Логаритам со корен во основата. Својства на логаритмите и примери на нивните решенија. Исцрпен водич (2020). Формула за замена на основата
Логаритам од b (b > 0) до основата a (a > 0, a ≠ 1)е експонентот на кој треба да го подигнете бројот a за да го добиете b.
Основниот 10 логаритам на b може да се запише како дневник (б), и логаритам до основата e (природен логаритам) - ln(b).
Често се користи при решавање проблеми со логаритми:
Својства на логаритмите
Постојат четири главни својства на логаритми.
Нека a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.
Својство 1. Логаритам на производот
Логаритам на производоте еднаков на збирот на логаритми:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Својство 2. Логаритам на количникот
Логаритам на количникоте еднаква на разликата на логаритми:
log a (x / y) = log a x – log a y
Својство 3. Логаритам на степенот
Степен логаритаме еднаков на производот на степенот и логаритамот:
Ако основата на логаритмот е во експонентот, тогаш се применува друга формула:
Својство 4. Логаритам на коренот
Ова својство може да се добие од својството на логаритмот на степенот, бидејќи коренот на n-тиот степен е еднаков на моќноста од 1/n:
Формулата за преминување од логаритам во една база до логаритам во друга основа
Оваа формула често се користи и при решавање на различни задачи за логаритми:
Посебен случај:
Споредба на логаритми (неравенки)
Да претпоставиме дека имаме 2 функции f(x) и g(x) под логаритми со исти основи и меѓу нив постои знак за нееднаквост:
За да ги споредите, прво треба да ја погледнете основата на логаритмите:
- Ако a > 0, тогаш f(x) > g(x) > 0
- Ако 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Како да се решаваат проблеми со логаритми: примери
Задачи со логаритмивклучени во USE во математика за одделение 11 во задача 5 и задача 7, можете да најдете задачи со решенија на нашата веб-страница во соодветните делови. Исто така, задачите со логаритми се наоѓаат во банката на задачи во математиката. Можете да ги најдете сите примери со пребарување на страницата.
Што е логаритам
Логаритмите отсекогаш се сметале за тешка тема на училишниот курс по математика. Постојат многу различни дефиниции за логаритамот, но поради некоја причина повеќето учебници ги користат најкомплексните и најнесреќните од нив.
Ќе го дефинираме логаритамот едноставно и јасно. Ајде да создадеме табела за ова:
Значи, имаме моќ од два.
Логаритми - својства, формули, како да се реши
Ако го земете бројот од крајната линија, тогаш лесно можете да ја пронајдете моќта на која треба да подигнете два за да го добиете овој број. На пример, за да добиете 16, треба да подигнете два до четвртата сила. И за да добиете 64, треба да подигнете два на шестата сила. Ова може да се види од табелата.
И сега - всушност, дефиницијата за логаритам:
основата a на аргументот x е моќноста на која бројот a мора да се подигне за да се добие бројот x.
Ознака: log a x \u003d b, каде што a е основата, x е аргументот, b е всушност она на што е еднаков на логаритамот.
На пример, 2 3 = 8 ⇒ лог 2 8 = 3 (основниот 2 логаритам од 8 е три бидејќи 2 3 = 8). Може и да логирате 2 64 = 6, бидејќи 2 6 = 64.
Операцијата за наоѓање на логаритам на број на дадена основа се нарекува. Значи, да додадеме нов ред на нашата табела:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| дневник 2 2 = 1 | дневник 2 4 = 2 | дневник 2 8 = 3 | дневник 2 16 = 4 | дневник 2 32 = 5 | дневник 2 64 = 6 |
За жал, не сите логаритми се разгледуваат толку лесно. На пример, обидете се да го најдете дневникот 2 5. Бројот 5 го нема во табелата, но логиката налага дека логаритамот ќе лежи некаде на интервалот. Бидејќи 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Таквите броеви се нарекуваат ирационални: броевите по децималната точка може да се пишуваат бесконечно и никогаш не се повторуваат. Ако се покаже дека логаритамот е ирационален, подобро е да го оставите вака: дневник 2 5, дневник 3 8, лог 5 100.
Важно е да се разбере дека логаритамот е израз со две променливи (основа и аргумент). На почетокот, многу луѓе збунуваат каде е основата и каде е аргументот. За да избегнете досадни недоразбирања, само погледнете ја сликата:
Пред нас не е ништо повеќе од дефиниција на логаритам. Запомнете: логаритамот е моќта, на што треба да ја подигнете основата за да го добиете аргументот. Тоа е основата што е подигната на јачина - на сликата е означена со црвено. Излегува дека основата е секогаш на дното! Ова прекрасно правило им го кажувам на моите ученици уште на првиот час - и нема забуна.
Како да се бројат логаритми
Ја сфативме дефиницијата - останува да научиме како да броиме логаритми, т.е. ослободете се од знакот „дневник“. За почеток, забележуваме дека од дефиницијата произлегуваат два важни факти:
- Аргументот и основата секогаш мора да бидат поголеми од нула. Ова произлегува од дефинирањето на степенот со рационален експонент, на кој е намалена дефиницијата на логаритамот.
- Основата мора да се разликува од единството, бидејќи единицата за која било моќ е сè уште единица. Поради ова, прашањето „до каква моќ треба да се подигне за да се добијат две“ е бесмислено. Таква диплома нема!
Таквите ограничувања се нарекуваат валиден опсег(ОДЗ). Излегува дека ODZ на логаритмот изгледа вака: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Имајте на ум дека не постојат ограничувања на бројот b (вредноста на логаритамот) не е наметната. На пример, логаритамот може да биде негативен: log 2 0,5 = −1, бидејќи 0,5 = 2 −1 .
Меѓутоа, сега ги разгледуваме само нумеричките изрази, каде што не е потребно да се знае ODZ на логаритамот. Сите ограничувања веќе се земени предвид од составувачите на проблемите. Но, кога ќе влезат во игра логаритамските равенки и неравенки, барањата за DHS ќе станат задолжителни. Навистина, во основата и аргументот може да има многу силни конструкции кои не мора да одговараат на горенаведените ограничувања.
Сега разгледајте ја општата шема за пресметување на логаритми. Се состои од три чекори:
- Основата a и аргументот x изразете ги како моќност со најмала можна основа поголема од една. На патот, подобро е да се ослободите од децималните фракции;
- Решете ја равенката за променливата b: x = a b ;
- Резултирачкиот број b ќе биде одговорот.
Тоа е се! Ако логаритамот се покаже дека е ирационален, тоа ќе се види веќе на првиот чекор. Барањето основата да биде поголема од една е многу релевантно: ова ја намалува веројатноста за грешка и во голема мера ги поедноставува пресметките. Слично со децималните дропки: ако веднаш ги претворите во обични, ќе има многу пати помалку грешки.
Ајде да видиме како функционира оваа шема со конкретни примери:
Задача. Пресметај го логаритамот: log 5 25
- Да ги претставиме основата и аргументот како моќ од пет: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Доби одговор: 2.
Да ја направиме и решиме равенката:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Задача. Пресметајте го логаритамот:
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 4 64
- Да ги претставиме основата и аргументот како моќ од два: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Да ја направиме и решиме равенката:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Доби одговор: 3.
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 16 1
- Да ги претставиме основата и аргументот како моќ од два: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Да ја направиме и решиме равенката:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Доби одговор: 0.
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 7 14
- Да ги претставиме основата и аргументот како моќ од седум: 7 = 7 1 ; 14 не е претставен како моќ од седум, бидејќи 7 1< 14 < 7 2 ;
- Од претходниот став произлегува дека логаритамот не се разгледува;
- Одговорот е без промена: дневник 7 14.
Мала забелешка за последниот пример. Како да се осигураме дека бројот не е точна моќност на друг број? Многу едноставно - само разложете го на основни фактори. Ако има најмалку два различни фактори во проширувањето, бројот не е точна моќност.
Задача. Откријте дали точните сили на бројот се: 8; 48; 81; 35; Четиринаесет.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - точниот степен, бидејќи има само еден множител;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 не е точна моќност бидејќи има два фактора: 3 и 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - точен степен;
35 = 7 5 - повторно не е точен степен;
14 \u003d 7 2 - повторно не е точен степен;
Забележете исто така дека самите прости броеви се секогаш точни моќи на самите себе.
Децимален логаритам
Некои логаритми се толку чести што имаат посебно име и ознака.
од аргументот x е логаритамот на основата 10, т.е. моќноста на која мора да се подигне 10 за да се добие x. Ознака: lgx.
На пример, дневник 10 = 1; дневник 100 = 2; lg 1000 = 3 - итн.
Отсега па натаму, кога во учебникот ќе се појави фраза како „Најди lg 0.01“, знајте дека ова не е печатна грешка. Ова е децимален логаритам. Меѓутоа, ако не сте навикнати на таква ознака, секогаш можете да ја преработите:
лог x = дневник 10 x
Сè што е точно за обичните логаритми важи и за децимали.
природен логаритам
Постои уште еден логаритам кој има своја нотација. Во извесна смисла, тоа е уште поважно од децималното. Ова е природниот логаритам.
од аргументот x е логаритам до основата e, т.е. моќта до која треба да се подигне бројот e за да се добие бројот x. Ознака: lnx.
Многумина ќе прашаат: кој е бројот e? Ова е ирационален број, неговата точна вредност не може да се најде и запише. Еве ги само првите бројки:
e = 2,718281828459…
Нема да навлегуваме во тоа што е оваа бројка и зошто е потребна. Само запомнете дека e е основата на природниот логаритам:
ln x = log e x
Така ln e = 1; дневник e 2 = 2; ln e 16 = 16 - итн. Од друга страна, ln 2 е ирационален број. Општо земено, природниот логаритам на кој било рационален број е ирационален. Освен, се разбира, единството: ln 1 = 0.
За природните логаритми важат сите правила кои се точни за обичните логаритми.
Исто така види:
Логаритам. Својства на логаритмот (моќ на логаритам).
Како да се претстави број како логаритам?
Ја користиме дефиницијата за логаритам.
Логаритмот е показател за моќноста до која треба да се подигне основата за да се добие бројот под знакот на логаритамот.
Така, за да се прикаже одреден број c како логаритам на основата a, потребно е да се стави степен под знакот на логаритамот со иста основа како основата на логаритмот и да се запише овој број c во експонентот. :
Во форма на логаритам, можете да претставите апсолутно секој број - позитивен, негативен, цел број, фракционо, рационално, ирационално:
За да не ги мешате a и c во стресни услови на тест или испит, можете да го користите следново правило за да запомните:
она што е долу оди надолу, она што е горе оди нагоре.
На пример, сакате да го претставите бројот 2 како логаритам на основата 3.
Имаме два броја - 2 и 3. Овие броеви се основата и експонентот, кои ќе ги запишеме под знакот на логаритамот. Останува да се утврди кој од овие броеви треба да се запише, во основата на степенот, а кој - нагоре, во експонентот.
Основата 3 во записот на логаритамот е на дното, што значи дека кога ќе го претставиме дусот како логаритам на основата од 3, ќе запишеме и 3 до основата.
2 е повисоко од 3. А во ознаката на степенот ги запишуваме двете над трите, односно во експонентот:
Логаритми. Прво ниво.
Логаритми
логаритампозитивен број бпо разум а, каде a > 0, a ≠ 1, е експонентот до кој бројот мора да се подигне. а, За да се добие б.
Дефиниција на логаритамможе накратко да се напише вака:
Оваа еднаквост важи за b > 0, a > 0, a ≠ 1.Тој обично се нарекува логаритамски идентитет.
Дејството на наоѓање на логаритам на број се нарекува логаритам.
Својства на логаритмите:
Логаритм на производот:
Логаритам на количникот од делењето:
Замена на основата на логаритмот:
Степен логаритам:
корен логаритам:
Логаритам со база на моќност:
Децимални и природни логаритми.
Децимален логаритамброевите го повикуваат основниот 10 логаритам на тој број и пишуваат lg б
природен логаритамброевите го повикуваат логаритмот на овој број до основата д, каде де ирационален број, приближно еднаков на 2,7. Во исто време, тие пишуваат ln б.
Други белешки за алгебра и геометрија
Основни својства на логаритмите
Основни својства на логаритмите
Логаритмите, како и секој број, може да се додаваат, одземаат и претвораат на секој можен начин. Но, бидејќи логаритмите не се сосема обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат основни својства.
Овие правила мора да се знаат - ниту еден сериозен логаритамски проблем не може да се реши без нив. Покрај тоа, има многу малку од нив - сè може да се научи за еден ден. Па ајде да започнеме.
Собирање и одземање на логаритми
Размислете за два логаритми со иста основа: log a x и log a y. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
Значи, збирот на логаритмите е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е логаритам на количникот. Ве молиме имајте предвид: клучната точка овде е - истите основи. Ако основите се различни, овие правила не функционираат!
Овие формули ќе помогнат да се пресмета логаритамскиот израз дури и кога неговите поединечни делови не се разгледуваат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:
дневник 6 4 + дневник 6 9.
Бидејќи основите на логаритмите се исти, ја користиме формулата за збир:
дневник 6 4 + дневник 6 9 = дневник 6 (4 9) = дневник 6 36 = 2.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 2 48 − log 2 3.
Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
дневник 2 48 - дневник 2 3 = дневник 2 (48: 3) = дневник 2 16 = 4.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 3 135 − log 3 5.
Повторно, основите се исти, така што имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се разгледуваат одделно. Но, по трансформациите излегуваат сосема нормални бројки. Врз основа на овој факт, многу тест трудови. Да, контрола - слични изрази со сета сериозност (понекогаш - практично без промени) се нудат на испитот.
Отстранување на експонентот од логаритамот
Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако има степен во основата или аргументот на логаритмот? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:
Лесно е да се види дека последното правило ги следи нивните први две. Но, подобро е да го запомните во секој случај - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.
Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се набљудува логаритамот ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И уште нешто: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно, т.е. можете да ги внесете броевите пред знакот на логаритам во самиот логаритам.
Како да се решат логаритми
Ова е она што најчесто се бара.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 7 49 6 .
Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот според првата формула:
дневник 7 49 6 = 6 дневник 7 49 = 6 2 = 12
Задача. Најдете ја вредноста на изразот:
Забележете дека именителот е логаритам чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Ние имаме:
Мислам дека последниот пример треба да се разјасни. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Тие ја претставија основата и аргументот на логаритамот што стои таму во форма на степени и ги извадија индикаторите - добија дропка „три ката“.
Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот имаат ист број: log 2 7. Бидејќи log 2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропот - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што беше направено. Резултатот е одговорот: 2.
Транзиција кон нова основа
Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако основите се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?
На помош доаѓаат формулите за транзиција во нова база. Ги формулираме во форма на теорема:
Нека е даден логаритамскиот лог a x. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:
Конкретно, ако ставиме c = x, добиваме:
Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменуваат, но целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот е во именителот.
Овие формули ретко се наоѓаат во обичните нумерички изрази. Можно е да се процени колку се погодни само кога се решаваат логаритамски равенки и неравенки.
Сепак, има задачи кои не можат да се решат воопшто, освен со преместување во нова основа. Да разгледаме неколку од овие:
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 5 16 log 2 25.
Забележете дека аргументите на двата логаритма се точни експоненти. Ајде да ги извадиме индикаторите: лог 5 16 = дневник 5 2 4 = 4лог 5 2; дневник 2 25 = дневник 2 5 2 = 2 дневник 2 5;
Сега да го превртиме вториот логаритам:
Бидејќи производот не се менува од пермутацијата на факторите, мирно помноживме четири и два, а потоа ги сфативме логаритмите.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 9 100 lg 3.
Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме и да се ослободиме од индикаторите:
Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:
Основен логаритамски идентитет
Често во процесот на решавање се бара да се претстави број како логаритам на дадена основа.
Во овој случај, формулите ќе ни помогнат:
Во првиот случај, бројот n станува експонент во аргументот. Бројот n може да биде апсолутно сè, бидејќи тоа е само вредноста на логаритамот.
Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Се вика вака:
Навистина, што ќе се случи ако бројот b се подигне до таков степен што бројот b во овој степен го дава бројот a? Точно: ова е истиот број a. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе „висат“ на него.
Како и новите формули за конверзија на базите, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот:
Забележете дека дневникот 25 64 = дневникот 5 8 - само го извади квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Со оглед на правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:
Ако некој не е запознаен, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит 🙂
Логаритамска единица и логаритамска нула
Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко се нарекуваат својства - напротив, тоа се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се наоѓаат во проблеми и, зачудувачки, им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.
- log a a = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a од самата таа основа е еднаков на еден.
- log a 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот е еден - логаритам нула! Бидејќи 0 = 1 е директна последица на дефиницијата.
Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.
коренот на логаритмотна позитивен број е еднаков на логаритмот на коренскиот израз поделен со коренскиот индекс:
И за волја на вистината, кога се работи со степени, се користи зависноста, затоа, со примена на теоремата за логаритам на моќност, ја добиваме оваа формула.
Ајде да го спроведеме во пракса, размислете пример:
На решавање задачи за наоѓање на логаритамдоста често се покажува дека е корисно од логаритми до една основа (на пример, а) оди на логаритми во различна основа (на пример, Со) . Во такви ситуации, се применува следната формула:
Ова значи дека а, би Сосе, се разбира, позитивни бројки, и аи Соне се еднакви на еден.
За да ја докажеме оваа формула, користиме основен логаритамски идентитет:
Ако позитивните броеви се еднакви, тогаш нивните логаритми се очигледно еднакви во истата основа. Со. Затоа:
Пријавување теорема за логаритам за моќност:
Следствено , log a b · дневник в а = дневник в бод каде потекнува формула за промена на основата на логаритам.
Прифатлив опсег (ODZ) на логаритамот
Сега да зборуваме за ограничувања (ODZ - област на дозволени вредности на променливи).
Се сеќаваме дека, на пример, квадратниот корен не може да се земе од негативни броеви; или ако имаме дропка, тогаш именителот не може да биде еднаков на нула. Постојат слични ограничувања за логаритми:
Односно, и аргументот и основата мора да бидат поголеми од нула, а основата не може да биде еднаква.
Зошто е тоа?
Да почнеме едноставно: да го кажеме тоа. Тогаш, на пример, бројката не постои, бидејќи без разлика кој степен ќе го подигнеме, секогаш излегува. Згора на тоа, не постои за никого. Но, во исто време може да биде еднакво на било што (од истата причина - тоа е еднакво на кој било степен). Затоа, предметот не е од интерес, и едноставно е исфрлен од математиката.
Сличен проблем имаме и во случајот: во било кој позитивен степен- ова, и воопшто не може да се подигне на негатива, бидејќи делењето со нула ќе резултира (те потсетувам на тоа).
Кога сме соочени со проблемот на подигање на фракциона моќ (кој е претставен како корен:. На пример, (т.е.), но не постои.
Затоа, негативните причини полесно се фрлаат отколку да се плеткаат со нив.
Па, бидејќи основата a е само позитивна за нас, тогаш без разлика кој степен ќе ја подигнеме, секогаш ќе добиеме строго позитивен број. Значи, аргументот мора да биде позитивен. На пример, не постои, бидејќи нема да биде негативен број во ниеден степен (па дури и нула, затоа и не постои).
Во проблемите со логаритми, првиот чекор е да се запише ODZ. Ќе дадам пример:
Да ја решиме равенката.
Потсетете се на дефиницијата: логаритамот е моќта на која основата мора да се подигне за да се добие аргумент. А според условот, овој степен е еднаков на: .
Го добиваме вообичаеното квадратна равенка: . Го решаваме користејќи ја теоремата на Виета: збирот на корените е еднаков, а производот. Лесно се подигаат, тоа се бројки и.
Но, ако веднаш ги земете и запишете двата од овие бројки во одговорот, можете да добиете 0 поени за задачата. Зошто? Ајде да размислиме што ќе се случи ако ги замениме овие корени во почетната равенка?
Ова е јасно неточно, бидејќи основата не може да биде негативна, односно коренот е „трета страна“.
За да избегнете такви непријатни трикови, треба да го запишете ODZ дури и пред да започнете да ја решавате равенката:
Потоа, откако ги добивме корените и, веднаш го отфрламе коренот и го пишуваме точниот одговор.
Пример 1(обидете се сами да го решите) :
Најдете го коренот на равенката. Ако има неколку корени, наведете го помалиот во вашиот одговор.
Решение:
Прво, да го напишеме ОДЗ:
Сега се сеќаваме што е логаритам: до која моќ треба да ја подигнете основата за да добиете аргумент? Во вториот. Тоа е:
Се чини дека помалиот корен е еднаков. Но, тоа не е така: според ОДЗ, коренот е трето лице, односно воопшто не е коренот на оваа равенка. Така, равенката има само еден корен: .
Одговор: .
Основен логаритамски идентитет
Потсетете се на дефиницијата за логаритам во општи термини:
Заменете во второто равенство наместо логаритамот:
Оваа еднаквост се нарекува основен логаритамски идентитет. Иако во суштина оваа еднаквост е само напишана поинаку дефиниција на логаритам:
Ова е моќта до која треба да ја подигнете за да стигнете.
На пример:
Решете ги следниве примери:
Пример 2
Најдете ја вредноста на изразот.
Решение:
Потсетете се на правилото од делот:, односно при подигање на степен до моќност, индикаторите се множат. Ајде да го примениме:
Пример 3
Докажете го тоа.
Решение:
Својства на логаритмите
За жал, задачите не се секогаш толку едноставни - честопати прво треба да го поедноставите изразот, да го доведете до вообичаената форма и само тогаш ќе биде можно да се пресмета вредноста. Најлесно е да се направи ова знаејќи својства на логаритми. Значи, да ги научиме основните својства на логаритмите. Ќе го докажам секое од нив, бидејќи секое правило е полесно да се запамети ако знаете од каде доаѓа.
Сите овие својства мора да се запомнат; без нив, повеќето проблеми со логаритми не можат да се решат.
И сега за сите својства на логаритмите подетално.
Сопственост 1:
Доказ:
Нека, тогаш.
Имаме: , h.t.d.
Својство 2: Збир на логаритми
Збирот на логаритми со иста основа е еднаков на логаритмот на производот: .
Доказ:
Нека, тогаш. Нека, тогаш.
Пример:Најдете ја вредноста на изразот: .
Решение:.
Формулата што штотуку ја научивте помага да се поедностави збирот на логаритмите, а не разликата, така што овие логаритми не можат веднаш да се комбинираат. Но, можете да го направите спротивното - да го „скршите“ првиот логаритам на два дела: А еве го ветеното поедноставување:
.
Зошто е ова потребно? Па, на пример: што е важно?
Сега е очигледно дека.
Сега олеснете си:
Задачи:
Одговори:
Својство 3: Разлика на логаритми:
Доказ:
Сè е исто како во став 2:
Нека, тогаш.
Нека, тогаш. Ние имаме:
Примерот од последната точка сега е уште поедноставен:
Покомплициран пример: . Погодете сами како да одлучите?
Овде треба да се забележи дека немаме единствена формула за логаритми на квадрат. Ова е нешто слично на израз - ова не може да се поедностави веднаш.
Затоа, да отстапиме од формулите за логаритми и да размислиме кои формули најчесто ги користиме во математиката? Уште од 7 одделение!
Тоа -. Мора да се навикнеш на фактот дека ги има насекаде! И во експоненцијални, и во тригонометриски и во ирационални проблеми, тие се наоѓаат. Затоа, тие мора да се запомнат.
Ако внимателно ги погледнете првите два термина, станува јасно дека тоа е разлика на квадрати:
Одговор за проверка:
Поедноставете се.
Примери
Одговори.
Својство 4: Изведување на експонентот од аргументот на логаритамот:
Доказ:И тука ја користиме и дефиницијата за логаритам: нека, тогаш. Имаме: , h.t.d.
Можете да го разберете ова правило вака:
Односно, степенот на аргументот се носи напред од логаритамот, како коефициент.
Пример:Најдете ја вредноста на изразот.
Решение: .
Одлучете сами:
Примери:
Одговори:
Својство 5: Изведување на експонентот од основата на логаритамот:
Доказ:Нека, тогаш.
Имаме: , h.t.d.
Запомнете: од основистепенот се изрече како обратноброј, за разлика од претходниот случај!
Својство 6: Изведување на експонентот од основата и аргументот на логаритамот:
Или ако степените се исти: .
Својство 7: Транзиција кон нова база:
Доказ:Нека, тогаш.
Имаме: , h.t.d.
Својство 8: Замена на основата и аргументот на логаритмот:
Доказ:тоа посебен случајформула 7: ако замениме, добиваме: , p.t.d.
Ајде да погледнеме уште неколку примери.
Пример 4
Најдете ја вредноста на изразот.
Го користиме својството на логаритмите бр. 2 - збирот на логаритми со иста основа е еднаков на логаритмот на производот:
Пример 5
Најдете ја вредноста на изразот.
Решение:
Ние ги користиме својствата на логаритмите бр. 3 и бр. 4:
Пример 6
Најдете ја вредноста на изразот.
Решение:
Користење на имотот број 7 - одете во основата 2:
Пример 7
Најдете ја вредноста на изразот.
Решение:
Како ви се допаѓа статијата?
Ако ги читате овие редови, тогаш сте ја прочитале целата статија.
И тоа е кул!
Сега кажете ни како ви се допаѓа статијата?
Дали научивте да решавате логаритми? Ако не, што е проблемот?
Пишете ни во коментарите подолу.
И да, со среќа со вашите испити.
На обединет државен испит и ОГЕ и воопшто во животот
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ И ЛОГАРИТАМСКИ ФУНКЦИИ VIII
§ 184. Логаритам на степен и корен
Теорема 1.Логаритмот на моќноста на позитивен број е еднаков на производот на експонентот на оваа моќност според логаритамот на неговата основа.
Со други зборови, ако а и X позитивни и а =/= 1, потоа за кој било реален број к
дневник а x к = к дневник а x . (1)
За да се докаже оваа формула, доволно е да се покаже тоа
= а к дневник а x . (2)
= x к
а к дневник а x = (а дневник а x ) к = x к .
Ова ја подразбира валидноста на формулата (2), а оттука и (1).
Забележете дека ако бројот к е природно ( k = n ), тогаш формулата (1) е посебен случај на формулата
дневник а (x 1 x 2 x 3 ... x n ) = дневник а x 1 + дневник а x 2 + дневник а x 3 + ...лог а x n .
докажано во претходниот дел. Навистина, под претпоставка во оваа формула
x 1 = x 2 = ... = x n = x ,
добиваме:
дневник а x n = n дневник а x .
1) дневник 3 25 = дневник 3 5 2 = 2 дневник 3 5;
2) дневник 3 2 √ 3 = √3 дневник 3 2.
За негативни вредности X формулата (1) го губи своето значење. На пример, не можете да напишете log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4) бидејќи изразот log 2 (-4) е недефиниран. Забележете дека изразот на левата страна на оваа формула има смисла:
дневник 2 (-4) 2 = дневник 2 16 = 4.
Во принцип, ако бројот X е негативен, тогаш изразот дневник а x 2к = 2к дневник а x утврдени затоа што x 2к > 0. Изразот е 2 к дневник а x во овој случај нема смисла. Па пишувај
Дневник а x 2к = 2к дневник а x
тоа е забрането. Сепак, може да се напише
дневник а x 2к = 2к дневник a | x | (3)
Оваа формула лесно се добива од (1) ако се земе предвид дека
x 2к = | x | 2к
На пример,
дневник 3 (-3) 4 = 4 дневник 3 | -3 | = 4 дневник 3 3 = 4.
Теорема 2.Логаритмот на коренот на позитивен број е еднаков на логаритмот на коренскиот израз поделен со експонентот на коренот.
Со други зборови, ако бројките а и X се позитивни а =/= 1 и П - природен број, тогаш
дневник а n √x = 1 / n дневник а x
Навистина, n √x = . Затоа, со теорема 1
дневник а n √x = дневник а = 1 / n дневник а x .
1) дневник 3 √ 8 = 1 / 2 дневник 3 8; 2) дневник 2 5 √27 = 1/5 дневник 2 27.
Вежби
1408. Како ќе се промени логаритамот на број ако без промена на основата:
а) квадрат на бројот
б) земете го квадратниот корен на број?
1409. Како ќе се промени дневникот за разлика 2 а - дневник 2 б ако броеви а и б соодветно да се замени со:
а) а 3 и б 3; б) 3 а и 3 б ?
1410. Знаејќи дека log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771, најдете ги логаритмите на основата од 10 броеви:
8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9
1411. Докажи дека логаритмите на последователни членови на геометриска прогресија формираат аритметичка прогресија.
1412. Дали функциите се разликуваат една од друга
на = дневник 3 X 2 и на = 2 дневник 3 X
Конструирај графикони на овие функции.
1413. Најдете грешка во следните трансформации:
дневник 2 1 / 3 = дневник 2 1 / 3
2лог 2 1 / 3 > дневник 2 1 / 3 ;
дневник 2 (1 / 3) 2 > дневник 2 1 / 3
(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;
Да почнеме со својства на логаритмот на единство. Неговата формулација е како што следува: логаритамот на единство е еднаков на нула, односно, логирајте 1=0за кое било a>0, a≠1. Доказот е јасен: бидејќи a 0 =1 за кој било a што ги задоволува горенаведените услови a>0 и a≠1, тогаш од дефиницијата на логаритамот веднаш следи докажаниот лог за еднаквост a 1=0.
Да дадеме примери за примена на разгледуваното својство: log 3 1=0 , lg1=0 и .
Ајде да продолжиме на следниот имот: логаритамот на број еднаков на основата е еднаков, тоа е, log a a=1за a>0, a≠1. Навистина, бидејќи a 1 =a за кое било a , тогаш според дефиницијата на логаритамот log a a=1 .
Примери за користење на ова својство на логаритми се log 5 5=1 , log 5.6 5.6 и lne=1 .
На пример, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 и 
Логаритам на производот од два позитивни броја x и y е еднаков на производот од логаритмите на овие броеви: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Дозволете ни да го докажеме својството на логаритмот на производот. Поради својствата на степенот a log a x+log a y =a log a x a log a y, и бидејќи според главниот логаритамски идентитет лог a x =x и лог a y =y , тогаш лог a x a лог a y =x y . Така, лог a x+log a y =x y , од каде бараната еднаквост следи со дефиницијата на логаритамот.
Да покажеме примери за користење на својството на логаритамот на производот: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 и 
Својството на производ логаритам може да се генерализира на производот на конечен број n од позитивни броеви x 1 , x 2 , …, x n како log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Оваа еднаквост лесно се докажува.
На пример, природниот логаритам на производот може да се замени со збир од три природни логаритми од броевите 4 , e , и .
Логаритам на количник на два позитивни броја x и y е еднаква на разликата помеѓу логаритмите на овие броеви. Својството на количник логаритам одговара на формула од формата , каде што a>0 , a≠1 , x и y се некои позитивни броеви. Валидноста на оваа формула се докажува како формулата за логаритам на производот: бидејќи 
Еве пример за користење на ова својство на логаритмот: 
Ајде да продолжиме на својство на логаритмот на степен. Логаритмот на степен е еднаков на производот на експонентот и логаритамот на модулот на основата на овој степен. Ова својство на логаритмот на степенот го пишуваме во форма на формула: log a b p =p log a |b|, каде што a>0, a≠1, b и p се броеви такви што степенот на b p има смисла и b p >0.
Прво го докажуваме ова својство за позитивно b . Основниот логаритамски идентитет ни овозможува да го претставиме бројот b како лог a b , потоа b p =(a log a b) p , а добиениот израз, поради својството моќност, е еднаков на p log a b . Значи доаѓаме до еднаквоста b p =a p log a b , од која по дефиницијата на логаритамот заклучуваме дека log a b p =p log a b .
Останува да се докаже ова својство за негативно b . Овде забележуваме дека изразот log a b p за негативно b има смисла само за парни експоненти p (бидејќи вредноста на степенот b p мора да биде поголема од нула, инаку логаритамот нема да има смисла), а во овој случај b p =|b| стр . Потоа b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, од каде log a b p =p log a |b| .
На пример, 
Тоа произлегува од претходниот имот својство на логаритмот од коренот: логаритмот на коренот од n-ти степен е еднаков на производот од дропот 1/n и логаритамот на коренскиот израз, т.е. 
Доказот се заснова на еднаквоста (види ), која важи за секој позитивен b , и својството на логаритамот на степенот: 
Еве пример за користење на ова својство: 
Сега да докажеме формула за конверзија во новата основа на логаритамотљубезен 
Да покажеме неколку примери за примена на ова својство на логаритми: и 
Формулата за преместување во нова база ви овозможува да продолжите да работите со логаритми кои имаат „погодна“ основа. На пример, може да се користи за префрлување на природни или децимални логаритми за да можете да ја пресметате вредноста на логаритмот од табелата со логаритми. Формулата за премин кон нова основа на логаритмот, исто така, овозможува во некои случаи да се најде вредноста на даден логаритам, кога се познати вредностите на некои логаритми со други основи.
Често се користи посебен случај на формулата за премин кон нова основа на логаритамот за c=b од формата 
Исто така често се користи формулата 
Останува да се докажат споредбените својства на логаритмите.
Да докажеме дека за кои било позитивни броеви b 1 и b 2 , b 1 log a b 2 , а за a>1, неравенството log a b 1 Конечно, останува да се докаже последното од наведените својства на логаритмите. Се ограничуваме на докажување на неговиот прв дел, односно докажуваме дека ако a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 е точно log a 1 b>log a 2 b . Останатите изјави за ова својство на логаритмите се докажуваат со сличен принцип. Ајде да го користиме спротивниот метод. Да претпоставиме дека за 1 >1, 2 >1 и 1 1 log a 1 b≤log a 2 b е точно. Според својствата на логаритмите, овие неравенки може да се препишат како 
Библиографија.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други.Алгебра и почетоците на анализата: учебник за 10-11 одделение на општите образовни институции.
- Гушев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за апликанти во техничките училишта).