Најдете ја основата и димензијата на потпросторот. Потпростор, неговата основа и димензија. Врска помеѓу базите
1. Оставете го потпросторот Л = Л(а 1 , а 2 , …, м) , тоа е Ле линеарната обвивка на системот а 1 , а 2 , …, м; вектори а 1 , а 2 , …, ме системот на генератори на овој потпростор. Потоа основата Ле основа на системот на вектори а 1 , а 2 , …, м, односно основата на системот на генератори. Димензија Ле еднаков на рангот на системот на генератори.
2. Оставете го потпросторот Ле збир на потпростори Л 1 и Л 2. Системот на генерирање потпростори може да се добие со комбинирање на системите на генерирање на потпростори, по што се наоѓа основата на збирот. Димензијата на збирот се наоѓа со следнава формула:
слабо(Л 1 + Л 2) = слабо 1 + слабо 2 – слабо(Л 1 З Л 2).
3. Нека збирот на потпростори Л 1 и Л 2 права линија, т.е Л = Л 1 Å Л 2. При што Л 1 З Л 2 = {за) и слабо(Л 1 З Л 2) = 0. Основата на директниот збир е еднаква на унијата на основите на собирите. Димензијата на директната сума е еднаква на збирот на димензиите на поимите.
4. Да дадеме важен пример за потпростор и линеарен колектор.
Размислете за хомоген систем м линеарни равенкиСо nнепознат. Многу решенија М 0 од овој систем е подмножество од множеството R nа се затвора при собирање вектори и нивно множење со реален број. Ова значи дека ова е комплет М 0 - потпростор на просторот R n. Основата на потпросторот е основното множество решенија на хомогениот систем, димензијата на потпросторот е еднаква на бројот на вектори во основното множество решенија на системот.
Многу Мзаеднички системски решенија млинеарни равенки со nнепознат е исто така подмножество на множеството R nи е еднаков на збирот на множеството М 0 и вектор а, каде ае некое посебно решение на оригиналниот систем, и комплетот М 0 е збир на решенија на хомоген систем на линеарни равенки што го придружуваат овој систем (се разликува од оригиналниот систем само во слободни термини),
М = а + М 0 = {а = м, м Î М 0 }.
Ова значи дека многу Ме линеарен колектор на просторот R nсо поместување вектор аи насока М 0 .
Пример 8.6.Најдете ја основата и димензијата на потпросторот дадени со хомоген систем на линеарни равенки:
Решение. Дозволете ни да го најдеме општото решение на овој систем и неговиот фундаментален сет на решенија: 
Основата на потпросторот е формирана од вектори Со 1 , Со 2 , Со 3, неговата димензија е три.
Крај на работа -
Оваа тема припаѓа на:
Линеарна алгебра
Кострома Државниот универзитетиме н и некрасов ..
Ако ви треба дополнителен материјал на оваа тема, или не го најдовте она што го барате, препорачуваме да го користите пребарувањето во нашата база на податоци за дела:
Што ќе правиме со добиениот материјал:
Ако овој материјал се покажа корисен за вас, можете да го зачувате на вашата страница на социјалните мрежи:
| твит |
Сите теми во овој дел:
BBK 22,174ya73-5
М350 Печатено со одлука на уредувачкиот и издавачкиот совет на КСУ. Н.А. Некрасова Рецензент А.В.Чередников
BBK 22,174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU im. Н.А. Некрасова, 2013 година
Унија (или збир)
Дефиниција 1.9 Унијата на множествата A и B е множеството A È B, кое се состои од оние и само оние елементи кои припаѓаат на иако
Пресек (или производ)
Дефиниција 1.10. Пресекот на множествата A и B е множеството A Ç B, кое се состои од оние и само оние елементи кои припаѓаат на истото
Разлика
Дефиниција 1.11 Разликата на множествата А и Б е множеството А Б, кое се состои од оние и само оние елементи кои припаѓаат на множеството А
Декартов производ (или директен производ)
Дефиниција 1.14. Подреден пар (или пар) (а, б) се два елементи a, b земени по одреден редослед. Парови (a1
Својства на сет операции
Својствата на операциите на унијата, пресекот и комплементот понекогаш се нарекуваат закони на множество алгебра. Да ги наведеме главните својства на операциите на множества. Нека универзално постави U
Метод на математичка индукција
Методот на математичка индукција се користи за докажување на искази во кои е вклучен природниот параметар n. Методот на математичка индукција - методот на докажување на математиката
Комплексни броеви
Концептот на број е едно од главните достигнувања на човечката култура. Прво, се појавија природните броеви N = (1, 2, 3, ..., n, ...), потоа цели броеви Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), рационални Q
Геометриска интерпретација на сложени броеви
Познато е дека негативните броеви биле воведени во врска со решавањето на линеарни равенки со една променлива. Во конкретни проблеми, негативен одговор се толкува како вредност на насочената количина (
Тригонометриска форма на комплексен број
Векторот може да се определи не само со координати во правоаголен координатен систем, туку и со должина и
Операции на сложени броеви во тригонометриска форма
Попогодно е да се врши собирање и одземање на сложени броеви во алгебарска форма, а множење и делење во тригонометриска форма. 1. Множења Нека два k
Експоненцијација
Ако z = r(cosj + i×sinj), тогаш zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), каде што n Î
Експоненцијална форма на комплексен број
Од математичката анализа е познато дека e = , e е ирационален број. Ајл
Концепт на врска
Дефиниција 2.1. n-ary (или n-ary) релација P на множествата A1, A2, ..., An е кое било подмножество
Својства на бинарни односи
Нека бинарната релација P е дадена на непразно множество A, т.е. P Í A2. Дефиниција 2.9 Бинарна релација P на множество
Релација на еквивалентност
Дефиниција 2.15. Бинарната врска на множеството А се нарекува еквивалентна врска ако е рефлексна, симетрична и преодна. Еквивалентен однос
Функции
Дефиниција 2.20 Бинарна релација ƒ н A ´ B се нарекува функција од множеството A до множеството B ако за кое било x
Општи концепти
Дефиниција 3.1. Матрицата е правоаголна табела со броеви која содржи m редови и n колони. Броевите m и n се нарекуваат ред (или
Додавање матрици од ист тип
Можете да додавате само матрици од ист тип. Дефиниција 3.12. Збирот на две матрици A = (aij) и B = (bij), каде што i = 1,
Својства на собирање на матрици
1) комутативност: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) асоцијативност:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A
Множење на матрица со број
Дефиниција 3.13. Производот на матрицата A = (aij) и реалниот број k е матрицата C = (сij) за која
Својства на множење матрица со број
1) "A: 1 × A = A; 2) " α, β Î R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×
Множење на матрицата
Го дефинираме множењето на две матрици; За да го направите ова, треба да воведеме некои дополнителни концепти. Дефиниција 3.14. Матриците А и Б се нарекуваат конзистентни
Својства на множење на матрицата
1) Множењето на матрицата не е комутативно: A×B ≠ B×A. Ова својство може да се покаже со примери. Пример 3.6. а)
Транспозиција на матрица
Дефиниција 3.16. Матрицата Аt, добиена од даденото со замена на секоја нејзина редица со колона со ист број, се нарекува транспонирана во дадената матрица А.
Детерминанти на матрици од втор и трет ред
На секоја квадратна матрица А од редот n и е доделен број, кој се нарекува детерминанта на оваа матрица. Ознака: D, |A|, det A,
Дефиниција 4.6.
1. За n = 1, матрицата A се состои од еден број: |A| = a11. 2. Нека е позната детерминантата за матрица од ред (n – 1). 3. Дефинирај
Својства на квалификатори
За да се пресметаат детерминанти на редови поголеми од 3, се користат својствата на детерминантите и Лапласовата теорема. Теорема 4.1 (Лаплас). Детерминанта на квадратна матрица
Практична пресметка на детерминанти
Еден начин да се пресметаат детерминантите на редот над три е да се прошири во некоја колона или ред. Пример 4.4 Пресметај ја детерминантата D =
Концептот на матричен ранг
Нека A е m ´ n матрица. Избираме произволно k редови и k колони во оваа матрица, каде што 1 ≤ k ≤ min(m, n).
Наоѓање на ранг на матрица со методот на граничи со малолетници
Еден од методите за наоѓање на ранг на матрица е набројувањето на малолетниците. Овој метод се заснова на одредување на рангот на матрицата. Суштината на методот е како што следува. Ако има барем еден елемент
Наоѓање на ранг на матрица со помош на елементарни трансформации
Размислете за друг начин за наоѓање на ранг на матрица. Дефиниција 5.4. Следниве трансформации се нарекуваат елементарни матрични трансформации: 1. множи
Концептот на инверзна матрица и како да се најде
Нека е дадена квадратна матрица А. Дефиниција 5.7. Матрицата A–1 се нарекува инверзна на матрицата A ако A×A–1
Алгоритам за пронаоѓање на инверзна матрица
Размислете за еден од начините за наоѓање инверзна на дадена матрица со помош на алгебарски собирања. Нека е дадена квадратна матрица A. 1. Најдете ја детерминантата на матрицата |A|. ЕУ
Наоѓање на инверзна матрица со помош на елементарни трансформации
Размислете за друг начин да ја пронајдете инверзната матрица користејќи елементарни трансформации. Дозволете ни да ги формулираме потребните концепти и теореми. Дефиниција 5.11 Име на матрицата Б
Крамер метод
Размислете за систем на линеарни равенки во кој бројот на равенки е еднаков на бројот на непознати, односно m = n и системот изгледа вака:
Метод на инверзна матрица
Методот на инверзна матрица е применлив за системи на линеарни равенки во кои бројот на равенки е еднаков на бројот на непознати, а детерминантата на главната матрица не е еднаква на нула. Матричен систем за нотација
Гаусовиот метод
За да се опише овој метод, кој е погоден за решавање на произволни системи на линеарни равенки, потребни се некои нови концепти. Дефиниција 6.7. 0× равенка
Опис на методот Гаус
Гаусовиот метод - метод на последователна елиминација на непознати - се состои во тоа што, со помош на елементарни трансформации, оригиналниот систем се сведува на еквивалентен систем на чекори или т.
Проучување на систем на линеарни равенки
Да се истражува систем од линеарни равенки значи, без да се реши системот, да се одговори на прашањето: дали системот е конзистентен или не, и ако е така, колку решенија има? Одговори на ова во
Хомогени системи на линеарни равенки
Дефиниција 6.11 Систем од линеарни равенки се нарекува хомоген ако неговите слободни членови се еднакви на нула. Хомоген систем од m линеарни равенки
Својства на решенија на хомоген систем на линеарни равенки
1. Ако векторот а = (a1, a2, ..., an) е решение на хомоген систем, тогаш векторот k×а = (k×a1, k&t
Основно збир на решенија за хомоген систем на линеарни равенки
Нека M0 е множеството решенија на хомогениот систем (4) линеарни равенки. Дефиниција 6.12 Векторите c1, c2, ..., c
Линеарна зависност и независност на систем од вектори
Нека a1, a2, …, am се множество од m парчиња од n-димензионални вектори, што обично се нарекува систем на вектори, и k1
Својства на линеарна зависност на систем на вектори
1) Системот на вектори што го содржи нултиот вектор е линеарно зависен. 2) Систем од вектори е линеарно зависен ако некој од неговите потсистеми е линеарно зависен. Последица. Ако си
Единица векторски систем
Дефиниција 7.13. Систем на единечни вектори во просторот Rn е систем од вектори e1, e2, …, en
Две линеарни теореми за зависност
Теорема 7.1. Ако голем системвектори линеарно се изразува во однос на помалиот, тогаш поголемиот систем е линеарно зависен. Да ја формулираме оваа теорема подетално: нека a1
Основа и ранг на систем на вектори
Нека S е систем од вектори во просторот Rn; може да биде или конечна или бесконечна. S" е потсистем на системот S, S" Ì S. Да дадеме два
Ранг на векторскиот систем
Да дадеме две еквивалентни дефиниции за рангот на систем од вектори. Дефиниција 7.16. Рангот на системот на вектори е бројот на вектори во која било основа на овој систем.
Практично наоѓање на ранг и основа на систем на вектори
Од дадениот систем на вектори, составуваме матрица со подредување на векторите како редови од оваа матрица. Ја доведуваме матрицата во скалеста форма користејќи елементарни трансформации преку редовите на оваа матрица. На
Дефиниција на векторски простор над произволно поле
Нека P е произволно поле. Примери на полиња познати за нас се полето на рационални, реални, сложени броеви. Дефиниција 8.1. Се повикува множеството V
Наједноставните својства на векторските простори
1) o е нула вектор (елемент), уникатно дефиниран во произволно векторски просторнад теренот. 2) За секој вектор a О V, постои единствен
Потпростори. Линеарни колектори
Нека V е векторски простор, L Ì V (L е подмножество од V). Дефиниција 8.2. Подмножество L на векторот про
Пресек и збир на потпростори
Нека V е векторски простор над полето P, L1 и L2 се неговите потпростори. Дефиниција 8.3. Подпрашање на раскрсницата
Линеарни колектори
Нека V е векторски простор, L потпростор и нека a е произволен вектор од просторот V. Дефиниција 8.6 Со линеарен колектор
Конечни-димензионални векторски простори
Дефиниција 8.7 Векторскиот простор V се нарекува n-димензионален ако содржи линеарно независен систем на вектори составен од n вектори и за
Основа на конечно-димензионален векторски простор
V е конечно-димензионален векторски простор над полето P, S е систем од вектори (конечни или бесконечни). Дефиниција 8.10. Основата на системот С
Векторски координати во однос на дадената основа
Размислете за конечно-димензионален векторски простор V со димензија n, векторите e1, e2, …, en ја формираат неговата основа. Нека биде прод
Векторски координати во различни основи
Нека V е n-димензионален векторски простор во кој се дадени две основи: e1, e2, ..., en е старата основа, e "1, e
Евклидов векторски простори
Даден е векторски простор V над полето со реални броеви. Овој простор може да биде или конечно-димензионален векторски простор со димензија n или бесконечно-димензионален.
Точка производ во координати
Во n-димензионален Евклидов векторски простор V, дадена е основа e1, e2, …, en. Векторите x и y разложени на вектори
Метрички концепти
Во Евклидовите векторски простори, може да се помине од воведениот скаларен производ до концептите за норма на векторот и аголот помеѓу векторите. Дефиниција 8.16. Норма (
Својства на норма
1) ||а|| = 0 w a = o. 2) ||ла|| = |l|×||a||, бидејќи ||la|| =
Ортонормална основа на Евклидов векторски простор
Дефиниција 8.21. Основата на Евклидов векторски простор се нарекува ортогонална ако векторите на основата се парно ортогонални, односно ако a1, a
Процес на ортогонализација
Теорема 8.12. Секој n-димензионален Евклидов простор има ортонормална основа. Доказ. Нека a1, a2
Производ со точки на ортонормална основа
Дадена е ортонормална основа e1, e2, …, en на Евклидовиот простор V. Бидејќи (ei, ej) = 0 за i
Ортогонален потпростор комплемент
V е Евклидов векторски простор, L е неговиот потпростор. Дефиниција 8.23. Векторот a се вели дека е ортогонален на потпросторот L ако векторот
Врска помеѓу координатите на векторот и координатите на неговата слика
Линеарен оператор j е даден во просторот V, а неговата матрица M(j) се наоѓа во некоја основа e1, e2, …, en. Ова нека биде основата
Слични матрици
Да го разгледаме множеството Pn´n од квадратни матрици од ред n со елементи од произволно поле P. Во ова множество ја воведуваме релативната
Својства на матричната врска на сличност
1. Рефлексивност. Секоја матрица е слична на себе, т.е. A ~ A. 2. Симетрија. Ако матрицата A е слична на B, тогаш B е слична на A, т.е.
Својства на сопствени вектори
1. Секој сопствен вектор припаѓа само на една сопствена вредност. Доказ. Нека x е сопствен вектор со две сопствени вредности
Карактеристичен полином на матрица
Дадена е матрица A Î Pn´n (или A Î Rn´n). Дефинирај
Услови под кои матрицата е слична на дијагонална матрица
Нека A е квадратна матрица. Можеме да претпоставиме дека ова е матрицата на некој линеарен оператор дадена во некоја основа. Познато е дека во друга основа матрицата на линеарниот оператор
Џордан во нормална форма
Дефиниција 10.5. Џордан клетка од редот k поврзана со бројот l0 е матрица од редот k, 1 ≤ k ≤ n,
Намалување на матрица во форма на Јордан (нормална).
Теорема 10.3. Нормалната форма на Јордан е уникатно дефинирана за матрица до редоследот по кој ќелиите Јордан се наоѓаат на главната дијагонала. итн
Билинеарни форми
Дефиниција 11.1. Билинеарна форма е функција (мапирање) f: V ´ V ® R (или C), каде што V е произволен вектор n
Својства на дволинеарни форми
Секоја биланеарна форма може да се претстави како збир од симетрични кос-симетрични форми. Со избраната основа e1, e2, …, en во векторот
Трансформација на матрица од биланеарна форма при преминување на нова основа. Ранг на биланеарна форма
Нека две основи e = (e1, e2, ..., en) и f = (f1, f2,
Квадратни форми
Нека A(x, y) е симетрична биланеарна форма дефинирана на векторски простор V. Дефиниција 11.6 Со квадратна форма
Намалување на квадратна форма во канонска форма
Дадена е квадратна форма (2) A(x, x) = , каде што x = (x1
Закон за инерција на квадратни форми
Утврдено е дека бројот на не-нула канонски коефициенти на квадратна форма е еднаков на неговиот ранг и не зависи од изборот на недегенерирана трансформација со која формата A(x
Неопходен и доволен услов една квадратна форма да биде знако-одредена
Изјава 11.1. За да може квадратната форма A(x, x) дадена во n-димензионалниот векторски простор V да биде знак-одредена, потребно е
Неопходен и доволен услов за квазипроменливи квадратни форми
Изјава 11.3. За да може квадратната форма A(x, x) дефинирана во n-димензионалниот векторски простор V да биде квазинаизменична (т.е.
Силвестеровиот критериум за знак-одреденост на квадратна форма
Нека формата A(x, x) во основата e = (e1, e2, …, en) е дефинирана со матрицата A(e) = (aij)
Заклучок
Линеарната алгебра е задолжителен дел од секоја напредна математичка програма. Секој друг дел претпоставува присуство на знаења, вештини и способности утврдени за време на наставата на оваа дисциплина.
Библиографска листа
Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линеарна алгебра со елементи на аналитичка геометрија. - М .: Издавачка куќа на Вишата економска школа, 2007. Беклемишев Д.В. Курс по аналитичка геометрија и линеарна алгебра.
Линеарна алгебра
Наставно помагало Уредник и лектор Г. Д. Неганова Компјутерска наборувачка од Т. Н.
Подмножество од линеарен простор формира потпростор ако е затворен при векторско собирање и множење со скалари.
ПРИМЕР 6.1. Дали потпросторот во рамнина формира множество вектори чии краеви лежат: а) во првиот квадрант; б) на права линија што минува низ потеклото? (векторското потекло лежи на потеклото)
Решение.
а) не, бидејќи множеството не е затворено при множење со скалар: кога се множи со негативен број, крајот на векторот паѓа во третата четвртина.
б) да, бидејќи при собирање вектори и нивно множење со кој било број, нивните краеви остануваат на истата права линија.
ВЕЖБА 6.1. Дали следните подмножества од соодветните линеарни простори формираат потпростор:
а) збир на рамни вектори чии краеви лежат во првиот или третиот квадрант;
б) збир на рамни вектори чии краеви лежат на права линија што не минува низ потеклото;
в) збир на координатни линии ((x 1 , x 2 , x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);
г) збир на координатни линии ((x 1 , x 2 , x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);
д) збир на координатни линии ((x 1 , x 2 , x 3)ï x 1 = x 2 2 ).
Димензијата на линеарниот простор L е бројот на слаб L на вектори вклучени во која било основа.
Димензијата на збирот и пресекот на потпросторите се поврзани со релацијата
затемнети (U + V) = слабо U + затемнети V – затемнети (U Ç V).
ПРИМЕР 6.2. Најдете ја основата и димензијата на збирот и пресекот на потпросторите опфатени со следните системи на вектори:
Решение Секој од системите на вектори кои ги генерираат потпросторите U и V е линеарно независен и оттука е основата на соодветниот потпростор. Ајде да изградиме матрица од координатите на овие вектори, подредувајќи ги во колони и одвојувајќи еден систем од друг со линија. Дозволете ни да ја доведеме добиената матрица во скалеста форма.
Основата U + V ја формираат векторите , , , кои одговараат на водечките елементи во матрицата на чекори. Оттука слабо (U + V) = 3. Тогаш
затемнето (UÇV) = слабо U + слабо V – слабо (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.
Пресекот на потпросторите формира збир на вектори кои ја задоволуваат равенката (стои на левата и десната страна на оваа равенка). Основата на пресекот ќе се добие со користење на основниот систем на решенија на системот на линеарни равенки што одговараат на оваа векторска равенка. Матрицата на овој систем веќе е сведена на скалеста форма. Врз основа на него, заклучуваме дека y 2 е слободна променлива, и поставуваме y 2 = c. Тогаш 0 = y 1 – y 2 , y 1 = c,. а пресекот на потпросторите формира множество вектори на формата 
Забелешки. 1. Ако продолжиме да го решаваме системот, наоѓајќи ги вредностите на променливите x, тогаш добиваме x 2 \u003d c, x 1 \u003d c, а на левата страна од векторската равенка добиваме вектор еднаков на што е добиено погоре.
2. Користејќи го овој метод, може да се добие основата на збирот, без разлика дали генерирачките системи на вектори се линеарно независни. Но, основата на пресекот ќе се добие правилно само ако барем системот што го генерира вториот потпростор е линеарно независен.
3. Ако се утврди дека димензијата на пресекот е 0, тогаш пресекот нема основа, и нема потреба да се бара.
ВЕЖБА 6.2. Најдете ја основата и димензијата на збирот и пресекот на потпросторите опфатени со следните системи на вектори:
а)
б)
Евклидов простор
Евклидов простор е линеарен простор над поле Р, во која е дефинирано скаларно множење, кое на секој пар вектори доделува скалар и се исполнети следните услови:
2) (a + b) = a() + b();
3) ¹ z > 0.
Стандардниот производ со точки се пресметува со помош на формулите
(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n .
Векторите и се нарекуваат ортогонални, напишани ^ ако нивниот скаларен производ е еднаков на 0.
Системот на вектори се нарекува ортогонален ако векторите во него се во пар ортогонални.
Ортогоналниот систем на вектори е линеарно независен.
Процесот на ортогонализација на системот на вектори , … , се состои во премин кон еквивалентен ортогонален систем , … , , изведен со формулите:
ПРИМЕР 7.1. Ортогонализација на систем на вектори
= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).
Решение Имаме = = (1, 2, 2, 1);
= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).
, = 
= 
ВЕЖБА 7.1. Ортогонализација на системи на вектори:
а) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);
б) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).
ПРИМЕР 7.2. Дополнете го системот на вектори = (1, -1, 1, -1),
= (1, 1, -1, -1), до ортогонален простор основа.
Решение Оригиналниот систем е ортогонален, така што проблемот има смисла. Бидејќи векторите се дадени во четиридимензионален простор, потребно е да се најдат уште два вектори. Третиот вектор = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) се одредува од условите = 0, = 0. Овие услови даваат систем на равенки, чија матрица е формирана од координатните редови на векторите и . Го решаваме системот:
На слободните променливи x 3 и x 4 може да им се даде било кој сет на вредности освен нула. Претпоставуваме, на пример, x 3 = 0, x 4 = 1. Потоа x 2 = 0, x 1 = 1 и = (1, 0, 0, 1).
Слично, наоѓаме = (y 1, y 2, y 3, y 4). За да го направите ова, додаваме нова координатна редица на матрицата на чекори добиена погоре и ја намалуваме на чекор форма:
За слободна променлива y 3 поставуваме y 3 = 1. Потоа y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0 и = (0, 1, 1, 0).
Нормата на евклидов простор вектор е ненегативен реален број.
Векторот се нарекува нормализиран ако неговата норма е 1.
За да се нормализира векторот, тој мора да се подели со неговата норма.
Ортогоналниот систем на нормализирани вектори се нарекува ортонормален.
ВЕЖБА 7.2. Дополнете го системот на вектори на ортонормална основа на просторот:
а) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);
б) = (1/3, -2/3, 2/3).
Линеарни прикази
Нека U и V се линеарни простори над полето F. Пресликувањето f: U ® V се нарекува линеарно ако и .
ПРИМЕР 8.1. Дали се линеарни трансформации на тридимензионален простор:
а) f (x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 - x 3, 0);
б) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).
Решение.
а) Имаме f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =
= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) - (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 - x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3, 0) =
F((x1, x2, x3) + f(y1, y2, y3));
f(l(x 1, x 2, x 3)) = f(lx 1, lx 2, lx 3) = (2lx 1, lx 1 - lx 3, 0) = l(2x 1, x 1 - x 3 , 0) =
L f(x 1, x 2, x 3).
Затоа, трансформацијата е линеарна.
б) Имаме f((x 1 , x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =
= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);
f((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3)) = (1, x 1 + x 2, x 3) + (1, y 1 + y 2, y 3 ) =
= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3) ).
Затоа, трансформацијата не е линеарна.
Сликата на линеарно пресликување f: U ® V е збир на слики од вектори од U, т.е.
Im (f) = (f() ï Î U). + … + a m1
ВЕЖБА 8.1. Најдете го рангот, дефектот, основите на сликата и кернелите на линеарното пресликување f дадено со матрицата:
а) A = ; б) A = ; в) A = 
Системи на линеарни хомогени равенки
Формулирање на проблемот. Најдете некоја основа и определи ја димензијата на линеарниот простор на решенијата на системот
План за решение.
1. Запишете ја системската матрица:
а со помош на елементарни трансформации ја трансформираме матрицата во триаголен, т.е. до таква форма кога сите елементи под главната дијагонала се еднакви на нула. Рангот на системската матрица е еднаков на бројот на линеарно независни редови, т.е., во нашиот случај, бројот на редови во кои остануваат не-нула елементи:
Димензијата на просторот за решение е . Ако , тогаш хомогениот систем има единствено нула решение, ако , тогаш системот има бесконечен број решенија.
2. Изберете основни и слободни променливи. Слободните променливи се означуваат со . Потоа основните променливи ги изразуваме во однос на слободните, со што се добива општото решение на хомоген систем на линеарни равенки.
3. Ја запишуваме основата на просторот за решение на системот со секвенцијално поставување на една од слободните променливи еднаков на еден, а останатите се нула. Димензијата на просторот за линеарно решение на системот е еднаква на бројот на базичните вектори.
Забелешка. Основните трансформации на матрицата вклучуваат:
1. множење (делење) на низа со множител различен од нула;
2. собирање на која било линија од друга права, помножена со кој било број;
3. пермутација на линии на места;
4. трансформации 1–3 за колони (во случај на решавање системи на линеарни равенки не се користат елементарни трансформации на колони).
Задача 3.Најдете некоја основа и определи ја димензијата на линеарниот простор на решенијата на системот.
Ја запишуваме матрицата на системот и, користејќи елементарни трансформации, ја доведуваме во триаголна форма:
Претпоставуваме тогаш
Страница 1
Потпростор, неговата основа и димензија.
Нека Ле линеарниот простор над полето П и Ае подмножество на Л. Ако Асамиот претставува линеарен простор над полето Пза истите операции како Л, тогаш Анаречен потпростор на просторот Л.
Според дефиницијата за линеарен простор, така што Абеше потпростор за проверка на изводливоста во Аоперации:
1) : 
2) 
и проверете дали операциите во Апредмет на осум аксиоми. Меѓутоа, второто ќе биде излишно (поради фактот што овие аксиоми стојат во L), т.е. следното
Теорема.Нека L е линеарен простор над полето P и 
1. :
2.
Изјава.Ако Л – n-димензионален линеарен простор и Атогаш неговиот потпростор Ае исто така конечно-димензионален линеарен простор и неговата димензија не надминува n.
П 
Решение: Нека 
Пример 2 В 2 збир на векторски сегменти на рамнината Ссите рамни вектори чии почетоци и краеви лежат на дадена права ловој авион?
Решение.
Е 
Пример 3Е линеарен потпростор на линеарен простор В 2 многу Асите вектори на рамнината чии краеви лежат на дадената права л, (да претпоставиме дека потеклото на кој било вектор се совпаѓа со потеклото)?
Р 
Во случај кога директните лне поминува низ потеклото НОлинеарен потпростор на просторот В 2
не е, затоа што 
Во случај кога директните л
поминува низ потеклото, множеството НОе линеарен потпростор на просторот В 2
,
бидејќи 
Пример 4Нека е даден систем на вектори 
Решение. Навистина, бидејќи , тогаш за какви било елементи x,
y
Бидејќи 
Да ја провериме изводливоста на вториот услов од теоремата. Ако xе кој било вектор од Аи т- кој било број од П, тогаш. Затоа што 
За конечни-димензионални линеарни простори, обратното е исто така точно.
Теорема.Било кој потпростор НОлинеарен простор Лнад теренот 
При решавање на проблемот за наоѓање на основата и димензијата на линеарната обвивка се користи следнава теорема.
Теорема.Линеарна основа на школка 
Пример 4Најдете ја основата и димензијата на потпростор 
Решение. Познато е дека векторите и нивните координатни редови (колони) имаат исти својства (во однос на линеарната зависност). Ние правиме матрица А=
Најдете го ранг на матрица А.
Затоа, рангот р(А)=
3. Значи, ранг на системот на вектори 
И 
Може да се потврди дека системот 
Страница 1
Линеарниот простор V се нарекува n-димензионална, ако содржи систем од n линеарно независни вектори и секој систем од повеќе вектори е линеарно зависен. Се повикува бројот n димензија (број на димензии)линеарен простор V и се означува \име на оператор(дим) V. Со други зборови, димензијата на просторот е максималниот број на линеарно независни вектори во тој простор. Ако постои таков број, тогаш се вели дека просторот е конечно-димензионален. Ако за било кој природен број n во просторот V постои систем кој се состои од n линеарно независни вектори, тогаш таквиот простор се нарекува бесконечно-димензионален (пишуваме: \operatorname(dim)V=\infty). Во следново, освен ако не е поинаку наведено, ќе се разгледуваат конечни-димензионални простори.
Основа n-димензионален линеарен простор е подредено множество од n линеарно независни вектори ( основни вектори).
Теорема 8.1 за проширување на вектор во однос на основа. Ако е основа на n-димензионален линеарен простор V , тогаш секој вектор \mathbf(v)\ во V може да се претстави како линеарна комбинација од базични вектори:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
а згора на тоа, на единствен начин, т.е. шансите \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_nсе дефинираат недвосмислено.Со други зборови, секој просторен вектор може да се прошири во однос на основата и, згора на тоа, на единствен начин.
Навистина, димензијата на просторот V е еднаква на n. Векторски систем \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nлинеарно независна (ова е основата). По додавањето на кој било вектор \mathbf(v) на основата, добиваме линеарно зависен систем \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(бидејќи овој систем се состои од (n + 1) вектори на n-димензионален простор). Со својството на 7 линеарно зависни и линеарно независни вектори го добиваме заклучокот од теоремата.
Последица 1. Ако \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nе основа на просторот V, тогаш V=\име на оператор (Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), т.е. линеарниот простор е линеарен распон на основните вектори.
Навистина, за да се докаже еднаквоста V=\име на оператор (Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n)две сета, доволно е да се покаже дека инклузиите V\подмножество \име на оператор(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n)а се извршуваат во исто време. Навистина, од една страна, секоја линеарна комбинација на вектори во линеарен простор припаѓа на самиот линеарен простор, т.е. \име на оператор(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\подмножество V. Од друга страна, со теорема 8.1 секој просторен вектор може да се претстави како линеарна комбинација од базични вектори, т.е. V\подмножество \име на оператор(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Ова подразбира еднаквост на разгледуваните множества.
Последица 2. Ако \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nе линеарно независен систем на вектори во линеарниот простор V и секој вектор \mathbf(v)\ во V може да се претстави како линеарна комбинација (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, тогаш просторот V има димензија n , а системот \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_nе нејзината основа.
Навистина, во просторот V постои систем од n линеарно независни вектори и кој било систем \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_nод повеќе вектори (k>n) е линеарно зависен, бидејќи секој вектор од овој систем е линеарно изразен во однос на векторите \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Средства, \operatorname(dim) V=nи \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- основа V.
Теорема 8.2 за комплетирање на систем од вектори до основа. Секој линеарно независен систем на k вектори во n-димензионален линеарен простор (1\leqslant k Навистина, нека е линеарно независен систем на вектори во n-димензионален простор V~(1\leqslant k Забелешки 8.4 1. Основата на линеарен простор се дефинира двосмислено. На пример, ако \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_nе основата на просторот V , потоа системот на вектори \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_nза секој \lambda\ne0 е исто така основа на V. Бројот на основни вектори во различни бази на ист конечно-димензионален простор е, се разбира, ист, бидејќи овој број е еднаков на димензијата на просторот. 2. Во некои простори, кои често се среќаваат во апликациите, една од можните основи, најзгодна од практична гледна точка, се нарекува стандардна. 3. Теоремата 8.1 ни овозможува да кажеме дека основата е целосен систем на елементи на линеарен простор, во смисла дека секој просторен вектор е линеарно изразен во однос на вектори на основата. 4. Ако множеството \mathbb(L) е линеарен распон \име на оператор(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), потоа векторите \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_kсе нарекуваат генератори на множеството \mathbb(L) . Заклучок 1 од теорема 8.1, врз основа на еднаквоста V=\име на оператор (Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)ни овозможува да кажеме дека основата е минимален систем за генерирањелинеарен простор V , бидејќи е невозможно да се намали бројот на генератори (отстранете барем еден вектор од множеството \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) без да се наруши еднаквоста V=\име на оператор(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Теоремата 8.2 ни дозволува да кажеме дека основата е максимален линеарно независен систем на векторилинеарен простор, бидејќи основата е линеарно независен систем на вектори и не може да се дополни со ниту еден вектор без да се изгуби линеарната независност. 6. Удобно е да се користи заклучокот 2 од теоремата 8.1 за да се најде основата и димензијата на линеарен простор. Во некои учебници се зема за дефинирање на основата, имено: линеарно независен систем \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nвектори на линеарен простор се нарекуваат основа ако кој било вектор на просторот е линеарно изразен во однос на векторите \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Бројот на основни вектори ја одредува димензијата на просторот. Се разбира, овие дефиниции се еквивалентни на оние дадени погоре. Ја наведуваме димензијата и основата за примерите на линеарни простори разгледани погоре. 1. Нулта линеарен простор \(\mathbf(o)\) не содржи линеарно независни вектори. Затоа, димензијата на овој простор се претпоставува дека е нула: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Овој простор нема основа. 2. Просторите V_1,\,V_2,\,V_3 имаат димензии 1, 2, 3 соодветно. Навистина, секој ненулти вектор на просторот V_1 , формира линеарно независен систем (види точка 1. од Забелешките 8.2), и кои било два ненула вектори на просторот V_1 се колинеарни, т.е. се линеарно зависни (види Пример 8.1). Затоа, \dim(V_1)=1, а основата на просторот V_1 е кој било вектор кој не е нула. Слично, докажуваме дека \dim(V_2)=2 и \dim(V_3)=3. Основата на просторот V_2 е кои било два неколинеарни вектори земени по одреден редослед (еден од нив се смета за прв основен вектор, другиот - вториот). Основата на просторот V_3 се трите некомпланарни (не лежени во исти или паралелни рамнини) вектори, земени по одреден редослед. Стандардна основа во V_1 е единечниот вектор \vec(i) на линијата. Стандардната основа во V_2 е основата \vec(i),\,\vec(j), кој се состои од два меѓусебно нормални единечни вектори на рамнината. Стандардната основа во просторот V_3 е основата \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), составена од три единечни парни нормални вектори кои ја формираат десната тројка. 3. Просторот \mathbb(R)^n содржи не повеќе од n линеарно независни вектори. Навистина, да земеме k колони од \mathbb(R)^n и да направиме матрица со големини n\пати k од нив. Ако k>n , тогаш колоните се линеарно зависни од теоремата 3.4 од рангот на матрицата. Следствено, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. Во просторот \mathbb(R)^n не е тешко да се најдат n линеарно независни колони. На пример, колоните од матрицата за идентитет \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end (pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end (pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end (pmatrix)\ !. се линеарно независни. Следствено, \dim(\mathbb(R)^n)=n. Се повикува просторот \mathbb(R)^n n-димензионален реален аритметички простор. Наведеното множество вектори се смета за стандардна основа на просторот \mathbb(R)^n . Слично, се докажува дека \dim(\mathbb(C)^n)=n, па се нарекува просторот \mathbb(C)^n n-димензионален сложен аритметички простор. 4. Потсетиме дека секое решение на хомогениот систем Ax=o може да се претстави како x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), каде r=\име на оператор(rg)A, А \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- фундаментален систем на одлучување. Следствено, \(Ax=o\)=\име на оператор (Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), т.е. основата на просторот \(Ax=0\) на решенија на хомоген систем е неговиот основен систем на решенија, а димензијата на просторот е \dim\(Ax=o\)=n-r , каде n е бројот на непознати, а r е ранг на системската матрица. 5. Во просторот M_(2\times3) од матрици со големина 2\times3, може да се изберат 6 матрици: \почеток(собрано)\mathbf(e)_1= \почеток(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end (pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \почеток(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end (pmatrix)\!,\hfill \end (собрано) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \__5+f(e) \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end (pmatrix) е еднаква на нултата матрица само во тривијалниот случај \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Читајќи ја еднаквоста (8.5) од десно кон лево, заклучуваме дека која било матрица од M_(2\times3) е линеарно изразена во однос на избраните 6 матрици, т.е. M_(2\пати)= \име на оператор (Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Следствено, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6и матрици \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6се (стандардна) основа на овој простор. Слично, се докажува дека \dim(M_(m\пати n))=m\cdot n. 6. За кој било природен број n во просторот P(\mathbb(C)) на полиноми со сложени коефициенти, може да се најдат n линеарно независни елементи. На пример, полиномите \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1)се линеарно независни, бидејќи нивната линеарна комбинација a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) е еднаков на нултиот полином (o(z)\equiv0) само во тривијалниот случај a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Бидејќи овој систем на полиноми е линеарно независен за кое било природно n, просторот P(\mathbb(C)) е бесконечно-димензионален. Слично, заклучуваме дека просторот P(\mathbb(R)) на полиноми со реални коефициенти има бесконечна димензија. Просторот P_n(\mathbb(R)) на полиноми со максимум степен n е конечно-димензионален. Навистина, векторите \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^nформираат (стандардна) основа за овој простор, бидејќи тие се линеарно независни и секој полином во P_n(\mathbb(R)) може да се претстави како линеарна комбинација од овие вектори: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Примери на основи за линеарни простори
кои се линеарно независни. Навистина, нивната линеарна комбинација
7. Просторот C(\mathbb(R)) на непрекинати функции е бесконечно-димензионален. Навистина, за секое природно n полиномите 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), кои се сметаат како континуирани функции, формираат линеарно независни системи (види го претходниот пример).
Во вселената T_(\омега)(\mathbb(R))тригонометриски биноми (фреквенции \омега\ne0 ) со коефициенти на реална основа формираат мономи \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Тие се линеарно независни, бидејќи идентитетската еднаквост a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0можно само во тривијалниот случај (a=b=0) . Секоја функција на формата f(t)=a\sin\омега t+b\cos\омега tлинеарно изразено во однос на основните: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. Просторот \mathbb(R)^X на реалните функции дефинирани на множеството X, во зависност од доменот на X, може да биде конечно-димензионален или бесконечно-димензионален. Ако X е конечно множество, тогаш просторот \mathbb(R)^X е конечно-димензионален (на пример, X=\(1,2,\лточки, n\)). Ако X е бесконечно множество, тогаш просторот \mathbb(R)^X е бесконечно-димензионален (на пример, просторот \mathbb(R)^N од низите).
9. Во просторот \mathbb(R)^(+) како основа може да послужи секој позитивен број \mathbf(e)_1 кој не е еднаков на 1. Земете го, на пример, бројот \mathbf(e)_1=2 . Секој позитивен број r може да се изрази во однос на \mathbf(e)_1 , т.е. присутни во форма \алфа\cdot \mathbf(e)_1\запирка r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, каде што \alpha_1=\log_2r. Според тоа, димензијата на овој простор е 1, а бројот \mathbf(e)_1=2 е основа.
10. Нека \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nе основа на реалниот линеарен простор V. Ние дефинираме линеарни скаларни функции на V со поставување:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\почеток(случаи)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\крај (случаи)
Во исто време, поради линеарноста на функцијата \mathcal(E)_i , за произволен вектор добиваме \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
Значи, дефинирани се n елементи (ковектори). \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_nдвоен простор V^(\ast) . Да го докажеме тоа \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- основа V^(\ast) .
Прво, покажуваме дека системот \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nлинеарно независни. Навистина, земете линеарна комбинација од овие ковектори (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))=и изедначете ја со функцијата нула
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\во V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v) )\ во В.
Замена во оваа еднаквост \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, добиваме \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Затоа, системот на елементи \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_nпросторот V^(\ast) е линеарно независен, бидејќи еднаквоста \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o)можно само во тривијалниот случај.
Второ, докажуваме дека која било линеарна функција f\in V^(\ast) може да се претстави како линеарна комбинација од ковектори \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Навистина, за кој било вектор \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_nпоради линеарноста на функцијата f, добиваме:
\почеток(порамнет)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end (порамнет)
тие. функцијата f е претставена како линеарна комбинација f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_nфункции \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(броеви \beta_i=f(\mathbf(e)_i)се коефициентите на линеарната комбинација). Затоа, системот на ковектори \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nе основа на двојниот простор V^(\ast) и \dim(V^(\ast))=\dim(V)(за конечно-димензионален простор V ).
Доколку забележите грешка, печатна грешка или имате предлози, пишете во коментар.