Четиридимензионална коцка. Тесеракт и n-димензионални коцки воопшто 4 димензионална коцка

Тесеракт - четиридимензионална хиперкоцка - коцка во четиридимензионален простор.
Според Оксфордскиот речник, зборот тесеракт бил измислен и употребен во 1888 година од Чарлс Хауард Хинтон (1853-1907) во неговата книга „ нова ерамисли“. Подоцна, некои луѓе ја нарекоа истата фигура тетракоцка (грчки четири - четири) - четиридимензионална коцка.
Обичен тесеракт во Евклидовиот четиридимензионален простор е дефиниран како конвексен труп на точки (±1, ±1, ±1, ±1). Со други зборови, може да се претстави како следново множество:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Тесерактот е ограничен со осум хиперрамнини x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , чие вкрстување со Самиот тесеракт ги дефинира 3D лица (кои се правилни коцки) Секој пар на непаралелни 3D лица се сечат за да формираат 2D лица (квадрати), итн. Конечно, тесерактот има 8 3D лица, 24 2D, 32 рабови и 16 темиња.
Популарен опис
Ајде да се обидеме да замислиме како ќе изгледа хиперкоцката без да го напуштиме тродимензионалниот простор.
Во еднодимензионален „простор“ - на права - избираме отсечка AB со должина L. На дводимензионална рамнина на растојание L од AB, цртаме сегмент DC паралелно со него и ги поврзуваме нивните краеви. Ќе добиете квадрат CDBA. Повторувајќи ја оваа операција со авион, добиваме тродимензионална коцка CDBAGHFE. И со поместување на коцката во четвртата димензија (нормално на првите три) за растојание L, ја добиваме хиперкоцката CDBAGHFEKLJIOPNM.
Еднодимензионалниот сегмент AB служи како страна на дводимензионалниот квадрат CDBA, квадратот е страната на коцката CDBAGHFE, која, пак, ќе биде страна на четиридимензионалната хиперкоцка. Правилната отсечка има две гранични точки, квадратот има четири темиња, а коцката има осум. Така, во четиридимензионална хиперкоцка, ќе има 16 темиња: 8 темиња на првобитната коцка и 8 темиња поместени во четвртата димензија. Има 32 рабови - по 12 ја даваат почетната и завршната позиција на оригиналната коцка, а уште 8 рабови „цртаат“ осум нејзини темиња кои се преместени во четвртата димензија. Истото размислување може да се направи и за лицата на хиперкоцката. Во дводимензионалниот простор, таа е една (самиот квадрат), коцката има 6 од нив (две лица од поместениот квадрат и уште четири ќе ги опишат неговите страни). Четиридимензионалната хиперкоцка има 24 квадратни лица - 12 квадрати од оригиналната коцка во две позиции и 12 квадрати од дванаесет од нејзините рабови.
Како што страните на квадратот се 4 еднодимензионални отсечки, а страните (лицата) на коцката се 6 дводимензионални квадрати, така и за „четиридимензионалната коцка“ (тесеракт) страните се 8 тродимензионални коцки. Просторите на спротивни парови тесерактни коцки (односно тродимензионалните простори на кои припаѓаат овие коцки) се паралелни. На сликата, тоа се коцки: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.
На сличен начин, можеме да продолжиме со расудувањето за хиперкоцки со поголем број димензии, но многу поинтересно е да се види како ќе бара четиридимензионална хиперкоцка за нас, жителите на тридимензионалниот простор. Дозволете ни да го искористиме за ова веќе познатиот метод на аналогии.
Да ја земеме жичаната коцка ABCDHEFG и да ја погледнеме со едното око од страната на лицето. Ќе видиме и можеме да нацртаме два квадрати на рамнината (неговите блиски и далечни лица), поврзани со четири линии - странични рабови. Слично на тоа, четиридимензионална хиперкоцка во тродимензионален простор ќе изгледа како две кубни „кутии“ вметнати една во друга и поврзани со осум рабови. Во овој случај, самите „кутии“ - тридимензионални лица - ќе бидат проектирани на „нашиот“ простор, а линиите што ги поврзуваат ќе се протегаат во насока на четвртата оска. Можете исто така да се обидете да замислите коцка не во проекција, туку во просторна слика.
Исто како што тродимензионалната коцка се формира со квадрат поместен за должината на лицето, коцката поместена во четвртата димензија ќе формира хиперкоцка. Тој е ограничен со осум коцки, кои во иднина ќе изгледаат како некоја прилично сложена фигура. Самата четиридимензионална хиперкоцка се состои од бесконечен број коцки, исто како што тридимензионалната коцка може да се „пресече“ на бесконечен број рамни квадрати.
Со сечење шест лица на тридимензионална коцка, можете да ја разложите во рамна фигура - мрежа. Ќе има квадрат на секоја страна од оригиналното лице, плус уште еден - лицето спроти него. Тродимензионален развој на четиридимензионална хиперкоцка ќе се состои од оригиналната коцка, шест коцки кои „растат“ од неа, плус уште една - конечниот „хиперфејс“.
Својствата на тесерактот се продолжување на својствата геометриски формипониска димензија во четиридимензионален простор.

Точки (±1, ±1, ±1, ±1). Со други зборови, може да се претстави како следново множество:

Тесерактот е ограничен со осум хиперрамнини, чиј пресек со самиот тесеракт ги дефинира неговите тридимензионални лица (кои се обични коцки). Секој пар на непаралелни 3D лица се сечат за да формираат 2D лица (квадрати) и така натаму. Конечно, тесерактот има 8 3D лица, 24 2D, 32 рабови и 16 темиња.

Популарен опис

Ајде да се обидеме да замислиме како ќе изгледа хиперкоцката без да го напуштиме тродимензионалниот простор.

Во еднодимензионален „простор“ - на права - избираме отсечка AB со должина L. На дводимензионална рамнина на растојание L од AB, цртаме сегмент DC паралелно со него и ги поврзуваме нивните краеви. Ќе добиете квадрат CDBA. Повторувајќи ја оваа операција со авион, добиваме тродимензионална коцка CDBAGHFE. И со поместување на коцката во четвртата димензија (нормално на првите три) за растојание L, ја добиваме хиперкоцката CDBAGHFEKLJIOPNM.

Изградба на тесеракт на авион

Еднодимензионалниот сегмент AB служи како страна на дводимензионалниот квадрат CDBA, квадратот е страната на коцката CDBAGHFE, која, пак, ќе биде страна на четиридимензионалната хиперкоцка. Правилната отсечка има две гранични точки, квадратот има четири темиња, а коцката има осум. Така, во четиридимензионална хиперкоцка, ќе има 16 темиња: 8 темиња на првобитната коцка и 8 темиња поместени во четвртата димензија. Има 32 рабови - по 12 ја даваат почетната и завршната позиција на оригиналната коцка, а уште 8 рабови „цртаат“ осум нејзини темиња кои се преместени во четвртата димензија. Истото размислување може да се направи и за лицата на хиперкоцката. Во дводимензионалниот простор, таа е една (самиот квадрат), коцката има 6 од нив (две лица од поместениот квадрат и уште четири ќе ги опишат неговите страни). Четиридимензионалната хиперкоцка има 24 квадратни лица - 12 квадрати од оригиналната коцка во две позиции и 12 квадрати од дванаесет од нејзините рабови.

Како што страните на квадратот се 4 еднодимензионални отсечки, а страните (лицата) на коцката се 6 дводимензионални квадрати, така и за „четиридимензионалната коцка“ (тесеракт) страните се 8 тродимензионални коцки. Просторите на спротивни парови тесерактни коцки (односно тродимензионалните простори на кои припаѓаат овие коцки) се паралелни. На сликата, тоа се коцки: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.

На сличен начин, можеме да продолжиме со расудувањето за хиперкоцки со поголем број димензии, но многу поинтересно е да се види како ќе бара четиридимензионална хиперкоцка за нас, жителите на тридимензионалниот простор. Дозволете ни да го искористиме за ова веќе познатиот метод на аналогии.

Да ја земеме жичаната коцка ABCDHEFG и да ја погледнеме со едното око од страната на лицето. Ќе видиме и можеме да нацртаме два квадрати на рамнината (неговите блиски и далечни лица), поврзани со четири линии - странични рабови. Слично на тоа, четиридимензионална хиперкоцка во тродимензионален простор ќе изгледа како две кубни „кутии“ вметнати една во друга и поврзани со осум рабови. Во овој случај, самите „кутии“ - тридимензионални лица - ќе бидат проектирани на „нашиот“ простор, а линиите што ги поврзуваат ќе се протегаат во насока на четвртата оска. Можете исто така да се обидете да замислите коцка не во проекција, туку во просторна слика.

Исто како што тродимензионалната коцка се формира со квадрат поместен за должината на лицето, коцката поместена во четвртата димензија ќе формира хиперкоцка. Тој е ограничен со осум коцки, кои во иднина ќе изгледаат како некоја прилично сложена фигура. Самата четиридимензионална хиперкоцка се состои од бесконечен број коцки, исто како што тридимензионалната коцка може да се „пресече“ на бесконечен број рамни квадрати.

Со сечење шест лица на тридимензионална коцка, можете да ја разложите во рамна фигура - развој. Ќе има квадрат на секоја страна од оригиналното лице, плус уште еден - лицето спроти него. Тродимензионален развој на четиридимензионална хиперкоцка ќе се состои од оригиналната коцка, шест коцки кои „растат“ од неа, плус уште една - конечниот „хиперфејс“.

Својствата на тесерактот се продолжување на својствата на геометриските фигури со помала димензија во четиридимензионален простор.

проекции

до дводимензионален простор

Оваа структура е тешко да се замисли, но можно е да се проектира тесеракт во 2D или 3D простори. Покрај тоа, проекцијата на рамнина го олеснува разбирањето на локацијата на темињата на хиперкоцката. На овој начин е можно да се добијат слики кои повеќе не ги рефлектираат просторните односи во тесерактот, но кои ја илустрираат структурата на поврзувањето на темето, како во следните примери:

Третата слика го прикажува тесерактот во изометрија, во однос на конструктивната точка. Овој поглед е од интерес кога се користи тесерактот како основа за тополошка мрежа за поврзување на повеќе процесори во паралелно пресметување.

до тридимензионален простор

Една од проекциите на тесерактот на тродимензионален простор се две вгнездени тридимензионални коцки, чии соодветни темиња се поврзани со отсечки. Внатрешните и надворешните коцки имаат различни големини во 3Д просторот, но тие се еднакви коцки во 4Д просторот. За да се разбере еднаквоста на сите коцки на тесерактот, создаден е ротирачки модел на тесерактот.

  • Шест скратени пирамиди по должината на рабовите на тесерактот се слики од еднакви шест коцки. Сепак, овие коцки се до тесерактот како квадратите (лицата) за коцката. Но, всушност, тесерактот може да се подели на бесконечен број коцки, исто како што коцката може да се подели на бесконечен број квадрати или квадрат може да се подели на бесконечен број отсечки.

Друга интересна проекција на тесерактот на тродимензионален простор е ромбичниот додекаедар со нацртани четири дијагонали, поврзувајќи парови спротивни темиња под големи агли на ромбови. Во овој случај, 14 од 16 темиња на тесерактот се проектирани во 14 темиња на ромбичниот додекаедрон, а проекциите на останатите 2 се совпаѓаат во неговиот центар. Во таквата проекција на тродимензионален простор, зачувана е еднаквоста и паралелизмот на сите еднодимензионални, дводимензионални и тродимензионални страни.

стерео пар

Стереопар на тесеракт е прикажан како две проекции на тродимензионален простор. Овој приказ на тесерактот беше дизајниран да ја претстави длабочината како четврта димензија. Стерео парот се гледа така што секое око гледа само една од овие слики, се појавува стереоскопска слика која ја репродуцира длабочината на тесерактот.

Расплет на тесеракт

Површината на тесерактот може да се расклопи на осум коцки (слично на тоа како површината на коцката може да се расклопи на шест квадрати). Има 261 различен расплет на тесерактот. Развиткувањето на тесерактот може да се пресмета со исцртување на поврзаните агли на графикот.

Тесеракт во уметноста

  • Во Новата рамнина на Едвин А. Абот, хиперкоцката е нараторот.
  • Во една епизода од „Авантурите на Џими Неутрон“, „момчето гениј“ Џими измислува четиридимензионална хиперкоцка, идентична на кутијата за преклопување од романот „Патот на славата“ (1963) од Роберт Хајнлајн.
  • Роберт Е. Хајнлајн спомнал хиперкоцки во најмалку три научно-фантастични приказни. Во The House of Four Dimensions (The House That Teel Built), тој опиша куќа изградена како расплет на тесеракт, а потоа, поради земјотрес, се „формирала“ во четвртата димензија и станала „вистински“ тесеракт.
  • Во романот „Патот на славата“ од Хајнлајн, опишана е хипердимензионална кутија која била поголема одвнатре отколку однадвор.
  • Приказната на Хенри Катнер „Сите Борошки тенали“ опишува едукативна играчка за деца од далечната иднина, слична по структура на тесеракт.
  • Во романот на Алекс Гарланд ( ), терминот „тесеракт“ се користи за тридимензионално расплетување на четиридимензионална хиперкоцка, наместо за самата хиперкоцка. Ова е метафора дизајнирана да покаже дека системот за сознавање треба да биде поширок од препознатливиот.
  • Заплетот на The Cube 2: Hypercobe се фокусира на осум странци заробени во „хиперкоцка“, или мрежа од поврзани коцки.
  • Телевизиската серија Андромеда користи генератори на тесеракти како уред за заговор. Тие првенствено се наменети за контрола на просторот и времето.
  • Слика „Распетие“ (Corpus Hypercubus) од Салвадор Дали ().
  • Стрипот Nextwave прикажува возило кое вклучува 5 тесерактни зони.
  • Во албумот Voivod Nothingface, една од песните се вика „In my hypercube“.
  • Во романот Route Cube на Ентони Пирс, една од орбиталните месечини на IDA се нарекува тесеракт кој е компримиран во 3 димензии.
  • Во серијата „Училиште“ Црна дупка „“ во третата сезона има епизода „Тесеракт“. Лукас го притиска тајното копче и училиштето почнува „да се обликува како математички тесеракт“.
  • Терминот „тесеракт“ и терминот „тесе“ изведен од него се наоѓа во приказната „Брчка на времето“ на Медлин Л'Енгл.
  • TesseracT е името на британската џент група.
  • Во серијата филмови на Marvel Cinematic Universe, Тесеракт е клучен елемент на заплетот, космички артефакт во облик на хиперкоцка.
  • Во приказната на Роберт Шекли „Госпоѓицата глушец и четвртата димензија“, езотеричен писател, познаник на авторот, се обидува да го види тесерактот, гледајќи со часови во уредот што тој го дизајнирал: топка на ногата со шипки заглавени во неа, на кои коцки се засадени, залепени со секакви езотерични симболи. Приказната ја спомнува работата на Хинтон.
  • Во филмовите The First Avenger, The Avengers. Тесерактот е енергијата на целиот универзум

Други имиња

  • Хексадекахорон (англиски) Хексадекахорон)
  • Октохорон (англиски) Октахорон)
  • тетракоцка
  • 4-коцка
  • Хиперкоцка (ако бројот на димензии не е наведен)

Белешки

Литература

  • Чарлс Х Хинтон. Четврта димензија, 1904 година. ISBN 0-405-07953-2
  • Мартин Гарднер, Математички карневал, 1977 година. ISBN 0-394-72349-X
  • Иан Стјуарт, Концепти на модерната математика, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Врски

На руски
  • Програма Transformator4D. Формирање модели на тридимензионални проекции на четиридимензионални објекти (вклучувајќи ја и хиперкоцката).
  • Програма која имплементира конструкција на тесеракт и сите негови афини трансформации, со C++ извори.

На англиски

  • Mushware Limited е излезна програма за тесеракт ( Tesseract тренер, лиценцирана според GPLv2) и 4D стрелец во прво лице ( Аданаксис; графика, главно тридимензионална; има верзија на GPL во складиштата на ОС).

Штом можев да држам предавање по операцијата, првото прашање што го поставија студентите беше:

Кога ќе ни нацртате 4-димензионална коцка? Илјас Абдулхаевич ни вети!

Се сеќавам дека моите драги пријатели понекогаш сакаат една минута математичка едукативна програма. Затоа, овде ќе напишам дел од моето предавање за математичари. И ќе се обидам да не се срамам. Во некои моменти построго го читав предавањето, се разбира.

Ајде прво да се договориме. 4-димензионален, а уште повеќе 5-6-7- и генерално k-димензионален простор не ни е даден во сетилните сензации.
„Ние сме сиромашни затоа што сме само тридимензионални“, рече мојот наставник во неделното училиште, кој прв ми кажа што е 4-димензионална коцка. Неделното училиште, се разбира, беше крајно религиозно - математичко. Во тоа време ги проучувавме хиперкоцките. Една недела пред ова, математичка индукција, една недела потоа, Хамилтонови циклуси во графикони - соодветно, ова е 7-мо одделение.

Не можеме да допреме, мирисаме, слушаме или гледаме 4-димензионална коцка. Што можеме да правиме со тоа? Можеме да го замислиме! Затоа што нашиот мозок е многу покомплексен од нашите очи и раце.

Значи, за да разбереме што е 4-димензионална коцка, прво да разбереме што ни е достапно. Што е 3-димензионална коцка?

ДОБРО ДОБРО! Не барам јасна математичка дефиниција од тебе. Замислете ја наједноставната и најчестата тродимензионална коцка. Застапени?

Добро.
За да разбереме како да генерализираме 3-димензионална коцка во 4-димензионален простор, ајде да откриеме што е 2-димензионална коцка. Тоа е толку едноставно - тоа е квадрат!

Плоштадот има 2 координати. Коцката има три. Точките на квадрат се точки со две координати. Првата е од 0 до 1. А втората е од 0 до 1. Точките на коцката имаат три координати. И секој е кој било број помеѓу 0 и 1.

Логично е да се замисли дека 4-димензионална коцка е такво нешто што има 4 координати и сè од 0 до 1.

/* Исто така е логично да се замисли 1-димензионална коцка, која не е ништо повеќе од едноставна отсечка од 0 до 1. */

Па, чекајте, како да нацртате 4-димензионална коцка? На крајот на краиштата, не можеме да нацртаме 4-димензионален простор на авион!
Но, на крајот на краиштата, ние исто така не цртаме 3-димензионален простор на авион, туку го цртаме проекцијана 2D рамнината за цртање. Третата координата (z) ја поставуваме под агол, замислувајќи дека оската од рамнината на цртање оди „кон нас“.

Сега е сосема јасно како да нацртате 4-димензионална коцка. На ист начин како што ја поставивме третата оска под одреден агол, да ја земеме четвртата оска и исто така да ја поставиме под одреден агол.
И - Voila! -- проекција на 4-димензионална коцка на рамнина.

Што? Што е тоа сепак? Секогаш слушам шепоти од задните клупи. Дозволете ми да објаснам подетално што е ова оџак од редови.
Прво погледнете ја тродимензионалната коцка. Што направивме? Зедовме квадрат и го влечевме по третата оска (z). Тоа е како многу хартиени квадрати залепени заедно во куп.
Исто е и со 4-димензионална коцка. Да ја наречеме четвртата оска за погодност и научно-фантастични цели „оска на времето“. Треба да земеме обична тродимензионална коцка и да ја повлечеме низ времето од времето „сега“ до времето „за еден час“.

Имаме „сега“ коцка. На сликата е розово.

И сега го влечеме по четвртата оска - по временската оска (го покажав во зелено). И ја добиваме коцката на иднината - сина.

Секое теме на „коцката сега“ остава трага во времето - сегмент. Поврзување на нејзината сегашност со нејзината иднина.

Накратко, без текст: нацртавме две идентични 3-димензионални коцки и ги поврзавме соодветните темиња.
Исто како што направивме со 3Д коцка (нацртајте 2 идентични 2Д коцки и поврзете ги темињата).

За да нацртате 5Д коцка, треба да нацртате две копии од 4Д коцката (4Д коцка со 5-та координата 0 и 4Д коцка со 5-та координата 1) и да ги поврзете соодветните темиња со рабови. Навистина, во авионот ќе излезе таков оград од рабови што ќе биде речиси невозможно да се разбере нешто.

Откако ќе замислиме 4-димензионална коцка, па дури и ќе успееме да ја нацртаме, можеме да ја истражиме на кој било начин. Не заборавајќи да го истражите и во умот и во сликата.
На пример. Дводимензионална коцка е ограничена на 4 страни со еднодимензионални коцки. Ова е логично: за секоја од 2-те координати има и почеток и крај.
3-димензионална коцка е ограничена од 6 страни со 2-димензионални коцки. За секоја од трите координати има почеток и крај.
Значи, 4-димензионалната коцка мора да биде ограничена на осум 3-димензионални коцки. За секоја од 4-те координати - од две страни. На сликата погоре, јасно гледаме 2 лица кои го ограничуваат долж „временската“ координата.

Еве две коцки (тие се малку коси бидејќи имаат 2 димензии проектирани на рамнината под агол), ограничувајќи ја нашата хипер-коцка лево и десно.

Лесно е да се забележат и „горните“ и „долните“.

Најтешко е визуелно да се разбере каде се „предниот дел“ и „задниот дел“. Предната започнува од предната страна на „коцката сега“ и до предната страна на „коцката на иднината“ - таа е црвена. Заден, соодветно, виолетова.

Тие се најтешко да се забележат, бидејќи другите коцки се збунуваат под нозете, што ја ограничува хипер-коцката на различна проектирана координата. Но, забележете дека коцките се уште се различни! Еве ја повторно сликата, каде што се истакнати „коцката сега“ и „коцката на иднината“.

Се разбира, можно е да се проектира 4-димензионална коцка во 3-димензионален простор.
Првиот можен просторен модел е јасен како изгледа: треба да земете 2 рамки со коцки и да ги поврзете нивните соодветни темиња со нов раб.
Во моментов го немам овој модел. На едно предавање, на студентите им покажувам малку поинаков 3-димензионален модел на 4-димензионална коцка.

Знаете како се проектира коцка на ваква рамнина.
Како да ја гледаме коцката одозгора.

Блискиот крај, се разбира, е голем. И далечната страна изгледа помала, ја гледаме преку блиската.

Вака можете да проектирате 4-димензионална коцка. Коцката е поголема сега, коцката на иднината што ја гледаме во далечината, па изгледа помала.

Од друга страна. Од страната на врвот.

Директно точно од страната на работ:

Од страната на реброто:

И последниот агол, асиметричен. Од рубриката „уште велите дека му погледнав меѓу ребрата“.

Па, тогаш можете да смислите што било. На пример, како што се случува кога 3-димензионална коцка се расплетува на рамнина (тоа е како да сече лист хартија за да се добие коцка кога е преклопена), така се расплетува 4-димензионална коцка во вселената. Тоа е како да сечете парче дрво така што со превиткување во 4-димензионален простор ќе добиеме тесеракт.

Можете да проучувате не само 4-димензионална коцка, туку n-димензионални коцки воопшто. На пример, дали е точно дека радиусот на сфера опкружена околу n-димензионална коцка е помал од должината на работ на оваа коцка? Или еве едно поедноставно прашање: колку темиња има n-димензионална коцка? И колку рабови (1-димензионални лица)?

Ако сте љубители на филмовите Avengers, првото нешто што ви паѓа на ум кога ќе го слушнете зборот „Tesseract“ е проѕирниот сад во форма на коцка од Infinity Stone кој содржи неограничена моќ.

За љубителите на Марвеловиот универзум, Тесеракт е блескава сина коцка, од која лудуваат луѓето не само од Земјата, туку и од другите планети. Затоа сите Avengers се здружија за да ги заштитат Grounders од екстремно деструктивните сили на Tesseract.

Сепак, она што треба да се каже е следново: Тесерактот е вистински геометриски концепт, поконкретно, форма што постои во 4D. Тоа не е само сина коцка од The ​​Avengers... тоа е вистински концепт.

Тесеракт е објект во 4 димензии. Но, пред да го објасниме подетално, да почнеме од почеток.

Што е „мерење“?

Секој ги слушнал поимите 2D и 3D, коишто претставуваат соодветно дводимензионални или тродимензионални објекти на просторот. Но, што се овие?

Димензијата е само насока во која можете да одите. На пример, ако цртате линија на парче хартија, можете или да одите лево/десно (оска x) или нагоре/надолу (y-оска). Значи, велиме дека хартијата е дводимензионална бидејќи можете да одите само во две насоки.

Има чувство на длабочина во 3D.

Сега, во реалниот свет, покрај двете насоки споменати погоре (лево/десно и горе/долу), можете и да влегувате/надвор. Следствено, се додава чувство на длабочина во 3D просторот. Затоа го кажуваме тоа вистински живот 3-димензионални.

Точката може да претставува 0 димензии (бидејќи не се движи во ниедна насока), линијата претставува 1 димензија (должина), квадратот претставува 2 димензии (должина и ширина), а коцката претставува 3 димензии (должина, ширина и висина ).

Земете 3D коцка и заменете го секое лице (кое моментално е квадрат) со коцка. И така! Формата што ја добивате е тесеракт.

Што е тесеракт?

Едноставно кажано, тесерактот е коцка во 4-димензионален простор. Можете исто така да кажете дека ова е 4D еквивалент на коцка. Ова е 4Д форма каде секое лице е коцка.

3D проекција на тесеракт кој врши двојна ротација околу две ортогонални рамнини.
Слика: Џејсон Хисе

Еве едноставен начин да се конципираат димензиите: квадратот е дводимензионален; така што секој негов агол има 2 линии кои се протегаат од него на 90 степени една до друга. Коцката е 3D, така што секој од нејзините агли има 3 линии кои излегуваат од неа. Слично на тоа, тесерактот е 4D форма, така што секој агол има 4 линии кои се протегаат од него.

Зошто е тешко да се замисли тесеракт?

Бидејќи ние како луѓе еволуиравме за да ги визуелизираме објектите во три димензии, сè што оди во дополнителни димензии како 4D, 5D, 6D итн., нема многу смисла за нас бидејќи воопшто не можеме да ги визуелизираме. Нашиот мозок не може да ја разбере 4-та димензија во вселената. Едноставно не можеме да размислуваме за тоа.

Бакалиер Марија

Се изучуваат начините на воведување на концептот на четиридимензионална коцка (тесеракт), неговата структура и некои својства.Прашањето какви тродимензионални предмети се добиваат кога четиридимензионалната коцка се пресекува со хиперрамнини паралелни на нејзините три- димензионални лица, како и со хиперрамнини нормални на неговата главна дијагонала. Се разгледува апаратот за повеќедимензионална аналитичка геометрија што се користи за истражување.

Преземи:

Преглед:

Вовед……………………………………………………………………………….2

Главен дел………………………………………………………………..4

Заклучоци…………………………………………………………………………..12

Користена литература……………………………………………………………..13

Вовед

Четиридимензионалниот простор одамна го привлекува вниманието и на професионалните математичари и на луѓето кои се далеку од практикување на оваа наука. Интересот за четвртата димензија може да се должи на претпоставката дека нашиот тридимензионален свет е „потопен“ во четиридимензионален простор, исто како што рамнината е „потопена“ во тридимензионален простор, права линија е „потопена“ во рамнина, а точката е во права линија. Покрај тоа, четиридимензионалниот простор игра важна улога во модерната теорија на релативноста (т.н. простор-време или простор Минковски), а може да се смета и како посебен случајдимензионален Евклидов простор (за).

Четиридимензионална коцка (тесеракт) е објект од четиридимензионален простор кој има максимална можна димензија (исто како што правилната коцка е објект на тридимензионален простор). Забележете дека исто така е од директен интерес, имено, може да се појави во оптимизациските проблеми на линеарното програмирање (како област во која се наоѓа минимумот или максимумот на линеарна функција од четири променливи), а се користи и во дигиталната микроелектроника (кога програмирање на работата на електронскиот приказ на часовникот). Покрај тоа, самиот процес на проучување на четиридимензионална коцка придонесува за развој на просторно размислување и имагинација.

Затоа, проучувањето на структурата и специфичните својства на четиридимензионалната коцка е доста релевантно. Треба да се напомене дека во однос на структурата, четиридимензионалната коцка е доста добро проучена. Од многу поголем интерес е природата на неговите делови од различни хиперрамнини. Така, главната цел на оваа работа е да се проучи структурата на тесерактот, како и да се разјасни прашањето какви тродимензионални предмети ќе се добијат ако четиридимензионалната коцка се пресече со хиперрамнини паралелни на една од нејзините три- димензионални лица, или со хиперрамнини нормални на неговата главна дијагонала. Хиперрамнина во четиридимензионален простор е тродимензионален потпростор. Можеме да кажеме дека линијата на рамнина е еднодимензионална хиперрамнина, рамнина во тродимензионален простор е дводимензионална хиперрамнина.

Поставената цел ги утврди целите на студијата:

1) Проучување на основните факти на повеќедимензионалната аналитичка геометрија;

2) Да ги проучува карактеристиките на конструирање коцки со димензии од 0 до 3;

3) Проучување на структурата на четиридимензионална коцка;

4) Аналитички и геометриски опишуваат четиридимензионална коцка;

5) Направете модели на бришења и централни проекции на тридимензионални и четиридимензионални коцки.

6) Користејќи го апаратот за повеќедимензионална аналитичка геометрија, опишете тродимензионални објекти добиени со вкрстување на четиридимензионална коцка со хиперрамнини паралелни на едно од неговите тридимензионални лица или со хиперрамнини нормални на главната дијагонала.

Информациите добиени на овој начин ќе овозможат подобро да се разбере структурата на тесерактот, како и да се открие длабока аналогија во структурата и својствата на коцките со различни димензии.

Главен дел

Прво, го опишуваме математичкиот апарат што ќе го користиме во текот на оваа студија.

1) Векторски координати: ако, тогаш

2) Равенка на хиперрамнина со нормален векторизгледа како овде

3) Авиони и се паралелни ако и само ако

4) Растојанието меѓу две точки се дефинира на следниов начин: ако, тогаш

5) Услов на ортогоналност на вектори:

Пред сè, ајде да дознаеме како може да се опише четиридимензионална коцка. Ова може да се направи на два начина - геометриски и аналитички.

Ако зборуваме за геометрискиот метод на поставување, тогаш препорачливо е да се следи процесот на конструирање на коцки, почнувајќи од нулта димензија. Нулта-димензионална коцка е точка (забележете, патем, дека точката може да игра и улога на нулта-димензионална топка). Следно, ја воведуваме првата димензија (оската на апсцисата) и на соодветната оска означуваме две точки (две нула-димензионални коцки) лоцирани на растојание од 1 една од друга. Резултатот е сегмент - еднодимензионална коцка. Веднаш забележуваме карактеристична особина: Границата (краевите) на еднодимензионална коцка (сегмент) се две нула-димензионални коцки (две точки). Следно, ја воведуваме втората димензија (y-оска) и на рамнинатаајде да конструираме две еднодимензионални коцки (два отсечки), чии краеви се на растојание од 1 еден од друг (всушност, еден од отсечките е ортогонална проекција на другиот). Поврзувајќи ги соодветните краеви на сегментите, добиваме квадрат - дводимензионална коцка. Повторно, забележуваме дека границата на дводимензионална коцка (квадрат) е четири еднодимензионални коцки (четири отсечки). Конечно, ја воведуваме третата димензија (апликативната оска) и конструираме во просторотдва квадрати на таков начин што еден од нив е ортогонална проекција на другиот (во овој случај, соодветните темиња на квадратите се на растојание од 1 едни од други). Поврзете ги соодветните темиња со отсечки - добиваме тродимензионална коцка. Гледаме дека границата на тродимензионалната коцка е шест дводимензионални коцки (шест квадрати). Опишаните конструкции овозможуваат да се открие следната регуларност: на секој чекордимензионалната коцка „се движи, оставајќи трага“ внатреОва е мерење на растојание од 1, додека насоката на движење е нормална на коцката. Тоа е формалното продолжение на овој процес што ни овозможува да дојдеме до концептот на четиридимензионална коцка. Имено, да ја присилиме тродимензионалната коцка да се движи во правец на четвртата димензија (нормална на коцката) на растојание од 1. Постапувајќи слично како претходната, односно поврзувајќи ги соодветните темиња на коцките, ќе добијте четиридимензионална коцка. Треба да се истакне дека геометриски ваквата конструкција во нашиот простор е невозможна (бидејќи е тродимензионална), но овде не наидуваме на никакви противречности од логичка гледна точка. Сега да преминеме на аналитичкиот опис на четиридимензионалната коцка. Се добива и формално, со помош на аналогија. Значи, аналитичката задача на нулта-димензионална единица коцка има форма:

Аналитичката задача на еднодимензионална единица коцка има форма:

Аналитичката задача на дводимензионална единица коцка има форма:

Аналитичката задача на тродимензионална единица коцка има форма:

Сега е многу лесно да се даде аналитичка претстава на четиридимензионална коцка, имено:

Како што можеме да видиме, методот на аналогии се користел и за геометриски и за аналитички методи за одредување на четиридимензионална коцка.

Сега, користејќи го апаратот за аналитичка геометрија, ќе дознаеме каква структура има четиридимензионалната коцка. Прво, ајде да дознаеме кои елементи вклучува. Тука повторно, можете да ја користите аналогијата (за да поставите хипотеза). Границите на еднодимензионална коцка се точки (нула-коцки), на дводимензионална коцка - отсечки (еднодимензионални коцки), на тродимензионална коцка - квадрати (дводимензионални лица). Може да се претпостави дека границите на тесерактот се тродимензионални коцки. За да го докажеме ова, да разјасниме што се подразбира под темиња, рабови и лица. Темињата на коцката се нејзините аголни точки. Односно, координатите на темињата можат да бидат нули или единици. Така, се наоѓа врска помеѓу димензијата на коцката и бројот на нејзините темиња. Го применуваме правилото за комбинаторен производ - од теметокоцка има точнокоординати, од кои секоја е еднаква на нула или еден (без оглед на сите други), тогаш имаврвови. Така, на кое било теме, сите координати се фиксирани и можат да бидат еднакви наили . Ако ги поправиме сите координати (поставувајќи ја секоја од нив еднаква наили , независно од другите), освен една, тогаш добиваме прави линии кои ги содржат рабовите на коцката. Слично на претходниот, можеме да сметаме дека ги има точноработи. И ако сега ги поправиме сите координати (поставувајќи ја секоја од нив еднаква наили , независно од другите), освен некои две, добиваме рамнини кои содржат дводимензионални лица на коцката. Користејќи го правилото за комбинаторика, откриваме дека има точноработи. Понатаму, слично - фиксирање на сите координати (поставување на секоја од нив еднаква наили , без разлика на другите), освен некои три, добиваме хиперрамнини кои содржат тродимензионални лица на коцката. Користејќи го истото правило, го пресметуваме нивниот број - точноитн. Ова ќе биде доволно за нашата студија. Дозволете ни да ги примениме добиените резултати на структурата на четиридимензионална коцка, имено, во сите изведени формули што ги поставивме. Според тоа, четиридимензионалната коцка има: 16 темиња, 32 рабови, 24 дводимензионални лица и 8 тридимензионални лица. За јасност, аналитички ги дефинираме сите негови елементи.

Темиња на четиридимензионална коцка:

Рабови на четиридимензионална коцка ():

Дводимензионални лица на четиридимензионална коцка (слични ограничувања):

Тридимензионални лица на четиридимензионална коцка (слични ограничувања):

Сега кога структурата на четиридимензионалната коцка и методите за нејзино дефинирање се опишани со доволна комплетност, да продолжиме кон реализација на главната цел - да ја разјасниме природата на различните делови од коцката. Да почнеме со елементарниот случај кога пресеците на коцката се паралелни со едно од нејзините тридимензионални лица. На пример, разгледајте ги неговите делови со хиперрамнини паралелни со лицетоОд аналитичката геометрија е познато дека секој таков дел ќе биде даден со равенкатаДозволете ни да ги поставиме соодветните делови аналитички:

Како што можете да видите, добивме аналитичка задача за тродимензионална единица коцка која лежи во хиперрамнина

За да воспоставиме аналогија, запишуваме дел од тродимензионална коцка со рамнинаДобиваме:

Ова е квадрат што лежи во авион. Аналогијата е очигледна.

Пресеци на четиридимензионална коцка со хиперрамниниги даде токму истите резултати. Овие ќе бидат и единечни тридимензионални коцки кои лежат во хиперрамнинисоодветно.

Сега да ги разгледаме пресеците на четиридимензионалната коцка по хиперрамнини нормални на нејзината главна дијагонала. Ајде прво да го решиме овој проблем за тродимензионална коцка. Користејќи го горенаведениот метод за одредување на единечна тридимензионална коцка, тој заклучува дека, на пример, сегмент со краеви може да се земе како главна дијагоналаи . Тоа значи дека векторот на главната дијагонала ќе има координати. Според тоа, равенката на која било рамнина нормална на главната дијагонала ќе биде:

Ајде да ги дефинираме границите на промена на параметарот. Бидејќи , тогаш, додавајќи ги овие неравенки по член, добиваме:

Или .

Ако тогаш (поради ограничувања). Слично, ако, тогаш. Значи, во и во рамнината за сечење и коцката имаат точно една заедничка точка (и соодветно). Сега да го забележиме следново. Ако(повторно, поради ограничувањата на променливите). Соодветните рамнини вкрстуваат три лица одеднаш, затоа што, во спротивно, рамнината на сечењето би била паралелна со едно од нив, што не е случај според состојбата. Ако, тогаш рамнината ги пресекува сите лица на коцката. Ако, тогаш рамнината ги пресекува лицата. Дозволете ни да ги претставиме соодветните пресметки.

Нека Потоа авионотја преминува линијатаво права линија, згора на тоа. Граница, згора на тоа. раб рамнина се вкрстува во права линија, Згора на тоа

Нека Потоа авионотго преминува работ:

раб во права линија, згора на тоа.

раб во права линија, згора на тоа.

раб во права линија, згора на тоа.

раб во права линија, згора на тоа.

раб во права линија, згора на тоа.

раб во права линија, згора на тоа.

Овој пат се добиваат шест сегменти, кои имаат последователно заеднички краеви:

Нека Потоа авионотја преминува линијатаво права линија, згора на тоа. раб рамнина се вкрстува во права линија, и . раб рамнина се вкрстува во права линија, Згора на тоа . Односно, се добиваат три сегменти кои имаат пар заеднички краеви:Така, за наведените вредности на параметаротрамнината ќе ја пресече коцката во правилен триаголник со темиња

Значи, тука е исцрпен опис на рамните фигури добиени со вкрстување на коцката со рамнина нормална на нејзината главна дијагонала. Главната идеја беше следнава. Неопходно е да се разбере кои лица се вкрстуваат рамнината, во кои множества ги пресекува, како овие множества се меѓусебно поврзани. На пример, ако се испоставило дека рамнината пресекува точно три лица долж отсечките кои имаат парови заеднички краеви, тогаш пресекот бил рамностран триаголник (што се докажува со директно броење на должините на отсечките), чии темиња се овие краеви на сегментите.

Користејќи го истиот апарат и истата идеја за истражување на пресеците, следните факти може да се заклучат на ист начин:

1) Векторот на една од главните дијагонали на четиридимензионалната единица коцка има координати

2) Секоја хиперрамнина нормална на главната дијагонала на четиридимензионална коцка може да се запише како.

3) Во равенката на секантната хиперрамнина, параметаротможе да варира од 0 до 4;

4) Во и секантната хиперрамнина и четиридимензионалната коцка имаат една заедничка точка (и соодветно);

5) Кога во делот ќе се добие редовен тетраедар;

6) Кога во делот ќе се добие октаедар;

7) Кога во делот ќе се добие правилен тетраедар.

Соодветно, овде хиперрамнината го пресекува тесерактот долж рамнината, на кој, поради ограничувањата на променливите, се доделува триаголен регион (аналогија - рамнината ја преминала коцката по права линија, на која, поради ограничувањата на променливите, беше доделен сегмент). Во случајот 5), хиперрамнината пресекува точно четири тридимензионални тесерактни лица, односно се добиваат четири триаголници кои имаат пар заеднички страни, со други зборови, формирајќи тетраедар (како што може да се пресмета - точно). Во случајот 6), хиперрамнината пресекува точно осум тридимензионални тесерактни лица, односно се добиваат осум триаголници кои имаат последователно заеднички страни, со други зборови, формираат октаедар. Случај 7) е целосно сличен на случајот 5).

Да го илустрираме кажаното со конкретен пример. Имено, го проучуваме пресекот на четиридимензионалната коцка покрај хиперрамнинатаПоради ограничувањата на променливите, оваа хиперрамнина ги пресекува следните 3D лица:раб се вкрстува во рамнинаПоради ограничувањата на променливите, имаме:Добијте триаголна површина со темињаПонатаму,добиваме триаголникНа пресекот на хиперрамнина со лицедобиваме триаголникНа пресекот на хиперрамнина со лицедобиваме триаголникТака, темињата на тетраедарот ги имаат следните координати. Колку и лесно да се пресмета, овој тетраедар е навистина точен.

заклучоци

Така, во текот на оваа студија беа проучувани главните факти на повеќедимензионалната аналитичка геометрија, беа проучувани карактеристиките на конструирање коцки со димензии од 0 до 3, се проучуваше структурата на четиридимензионална коцка, се проучуваше четиридимензионална коцка. аналитички и геометриски опишани, беа направени модели на развој и централни проекции на тридимензионални и четиридимензионални коцки, тридимензионални коцки беа аналитички опишани објекти кои произлегуваат од пресекот на четиридимензионална коцка со хиперрамнини паралелни на една од нејзините три- димензионални лица, или со хиперрамнини нормални на неговата главна дијагонала.

Студијата овозможи да се открие длабока аналогија во структурата и својствата на коцките со различни димензии. Техниката на аналогија што се користи може да се примени во студијата, на пример,димензионална сфера илидимензионален симплекс. Имено,димензионалната сфера може да се дефинира како збир на точкидимензионален простор, подеднакво оддалечен од дадена точка, која се нарекува центар на сферата. Понатаму,димензионалниот симплекс може да се дефинира како делдимензионален простор, ограничен со минималниот бројдимензионални хиперрамнини. На пример, еднодимензионален симплекс е сегмент (дел од еднодимензионален простор ограничен со две точки), дводимензионален симплекс е триаголник (дел од дводимензионален простор ограничен со три прави линии), тридимензионален симплекс е тетраедар (дел од тридимензионален простор ограничен со четири рамнини). Конечно,димензионалниот симплекс е дефиниран како делдимензионален простор, ограниченхиперрамнина на димензија.

Забележете дека, и покрај бројните примени на тесерактот во некои области на науката, оваа студија сè уште е главно математичко истражување.

Библиографија

1) Бугров Ја.С., Николски С.М.Виша математика, том 1 - М.: Дрофа, 2005 - 284 стр.

2) Квантна. Четиридимензионална коцка / Дужин С., Рубцов В., бр. 6, 1986 година.

3) Квантна. Како да црташ димензионална коцка / Демидович Н.Б., бр. 8, 1974 година.