на патеката L. За мерење на вискозноста според методот Стоукс, патеката L е земена не од површината на течноста, но помеѓу ознаките 1 и 2. Тоа се должи на следната околност. При изведување на работната формула за коефициентот на вискозност со методот Стоукс, се користеше условот на еднообразно движење. На самиот почеток на движењето (почетната брзина на топката е нула), силата на отпор е исто така нула и топката има одредено забрзување. Како што се зголемува брзината, силата на влечење се зголемува, резултатот од трите сили се намалува! Само по одредена ознака, движењето може да се смета за униформно (а потоа, приближно).
11.Формула поазеј: Со стабилно ламинарно движење на вискозна некомпресибилна течност низ цилиндрична цевка со кружен пресек, волуменскиот проток во секунда е директно пропорционален на падот на притисокот по единица должина на цевката и четвртата моќност на радиусот и обратно пропорционален на коефициент на вискозност на течноста.
АВИОНСКИ БРАН
АВИОНСКИ БРАН
Бран во кој насоката на ширење е иста во сите точки во вселената. Наједноставниот пример е хомогена монохроматска незадушено P. v.:
u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)
каде A - амплитуда, j= wt±kz - , w=2p/Т - кружна фреквенција, Т - период на осцилација, k - . Површини на константна фаза (фазни фронтови) j=const P.v. се авиони.
Во отсуство на дисперзија, кога vph и vgr се исти и константни (vgr = vph = v), постојат стационарни (т.е. се движат како целина) патувачки P.V., кои допуштаат општа претстава на формата:
u(z, t)=f(z±vt), (2)
каде што f е произволна функција. Во нелинеарни медиуми со дисперзија, можни се и стационарни размножувачки бранови форми. тип (2), но нивната форма повеќе не е произволна, туку зависи и од параметрите на системот и од природата на движењето. Во апсорбирачки (дисипативни) медиуми P. век. ја намалуваат нивната амплитуда додека се шират; со линеарно придушување, ова може да се земе предвид со замена на k во (1) со сложениот бран број kd ± ikm, каде што km е коефициентот. слабеење P. во.
Еднообразна бранова форма која ја зафаќа целата бесконечно е идеализација, но секоја бранова форма концентрирана во конечен регион (на пример, водена од далноводи или брановоди) може да се претстави како суперпозиција на брановата форма. со еден или друг простор. спектар к. Во овој случај, бранот сè уште може да има рамен фазен фронт, но нехомогена амплитуда. Таквите П. во. повикани рамни нехомогени бранови. Одделни делови од сферични и цилиндрични. брановите кои се мали во споредба со радиусот на искривување на фазниот фронт се однесуваат приближно како P.V.
Физички енциклопедиски речник. - М.: Советска енциклопедија. . 1983 .
АВИОНСКИ БРАН
- бран, UK-swarm насоката на ширење е иста во сите точки во вселената.
каде НО -амплитуда, - фаза, - кружна фреквенција, Т -период на осцилација, k-број на бран. = const P. в. се авиони.
Во отсуство на дисперзија, кога фазната брзина vѓ и група v gr се исти и константни ( vгр = v f = v) постојат неподвижни (т.е. се движат како целина) патувачки P. в., што може да се претстави во општа форма
каде ѓ- произволна функција. Во нелинеарни медиуми со дисперзија, можни се и стационарни патувачки параметарски бранови. тип (2), но нивната форма повеќе не е произволна, туку зависи и од параметрите на системот и од природата на движењето на брановите. Во апсорпционата (дисипативна) средина P. k на сложениот бранов број кг икм, каде к m - коефициент. слабеење P. во. Хомогено браново поле кое зафаќа сè бесконечно е идеализација, но секое браново поле концентрирано во конечен регион (на пример, насочено далноводиили брановоди),може да се претстави како суперпозиција. во. со еден или друг просторен спектар к.Во овој случај, бранот сè уште може да има рамен фазен фронт, во нерамномерна амплитудна распределба. Таквите П. во. повикани рамни нехомогени бранови. Одд. сферични парцели или цилиндрични. брановите кои се мали во споредба со радиусот на искривување на фазниот фронт се однесуваат приближно како P.V.
Запалена.види во чл. Бранови.
М. А. Милер, Л.А. Островски.
Физичка енциклопедија. Во 5 тома. - М.: Советска енциклопедија. Главен уредник А.М.Прохоров. 1988 .
Кога се опишува процесот на бранови, потребно е да се пронајдат амплитудите и фазите на осцилаторното движење во различни точки на медиумот и промената на овие количини со текот на времето. Овој проблем може да се реши ако се знае според кој закон осцилира и како телото што го предизвикало брановиот процес има интеракција со медиумот. Меѓутоа, во многу случаи не е важно од кое тело е возбуден дадениот бран, туку се решава поедноставен проблем. Со оглед насостојбата на осцилаторно движење во некои точки од медиумот во одреден временски момент и треба да се утврдисостојбата на осцилаторно движење во други точки во медиумот.
Како пример, разгледајте го решението на таков проблем во едноставен, но во исто време важен случај на ширење на рамнина или сферичен хармоничен бран во медиум. Да ја означиме флуктуирачката вредност со u. Оваа вредност може да биде: поместување на честичките на медиумот во однос на нивната рамнотежна положба, отстапување на притисокот на дадено место на медиумот од вредноста на рамнотежата итн. Тогаш задачата ќе биде да се најде т.н бранови равенки - израз кој одредува флуктуирачка вредност uво функција на координатите на точките на медиумот x, y, zи времето т:
u = u(x, y, z, т). (2.1)
Нека, за едноставност, u е поместувањето на точките во еластична средина кога во неа се шири рамнински бран, а осцилациите на точките имаат хармоничен карактер. Покрај тоа, ние ги насочуваме координатните оски така што оската 0xсе совпаѓа со насоката на ширење на бранот. Тогаш брановите површини (семејството рамнини) ќе бидат нормални на оската 0x(сл. 7), и бидејќи сите точки на површината на бранот осцилираат на ист начин, поместувањето uќе зависи само од Xи т: u = u(x, т). За хармоничните осцилации на точките што лежат во рамнината X= 0 (сл. 9), равенката е валидна:
u(0, т) = А cos ( ωt + α ) (2.2)
Дозволете ни да го најдеме типот на осцилации на точките на рамнината што одговараат на произволна вредност X. Да се оди по патот од авионот X= 0 на оваа рамнина, на бранот му треба време τ = x/s (Сое брзината на ширење на бранот). Следствено, осцилации на честички што лежат во рамнината X, ќе изгледа вака:
Значи, равенката на рамниот бран (и надолжен и попречен) што се шири во насока на оската 0x изгледа вака:
Вредност НОе амплитудата на бранот. Почетна фаза на бранот α утврдени со изборот на референтни точки Xи т.
Дозволете да поправиме некоја вредност на фазата во квадратни загради од равенството (2.3) со поставување
Да ја диференцираме оваа еднаквост во однос на времето, имајќи предвид дека цикличната фреквенција ω и почетна фаза α се постојани:
Така, брзината на ширење на бранот Сово равенката (2.3) е брзината на фазното движење, во врска со која се нарекува фазна брзина . Според (2.5) dx/dt> 0. Затоа, равенката (2.3) опишува бран кој се шири во насока на зголемување X, т.н патувачки прогресивен бран . Бран што се шири во спротивна насока е опишан со равенката
и се јави патувачки регресивен бран . Навистина, со изедначување на фазата на бранот (2.6) со константа и диференцирање на добиената еднаквост, доаѓаме до релацијата:
од што следува дека бранот (2.6) се шири во насока на намалување X.
Ја воведуваме количината
кој се нарекува број на бран и е еднаков на бројот на бранови должини кои се вклопуваат во интервалот од 2π метри. Користење на формули λ = CVи ω = 2π ν брановиот број може да се претстави како
Отворајќи ги заградите во формулите (2.3) и (2.6) и земајќи ја предвид (2.8), доаѓаме до следнава равенка за рамни бранови што се шират по (знакот „-“) и против (знакот „+“) оската 0 X:
При изведување на формулите (2.3) и (2.6), се претпоставуваше дека амплитудата на осцилацијата не зависи од X. За рамниот бран, ова се забележува кога брановата енергија не се апсорбира од медиумот. Искуството покажува дека во средина што апсорбира, интензитетот на бранот постепено се намалува со растојанието од изворот на осцилациите - слабеењето на бранот се забележува според експоненцијалниот закон:
Според тоа, равенката на рамно придушен бран има форма:
каде А 0 - амплитуда на точките на рамнината X= 0, и γ е коефициентот на слабеење.
Сега да ја најдеме равенката сферичен бран . Секој вистински извор на бранови има одреден степен. Меѓутоа, ако се ограничиме на разгледување на бранот на растојанија од изворот, многу поголеми од неговата големина, тогаш изворот може да се смета прецизно . Во изотропна и хомогена средина, бранот генериран од точкаст извор ќе биде сферичен. Да претпоставиме дека фазата на изворните осцилации ωt+α. Потоа точките што лежат на површината на бранот со радиус р, ќе осцилира со фазата
Амплитудата на осцилација во овој случај, дури и ако брановата енергија не се апсорбира од медиумот, нема да остане константна - таа се намалува во зависност од растојанието од изворот според законот 1/ р. Според тоа, равенката на сферичниот бран има форма:
каде НОе константна вредност нумерички еднаква на амплитудата на осцилацијата на растојание од изворот еднакво на единство.
За абсорбирачка средина, во (2.11) мора да го додадеме факторот е-γr. Потсетиме дека, врз основа на направените претпоставки, равенството (2.11) важи само за р, значително надминувајќи ги димензиите на изворот на вибрации. Кога се стремиме рна нула, амплитудата оди до бесконечност. Овој апсурден резултат се објаснува со неприменливоста на равенката (2.11) за мали р.
Пред да го разгледаме брановиот процес, да дадеме дефиниција за осцилаторно движење. двоумење е процес кој се повторува. Примерите за осцилаторни движења се многу разновидни: промена на годишните времиња, флуктуација на срцето, дишење, полнење на кондензаторските плочи и други.
Равенката на осцилацијата во општа форма е напишана како
каде 
Од осцилаторно движење, можеме да продолжиме до разгледување на движењето на брановите. Бран е процес на ширење на вибрациите во просторот низ времето. Бидејќи осцилациите се шират во просторот со текот на времето, во равенката на брановите мора да се земат предвид и просторните координати и времето. Равенката на бранот има форма
каде A 0 - амплитуда, - фреквенција, t - време, - бран број, z - координата.
Физичката природа на брановите е многу разновидна. Познати се звучни, електромагнетни, гравитациски, акустични бранови.
Според видот на осцилациите, сите бранови можат да се класифицираат на надолжни и попречни. Надолжни бранови - тоа се бранови во кои честичките на медиумот осцилираат по правецот на ширење на бранот (сл. 3.1а). Пример за надолжен бран е звучен бран.
попречни бранови - тоа се бранови во кои честичките на медиумот осцилираат во попречен правец во однос на насоката на ширење (сл. 3.1б).
Електромагнетните бранови се нарекуваат попречни бранови. Треба да се земе предвид дека кај електромагнетните бранови полето осцилира, а не се јавува осцилација на честичките на медиумот. Ако бранот се шири во просторот со една фреквенција , тогаш таков бран повикани монохроматски .
За да се опише ширењето на брановите процеси, се воведени следните карактеристики. Косинусот (види формула (3.2)), т.е. изразување 
Шематски, ширењето на брановите по една координата е прикажано на сл. 3.2, во овој случај, ширењето се случува долж оската z.
Период е време на една целосна осцилација. Периодот се означува со буквата Т и се мери во секунди (s). Реципроцитетот на еден период се нарекува фреквенција на линија и означува ѓ, мерено во херци (= Hz). Фреквенцијата на линијата е поврзана со кружната фреквенција. Врската се изразува со формулата
Ако го поправиме времето t, тогаш од Сл. 3.2 се гледа дека има точки, на пример, А и Б, кои осцилираат на ист начин, т.е. во фаза (во фаза). Растојанието помеѓу најблиските две точки кои осцилираат во фаза се нарекува бранова должина . Бранова должина се означува и се мери во метри (m).
Бројот на бранот и брановата должина се поврзани со формулата
Брановиот број инаку се нарекува фазна константа или константа на ширење. Од формулата (3.4) може да се види дека константата на ширење се мери во ( 
За да се опише брановиот процес, воведен е концептот на брановиден фронт. брановиден фронт е локус на имагинарните точки на површината до која стигнала возбудата. Брановиот фронт се нарекува и брановиден фронт.
Равенката што го опишува брановиот фронт на рамниот бран може да се добие од равенката (3.2), во форма
Формулата (3.5) е равенката на брановиот фронт за рамен бран. Равенката (3.4) покажува дека брановите фронтови се бесконечни рамнини кои се движат во просторот нормално на оската z.
Брзината на фазниот фронт се нарекува фазна брзина . Фазната брзина се означува со V f и се одредува со формулата
Првично, равенката (3.2) содржи фаза со два знака - негативен и позитивен. Негативен знак, т.е. 
Позитивниот знак на брановата фаза укажува на движење на брановиот фронт во спротивна насока, т.е. спротивна насока од оската z. Таквиот бран се нарекува рефлектира.
Во продолжение, ќе ги разгледаме патувачките бранови.
Ако бранот се шири во реален медиум, тогаш поради настанатите загуби на топлина, амплитудата неизбежно ќе се намали. Да разгледаме едноставен пример. Нека бранот се шири по оската z и почетната вредност на амплитудата на бранот одговара на 100%, т.е. А0=100. Да претпоставиме дека при поминување на еден метар од патеката, амплитудата на бранот се намалува за 10%. Тогаш ќе ги имаме следните бранови амплитуди
Општата шема на промена на амплитудата има форма
Експоненцијална функција ги има овие својства. Графички, процесот може да се прикаже во форма на Сл. 3.3.
Генерално, односот на пропорционалност може да се запише како
каде што е константа на придушување на бранот.
Фазната константа и константата на придушување може да се комбинираат со воведување на сложената константа на ширење , т.е.
каде што е фазната константа, е константата на придушување на бранот.
Во зависност од видот на брановиот фронт, брановите се рамни, сферични и цилиндрични.
авионски бран
е бран со рамен брановиден фронт. Рамниот бран може да ја добие и следната дефиниција. Бранот се вели дека е рамномерен хомоген ако векторското поле 
Равенка на рамнински бранови
Ако изворот што го генерира бранот е точка, тогаш брановиот фронт што се шири во неограничен хомоген простор е сфера. сферичен бран е бран со сферичен брановиден фронт. Сферичната бранова равенка има форма
каде што r е вектор на радиус извлечен од потеклото, што се совпаѓа со положбата на точкестиот извор, до одредена точка во просторот лоцирана на растојание r.
Брановите може да се возбудат со користење на бесконечна низа извори лоцирани долж оската z. Во овој случај, таквата нишка ќе генерира бранови чиј фазен фронт е цилиндрична површина.
цилиндричен бран е бран со фазен фронт во форма на цилиндрична површина. Равенката на цилиндричниот бран ја има формата
Формулите (3.2), (3.10, 3.11) укажуваат на различна зависност на амплитудата од растојанието помеѓу изворот на бранот и одредена точка во просторот до која стигнал бранот.
Хелмхолцови равенки
Максвел го добил еден од најважните резултати на електродинамиката, докажувајќи дека ширењето на електромагнетните процеси во просторот со текот на времето се случува во форма на бран. Да го разгледаме доказот за овој предлог, т.е. Дозволете ни да ја докажеме брановата природа на електромагнетното поле.
Првите две Максвел равенки ги пишуваме во сложена форма како
Да ја земеме втората равенка на системот (3.12) и да ја примениме работата на роторот на него на левиот и десниот дел. Како резултат на тоа, добиваме
Означи 
Од друга страна, врз основа на добро познатиот идентитет во векторската анализа, може да се пишува
каде 
Имајќи го предвид Гаусовиот закон, т.е. 
Слично, користејќи ја симетријата на Максвеловите равенки, може да се добие равенка во однос на векторот 
Равенките од формата (3.17, 3.18) се нарекуваат Хелмхолцови равенки. Во математиката е докажано дека ако некој процес е опишан во форма на Хелмхолцови равенки, тогаш тоа значи дека процесот е брановиден процес. Во нашиот случај, заклучуваме: временските променливи електрични и магнетни полиња неизбежно доведуваат до ширење на електромагнетни бранови во вселената.
Во координатна форма, Хелмхолцовата равенка (3.17) е напишана како
каде 
Својства на рамни бранови за време на ширење во медиум што не апсорбира
Дозволете рамномерен електромагнетен бран да се шири по оската z, тогаш ширењето на бранот се опишува со систем на диференцијални равенки
каде 
Решението на системот (3.21) ја има формата
Ако бранот се шири само во една насока по оската z, а векторот 
каде 
Ако нема загуби во медиумот, т.е. параметри на околината a и a, и 
Ги наведуваме својствата на рамнините електромагнетни бранови
За медиумот се воведува концептот на брановиот отпор на медиумот
каде 
За воздух, отпорот на бранот е
Равенката (3.24) покажува дека магнетното и електричното поле се во фаза. Полето на рамниот бран е патувачки бран, кој е запишан во форма
На сл. 3.4 вектори на поле 
Векторот Poynting во секое време се совпаѓа со насоката на ширење на бранот
Векторскиот модул Појнтинг ја дефинира густината на флуксот на моќност и се мери во 
Се одредува просечната густина на протокот на моќност
каде 
Енергијата на полето содржана во единица волумен се нарекува густина на енергија. Електромагнетното поле се менува со текот на времето, т.е. е променлива. Вредноста на енергетската густина во дадено време се нарекува моментална густина на енергија. За електричните и магнетните компоненти на електромагнетното поле, моменталните густини на енергија се соодветно еднакви на
Со оглед на тоа 
Вкупната густина на електромагнетната енергија е дадена со
Фазната брзина на ширење на електромагнетниот бран се определува со формулата
Се одредува брановата должина
каде 
Стапката на пренос на енергија (групна брзина) може да се одреди од формулата
каде 
Ако сликате 
Така, добиваме
Кога електромагнетниот монохроматски бран се шири во средина без загуби, брзината на фазата и групата се еднакви.
Постои врска помеѓу брзината на фазата и групата, изразена со формулата
Размислете за пример за ширење на електромагнетен бран во флуоропласт со параметри =2, =1. Нека јачината на електричното поле одговара на
Брзината на ширење на бранот во таков медиум ќе биде еднаква на
Брановата импеданса на флуоропластот одговара на вредноста
Амплитудните вредности на јачината на магнетното поле ги земаат вредностите
Густината на енергетскиот флукс, соодветно, е еднаква на
Бранова должина на фреквенција 
Умов-Појнтинг теорема
Електромагнетното поле се карактеризира со сопствена енергија на полето, а вкупната енергија се одредува со збирот на енергијата на електричното и магнетното поле. Нека електромагнетното поле зафаќа затворен волумен V, тогаш можеме да пишуваме
Енергијата на електромагнетното поле, во принцип, не може да остане константна. Се поставува прашањето: Кои фактори влијаат на промената на енергијата? Утврдено е дека следните фактори влијаат на промената на енергијата во затворен волумен:
дел од енергијата на електромагнетното поле може да се претвори во други видови енергија, на пример, механичка;
надворешните сили можат да дејствуваат во затворен волумен, што може да ја зголеми или намали енергијата на електромагнетното поле содржано во волуменот што се разгледува;
разгледуваниот затворен волумен V може да размени енергија со околните тела поради процесот на енергетско зрачење.
Интензитетот на зрачењето се карактеризира со векторот Појнтинг 
Потсетете се на тоа 
Поминување од интеграл преку површина 
Знаејќи го тоа 
Од формулата (3.48) може да се види дека левата страна е изразена како збир што се состои од три члена, од кои секој ќе го разгледаме одделно.
термин 
Втор мандат 
Ако 
Последниот член за линеарен медиум може да се претстави како:
Формулата (3.49) ја изразува брзината на промена на енергијата на електромагнетното поле содржано во волуменот V.
Откако ќе се разгледаат сите поими, формулата (3.48) може да се напише како:
Формулата (3.50) ја изразува Појнтинговата теорема. Поинтинговата теорема го изразува балансот на енергија во произволен регион во кој постои електромагнетно поле.
Ретардирани потенцијали
Максвеловите равенки во сложена форма, како што е познато, имаат форма:
Нека постојат надворешни струи во хомогена средина. Да се обидеме да ги трансформираме Максвеловите равенки за таков медиум и да добиеме поедноставна равенка која го опишува електромагнетното поле во таква средина.
Земете ја равенката 
Да ја земеме втората равенка на системот Максвел (3.51) и да извршиме трансформации:
Формулата (3.53) ја изразува втората Максвелова равенка во однос на векторскиот потенцијал
Во електростатиката, како што е познато, релацијата е исполнета:
каде 
Изразот во загради (3.54), по аналогија со формулата (3.55), може да се напише како
каде 
Да ја земеме првата Максвелова равенка и да ја запишеме користејќи електродинамички потенцијали
Во векторската алгебра, идентитетот се докажува:
Користејќи го идентитетот (3.58), првата Максвелова равенка напишана во формата (3.57) може да се претстави како
Еве слични
Помножете го левиот и десниот дел со факторот (-1):
Се нарекува изразот (3.60). Мерач на Лоренц .
Ако w=0
, тогаш добиваме Кулонов мерач
Земајќи ги предвид мерачите, може да се запише равенката (3.59).
Равенката (3.61) се изразува нехомогена бранова равенка за векторскиот електродинамички потенцијал.
На сличен начин, врз основа на третата Максвелова равенка 
Добиените нехомогени равенки за електродинамички потенцијали имаат свои решенија
каде М- произволна точка М, 
каде Ве волуменот окупиран од надворешни струи, ре моменталното растојание од секој елемент на изворниот волумен до точката М.
Решението за векторскиот електродинамички потенцијал (3.63), (3.64) се вика Кирхоф интеграл за ретардирани потенцијали .
Фактор 
Овој фактор одговара на конечната брзина на ширење на бранот од изворот, и 
Во моментот во времето твекторски потенцијал 
Од формулата (3.64) може да се види дека векторскиот електродинамички потенцијал е паралелен (конасочен) со струјната густина на надворешните сили; нејзината амплитуда се намалува според законот; на големи растојанија во споредба со димензиите на емитер, бранот има сферичен брановиден фронт.
Со оглед на 
Добиените релации го одредуваат електромагнетното поле во просторот создаден со дадена распределба на надворешни струи
Ширење на рамни електромагнетни бранови во високопроводни медиуми
Размислете за ширењето на електромагнетниот бран во спроводлив медиум. Таквите медиуми се нарекуваат и метални. Вистинскиот медиум е спроводлив ако густината на спроводните струи значително ја надминува густината на струите на поместување, т.е. 
Формулата (3.66) го изразува условот под кој реалниот медиум може да се смета за спроводлив. Со други зборови, имагинарниот дел од комплексната пропустливост мора да го надмине реалниот дел. Формулата (3.66) исто така ја покажува зависноста 
Да, на фреквенцијата ѓ
= 1 MHz = 10 6 Hz сува почва има параметри =4, =0,01 
За вистински медиум, ја пишуваме комплексната пропустливост
бидејќи во нашиот случај 
каде што - специфична спроводливост, - циклична фреквенција.
Познато е дека константата на ширење е одредена од Хелмхолцовите равенки
Така, ја добиваме формулата за константата на ширење
Познато е дека
Земајќи го предвид идентитетот (3.49), формулата (3.50) може да се запише како
Константата на ширење се изразува како
Споредбата на реалните и имагинарните делови во формулите (3.71), (3.72) доведува до еднаквост на вредностите на фазната константа и константата на придушување , т.е.
Од формулата (3.73) ја запишуваме брановата должина што полето ја добива кога се шири во добро спроводлив медиум
каде 
Од добиената формула (3.74) може да се види дека должината на електромагнетниот бран што се шири во метал е значително намалена во споредба со брановата должина во вселената.
Погоре беше кажано дека амплитудата на бранот при ширење во медиум со загуби се намалува според законот 
Длабочина на површинскиот слој - тоа е растојанието d на кое амплитудата на површинскиот бран се намалува за фактор e во однос на неговото почетно ниво.
каде 
Длабочината на површинскиот слој може да се одреди и од формулата
каде што е цикличната фреквенција, a е апсолутна магнетна пропустливост на медиумот, е специфичната спроводливост на медиумот.
Од формулата (3.76) може да се види дека со зголемување на фреквенцијата и спроводливоста, длабочината на површинскиот слој се намалува.
Да земеме пример. Бакарна спроводливост 
Рефлексија и прекршување на рамен бран на интерфејсот помеѓу медиумите
Кога авионски електромагнетен бран се шири во вселената, што е регион со различни вредности на параметри 
коефициент на рефлексија на бранови
сооднос на поминување
бранови
Ако Poynting векторот на инцидентниот бран е нормален на интерфејсот, тогаш
каде Z 1 ,Z 2 - карактеристичен отпор за соодветните медиуми.
Карактеристичниот отпор се одредува со формулата:
каде 
Со коси инциденца, насоката на ширење на бранот во однос на интерфејсот е дадена со аголот на инциденца. Агол на инциденца е аголот помеѓу нормалата на површината и насоката на ширење на зракот.
рамнина на инциденца е рамнината што го содржи упадниот зрак и нормалната вратена до точката на инциденца.
Од граничните услови произлегува дека аглите на пад 
каде n 1 , n 2 се индексите на рефракција на соодветните медиуми.
Електромагнетните бранови се карактеризираат со поларизација. Постојат елипсовидни, кружни и линеарни поларизации. Во линеарната поларизација се разликуваат хоризонтална и вертикална поларизација.
Хоризонтална поларизација
е поларизацијата при која векторот 
Нека рамниот електромагнетен бран со хоризонтална поларизација падне на интерфејсот помеѓу два медиума, како што е прикажано на сл. 3.7. Се означува Poynting векторот на инцидентниот бран 
За рефлектираниот бран, соодветните вектори на поле се обезбедени со индекс „нег“, за прекршениот - со индекс „pr“.
Со хоризонтална (нормална) поларизација, коефициентите на рефлексија и пренос се наоѓаат на следниов начин (сл. 3.7).
На интерфејсот помеѓу два медиуми, граничните услови се задоволени, т.е.
Во нашиот случај, ние мора да ги идентификуваме тангенцијалните проекции на векторите, т.е. може да се напише
Линиите на јачината на магнетното поле се насочени кон ударните, рефлектираните и прекршените бранови нормално на рамнината на инциденца. Затоа, треба да се напише
Врз основа на ова, можеме да составиме систем заснован на граничните услови
Исто така, познато е дека јачините на електричното и магнетното поле се меѓусебно поврзани преку брановиот отпор на медиумот Z.
Тогаш втората равенка на системот може да се запише како
Значи, системот на равенки доби форма
Да ги поделиме двете равенки на овој систем со амплитудата на ударниот бран 
Системот има две решенија и две непознати. Познато е дека таков систем може да се реши.
Вертикална поларизација
е поларизацијата при која векторот 
Со вертикална (паралелна) поларизација, коефициентите на рефлексија и пренос се изразуваат на следниов начин (сл. 3.8).
За вертикална поларизација се запишува сличен систем на равенки како и за хоризонтална поларизација, но земајќи ја предвид насоката на векторите на електромагнетното поле
Таквиот систем на равенки може слично да се сведе на формата
Решението на системот се изразите за коефициентите на рефлексија и пренос
Кога рамнините електромагнетни бранови со паралелна поларизација се срушат на интерфејсот помеѓу два медиума, коефициентот на рефлексија може да стане нула. Аголот на инциденца под кој ударниот бран целосно, без рефлексија, продира од еден медиум во друг се нарекува Брустерски агол и е означен како 
Нагласуваме дека Брустеровиот агол кога рамномерен електромагнетен бран е случен на немагнетен диелектрик може да постои само со паралелна поларизација.
Ако рамниот електромагнетен бран се сруши под произволен агол на интерфејсот помеѓу два медиума со загуби, тогаш рефлектираните и прекршените бранови треба да се сметаат за нехомогени, бидејќи рамнината со еднакви амплитуди треба да се совпаѓа со интерфејсот. За вистински метали, аголот помеѓу фазниот фронт и рамнината со еднакви амплитуди е мал, така што можеме да претпоставиме дека аголот на прекршување е 0.
Приближни гранични услови Шукин-Леонтович
Овие гранични услови се применуваат кога еден од медиумите е добар проводник. Да претпоставиме дека рамниот електромагнетен бран се спушта од воздухот под агол на рамнина меѓуврска со добро спроводлив медиум, што е опишано со сложениот индекс на рефракција
Од дефиницијата на концептот на добро спроводлив медиум произлегува дека 
Користејќи ги граничните услови на Леонтович, неопходно е да се знае тангентната компонента на магнетниот вектор 
Емисија на електромагнетни бранови во слободен простор
Дозволете ни да дознаеме кои се условите за емисија на електромагнетна енергија во слободен простор. За да го направите ова, земете го предвид точката монохроматски емитер на електромагнетни бранови, која е поставена на почетокот на сферичниот координатен систем. Како што е познато, сферичниот координатен систем е даден со (r, Θ, φ), каде што r е векторот на радиусот извлечен од потеклото на системот до точката на набљудување; Θ е меридијалниот агол измерен од оската Z (зенит) до векторот на радиусот нацртан до точката M; φ е азимуталниот агол измерен од оската X до проекцијата на векторот на радиусот повлечен од почетокот до точката M′ (M′ е проекцијата на точката M на XOY рамнината). (Сл.3.9).
Точка емитер се наоѓа во хомогена средина со параметри
Точка емитер зрачи електромагнетни бранови во сите правци и која било компонента на електромагнетното поле ја почитува Хелмхолцовата равенка, освен точката р=0 . Може да се воведе сложена скаларна функција Ψ, која се подразбира како која било произволно земена компонента на полето. Тогаш Хелмхолцовата равенка за функцијата Ψ има форма:
каде 
Да претпоставиме дека функцијата Ψ има сферична симетрија, тогаш Хелмхолцовата равенка може да се запише како:
Равенката (3.89) може да се запише и како:
Равенките (3.89) и (3.90) се идентични една со друга. Равенката (3.90) е позната во физиката како равенка на осцилација. Таквата равенка има две решенија, кои, ако амплитудите се еднакви, имаат форма:
Како што може да се види од (3.91), (3.92), решението на равенката се разликува само по знаци. Згора на тоа, 
Примерот што се разгледува е прилично едноставен. Но, во случај на зрачење на енергија од систем на извори, многу е тешко да се избере вистинското решение. Затоа, потребен е аналитички израз кој е критериум за избор на вистинското решение. Потребен ни е општ критериум во аналитичка форма, што овозможува да се избере недвосмислено физички определено решение.
Со други зборови, потребен ни е критериум кој разликува функција која изразува патувачки бран од извор до бесконечност, од функција која опишува бран кој доаѓа од бесконечност до извор на зрачење.
Овој проблем го реши А. Сомерфелд. Тој го покажа тоа за патувачки бран опишан со функцијата 
Оваа формула се нарекува состојба на зрачење или Сомерфелд состојба .
Размислете за елементарен електричен емитер во форма на дипол. Електричниот дипол е кратко парче жица лво споредба со долгиот бран ( л<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия л<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток
Лесно е да се покаже дека промената на електричното поле во просторот што ја опкружува жицата има брановиден карактер. За јасност, да разгледаме екстремно поедноставен модел на процесот на формирање и промена на електричната компонента на електромагнетното поле што го емитува жицата. На сл. 3.11 покажува модел на процесот на зрачење на електричното поле на електромагнетниот бран во временски период еднаков на еден период
Како што знаете, електричната струја се должи на движењето на електричните полнежи, имено
Во иднина, ќе ја разгледаме само промената на положбата на позитивните и негативните полнежи на жицата. Линијата за јачина на електричното поле започнува со позитивен полнеж и завршува со негативен. На сл. 3.11 линијата на сила е прикажана со точкаста линија. Вреди да се запамети дека електричното поле се создава во целиот простор што го опкружува проводникот, иако на сл. 3.11 покажува една линија на сила.
За да тече наизменична струја низ проводник, потребен е наизменичен извор на ЕМП. Таков извор е вклучен во средината на жицата. Состојбата на процесот на емисија на електричното поле е прикажана со бројки од 1 до 13. Секој број одговара на одредена временска точка поврзана со состојбата на процесот. Моментот t=1 одговара на почетокот на процесот, т.е. EMF = 0. Во моментот t=2 се појавува променлива EMF, која предизвикува движење на полнежите, како што е прикажано на сл. 3.11. Со доаѓањето на подвижните полнежи во жицата, во вселената се појавува електрично поле. со текот на времето (t = 3÷5) полнежите се движат кон краевите на спроводникот и линијата на сила покрива сè поголем дел од просторот. линијата на сила се шири со брзина на светлината во насока нормална на жицата. Во времето t = 6 - 8, ЕМП, откако помина низ максималната вредност, се намалува. Полнењата се движат кон средината на жицата.
Во времето t = 9, полуциклусот на промената на ЕМП завршува, тој се намалува на нула. Во овој случај, обвиненијата се спојуваат, тие се компензираат едни со други. во овој случај нема електрично поле. Линијата на сила на зраченото електрично поле се затвора и продолжува да се оддалечува од жицата.
Потоа доаѓа вториот полуциклус на промената на ЕМП, процесите се повторуваат земајќи ја предвид промената на поларитетот. На сл. 3.11 во моментите t = 10÷13 е прикажана слика на процесот земајќи ја предвид линијата на силата на електричното поле.
Го разгледавме процесот на формирање на затворени линии на сила на вителско електрично поле. Но, вреди да се запамети дека зрачењето на електромагнетните бранови е единствен процес. Електричното и магнетното поле се неразделни меѓузависни компоненти на електромагнетното поле.
Процесот на зрачење прикажан на сл. 3.11 е слично на зрачењето на електромагнетното поле од симетричен електричен вибратор и е широко користен во технологијата за радио комуникација. Мора да се запомни дека рамнината на осцилации на векторот на јачината на електричното поле 
Емисијата на електромагнетни бранови се должи на променлив процес. Затоа, во формулата за полнење, можете да ја ставите константата C \u003d 0. За комплексната вредност на полнењето може да се напише.
По аналогија со електростатиката, можеме да го воведеме концептот на моментот на електричен дипол со наизменична струја
Од формулата (3.95) следува дека моменталните вектори на електричниот дипол и насочениот жичен сегмент 
Треба да се забележи дека вистинските антени имаат должини на жици кои обично се споредливи со брановата должина. За да се одредат радијативните карактеристики на таквите антени, жицата обично се дели ментално на посебни мали делови, од кои секоја се смета за елементарен електричен дипол. добиеното антенско поле се наоѓа со собирање на зрачените векторски полиња генерирани од поединечните диполи.
Функцијата (78.1) мора да биде периодична и во однос на времето t и во однос на координатите x, y и z. Периодичноста во t произлегува од фактот што ги опишува флуктуациите на точка со координати x, y, z. Периодичноста во координатите произлегува од фактот дека точките одделени една од друга со растојание осцилираат на ист начин.
Да ја најдеме формата на функцијата во случај на рамен бран, под претпоставка дека осцилациите се хармонични по природа. За поедноставување, да ги насочиме координатните оски така што оската x се совпаѓа со насоката на ширење на бранот. Тогаш брановите површини ќе бидат нормални на оската x и бидејќи сите точки на брановата површина осцилираат на ист начин, поместувањето ќе зависи само од x и t:
Нека флуктуациите на точките што лежат во рамнината x=0 (сл. 195) имаат форма
Дозволете ни да го најдеме типот на осцилација на честичките во рамнината што одговара на произволна вредност од x. За да оди од рамнината x=0 до оваа рамнина, на бранот му треба време
Каде е брзината на ширење на бранот. Следствено, осцилациите на честичките кои лежат во x рамнината ќе заостануваат зад осцилациите на честичките во x=0 рамнината во времето, т.е. ќе изгледа како
Значи, равенката на рамниот бран ќе биде напишана на следниов начин;
Изразот (78.3) ја дава врската помеѓу времето (t) и местото (x) во кое се извршува фиксната вредност на фазата во моментот. Откако ја утврдивме вредноста на dx / dt што произлегува од него, ќе ја најдеме брзината со која се движи оваа фазна вредност. Диференцирајќи го изразот (78.3), добиваме:
Навистина, со изедначување на брановата фаза (78.5) со константа и диференцирање, добиваме:
од каде следува дека бранот (78.5) се шири во насока на намалување на x.
На равенката на рамниот бран може да и се даде форма која е симетрична во однос на t и x. За да го направите ова, го воведуваме таканаречениот бран број k;
Заменувајќи ја во равенката (78.2) нејзината вредност (78.7) и ставајќи ја во заграда, ја добиваме равенката на рамниот бран во форма
|
|
(78 .8) |
Равенката на бранот што се шири во насока на намалување на x ќе се разликува од (78.8) само во знакот во терминот kx.
Сега да ја најдеме равенката на сферичен бран. Секој вистински извор на бранови има одреден степен. Меѓутоа, ако се ограничиме на разгледување на бранот на растојанија од изворот кои се многу поголеми од неговата големина, тогаш изворот може да се смета за точкаст извор.
Во случај кога брзината на ширење на бранот во сите правци е иста, бранот генериран од точкаст извор ќе биде сферичен. Да претпоставиме дека фазата на осцилација на изворот е . Тогаш точките што лежат на брановата површина со радиус r ќе осцилираат со фаза (потребно е време за бранот да ја помине патеката r). Амплитудата на осцилација во овој случај, дури и ако брановата енергија не се апсорбира од медиумот, не останува константна - таа се намалува со растојанието од изворот според законот 1/r (види §82). Затоа, равенката на сферичниот бран ја има формата
|
|
(78 .9) |
каде што a е константна вредност нумерички еднаква на амплитудата на растојание од изворот еднакво на единство. Димензијата a е еднаква на димензијата на амплитудата помножена со димензијата на должината (димензијата r).
Потсетете се дека, врз основа на претпоставките направени на почетокот, равенството (78.9) важи само кога димензиите на изворот се многу поголеми. Како што r се стреми кон нула, изразот за амплитудата оди до бесконечност. Овој апсурден резултат се објаснува со неприменливоста на равенката за мали r.
Мислиме на координатите на рамнотежната положба на точката.