Plaknes ceļojošā viļņa vienādojums. Plaknes viļņu vienādojums. Fāzes ātrums Plaknes viļņu vienādojums kompleksā formā
mehāniskie viļņi- izplatīšanas process mehāniskās vibrācijas vidē (šķidrums, ciets, gāzveida).Jāatceras, ka mehāniskie viļņi pārnes enerģiju, veido, bet nepārnes masu. Vissvarīgākā īpašība vilnis ir tā izplatīšanās ātrums. Jebkāda rakstura viļņi kosmosā neizplatās uzreiz, to ātrums ir ierobežots.
Ģeometrija atšķir: sfēriski (telpiski), viendimensionāli (plaknes), spirālveida viļņi.
Vilni sauc par plakanu, ja tā viļņu virsmas ir viena otrai paralēlas plaknes, kas ir perpendikulāras viļņa fāzes ātrumam (1.3. att.). Līdz ar to plaknes viļņa stari ir paralēlas taisnas līnijas.
Plaknes viļņu vienādojums::
Iespējas :
Svārstību periods T ir laika periods, pēc kura sistēmas stāvoklis iegūst tādas pašas vērtības: u(t + T) = u(t).
Svārstību frekvence n ir svārstību skaits 1 sekundē, perioda reciproks: n = 1/T. To mēra hercos (Hz), tā izmērs ir s–1. Svārsts, kas šūpojas vienu reizi sekundē, svārstās ar frekvenci 1 Hz
Svārstību fāze j- vērtība, kas parāda, kāda svārstību daļa ir pagājusi kopš procesa sākuma. To mēra leņķa vienībās – grādos vai radiānos.
Svārstību amplitūda A- maksimālā vērtība, ko ņem svārstību sistēma, svārstību "diapazons".
4.Doplera efekts- novērotāja (viļņu uztvērēja) uztverto viļņu frekvences un garuma izmaiņas viļņa avota un novērotāja relatīvās kustības dēļ. Iedomājies ka novērotājs ar noteiktu ātrumu tuvojas stacionāram viļņu avotam. Tajā pašā laikā tas sastopas ar vairāk viļņu vienā laika intervālā nekā bez kustības. Tas nozīmē, ka uztvertā frekvence ir lielāka par avota izstarotā viļņa frekvenci. Tātad viļņa garums, frekvence un viļņu izplatīšanās ātrums ir savstarpēji saistīti ar sakarību V= / , - viļņa garums.
Difrakcija- lieces parādība ap šķēršļiem, kuru izmērs ir salīdzināms ar viļņa garumu.
Traucējumi- parādība, kurā koherentu viļņu superpozīcijas rezultātā notiek vai nu svārstību palielināšanās, vai samazināšanās.
Younga pieredze Pirmais interferences eksperiments, kas tika izskaidrots, pamatojoties uz gaismas viļņu teoriju, bija Janga eksperiments (1802). Younga eksperimentā gaisma no avota, kas kalpoja kā šaura sprauga S, nokrita uz ekrāna ar diviem cieši izvietotiem spraugām S1 un S2. Izejot cauri katrai no spraugām, gaismas stars difrakcijas dēļ paplašinājās, tāpēc uz baltā ekrāna E gaismas stari, kas izgāja caur spraugām S1 un S2, pārklājās. Gaismas staru pārklāšanās reģionā tika novērots traucējumu modelis mainīgu gaišu un tumšu svītru veidā.
2.Skaņa - mehāniskais gareniskais vilnis, kas izplatās elastīgā vidē, ir ar frekvenci no 16 Hz līdz 20 kHz. Ir skaņu veidi:
1. vienkāršs tonis - tīri harmoniska vibrācija, ko izstaro kamertonis (metāla instruments, kas sitot rada skaņu):
2. kompleksais tonis - nevis sinusoidāls, bet periodisks svārstības (izstaro dažādi mūzikas instrumenti).
Saskaņā ar Furjē teorēmu šādu sarežģītu svārstību var attēlot ar harmonisku komponentu kopu ar dažādām frekvencēm. Zemāko frekvenci sauc par pamata toni, un vairākas frekvences sauc par virstoņiem. Frekvenču kopu, kas norāda to relatīvo intensitāti (viļņu enerģijas plūsmas blīvumu), sauc par akustisko spektru. Sarežģītā toņa spektrs ir lineārs.
3. troksnis - skaņa, kas iegūta, pievienojot daudzus nekonsekventus avotus. Spektrs - nepārtraukts (nepārtraukts):
4. skaņas ietekme - īslaicīga skaņas ietekme.Piemēram: kokvilna, sprādziens.
Viļņu pretestība - skaņas spiediena attiecība plakanā viļņā pret vides daļiņu svārstību ātrumu. Tas raksturo vides stingrības pakāpi (t.i., vides spēju izturēt deformāciju veidošanos) ceļojošā viļņā. Izteikts ar formulu:
P / V \u003d p / c, P- skaņas spiediens, p- blīvums, c- skaņas ātrums, V- skaļums.
3 - raksturlielumi, kas nav atkarīgi no uztvērēja īpašībām:
Intensitāte (skaņas stiprums) - enerģija, ko nes skaņu vilnis laika vienībā caur laukuma vienību, kas iestatīta perpendikulāri skaņas vilnim.
toņa frekvence.
Skaņas spektrs ir virstoņu skaits.
Frekvencēs zem 17 un virs 20 000 Hz cilvēka auss vairs neuztver spiediena svārstības. Gareniskos mehāniskos viļņus, kuru frekvence ir mazāka par 17 Hz, sauc par infraskaņu. Gareniskos mehāniskos viļņus, kuru frekvence pārsniedz 20 000 Hz, sauc par ultraskaņu.
5. UZ- mehānisks vilnis ar frekvenci lielāku par 20 kHz. Ultraskaņa ir barotnes kondensācijas un retināšanas maiņa. Katrā vidē ultraskaņas izplatīšanās ātrums ir vienāds . Savdabība- stara šaurums, kas ļauj iedarboties uz objektiem lokāli. Nehomogēnās vidēs ar nelieliem daļiņu ieslēgumiem notiek difrakcijas parādības (aptverošie šķēršļi). Ultraskaņas iekļūšanu citā vidē raksturo iespiešanās koeficients () =L /L, kur ultraskaņas garums pēc un pirms iekļūšanas vidē.
Ultraskaņas ietekme uz ķermeņa audiem ir mehāniska, termiska, ķīmiska. Pielietojums medicīnā ir sadalīts 2 jomās: izpētes un diagnostikas metode un darbības metode. viens) ehoencefalogrāfija- audzēju un smadzeņu tūskas noteikšana ; kardiogrāfija- sirds mērīšana dinamikā. 2) Ultraskaņas fizioterapija - mehāniskā un termiskā ietekme uz audumu; operāciju laikā kā "ultraskaņas skalpelis"
6. Ideāls šķidrums iedomāts nesaspiežams šķidrums, kam nav viskozitātes un siltumvadītspējas. Ideālam šķidrumam nav iekšējas berzes, tas ir nepārtraukts un tam nav struktūras.
Nepārtrauktības vienādojums -V 1 A 1 = V 2 A 2 Tilpuma plūsmai jebkurā strāvas caurulē, ko ierobežo blakus esošās plūsmas līnijas, vienmēr jābūt vienādai visos šķērsgriezumos
Bernulli vienādojums - R v 2 / 2 + Rst + Rgh= const, vienmērīgas plūsmas gadījumā kopējais augstums ir vienāds visos strāvas caurules šķērsgriezumos. R v 2 / 2 + Rst= const – horiz. zemes gabali.
7Stacionāra plūsma Plūsma, kuras ātrums nekur šķidrumā nemainās.
laminārā plūsma- sakārtota šķidruma vai gāzes plūsma, kurā šķidrums (gāze) pārvietojas it kā slāņos paralēli plūsmas virzienam.
vētraina plūsma- šķidruma vai gāzes plūsmas forma, kurā to elementi veic neregulāras, nestabilas kustības pa sarežģītām trajektorijām, kas izraisa intensīvu sajaukšanos starp kustīga šķidruma vai gāzes slāņiem.
līnijas- līnijas, kuru pieskares visos punktos sakrīt ar ātruma virzienu šajos punktos. Stacionārā plūsmā straumes līnijas ar laiku nemainās.
Viskozitāte - iekšējā berze, šķidro ķermeņu (šķidrumu un gāzu) īpašība pretoties vienas to daļas kustībai attiecībā pret otru
Ņūtona vienādojums: F = (dv/dx)Sη.
Viskozitātes koeficients- Proporcionalitātes koeficients atkarībā no šķidruma vai gāzes veida. Skaitlis, ko izmanto, lai kvantitatīvi noteiktu viskozitātes īpašību. Iekšējās berzes koeficients.
neņūtona šķidrums sauc par šķidrumu, kura laikā tā viskozitāte ir atkarīga no ātruma gradienta, kura plūsma pakļaujas Ņūtona vienādojumam. (Polimēri, ciete, šķidrās ziepju asinis)
Ņūtona — Ja kustīgā šķidrumā tā viskozitāte ir atkarīga tikai no tā rakstura un temperatūras un nav atkarīga no ātruma gradienta. (Ūdens un dīzeļdegviela)
.Reinoldsa numurs- raksturo attiecības starp inerciālajiem spēkiem un viskozajiem spēkiem: Re \u003d rdv / m, kur r ir blīvums, m ir šķidruma vai gāzes dinamiskais viskozitātes koeficients, v ir plūsmas ātrums. Pie R< Rekр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re >Rekp plūsma var kļūt nemierīga.
Kinemātiskās viskozitātes koeficients- šķidruma vai gāzes dinamiskās viskozitātes attiecība pret to blīvumu.
9. Stoksa metode, balstīta metode a Stoksa formula pretestības spēkam, kas rodas, kad bumba pārvietojas viskozā šķidrumā, ko iegūst Stokss: Fc = 6 π η V r. Lai netieši izmērītu viskozitātes koeficientu η, jāņem vērā bumbiņas vienmērīgā kustība viskozā šķidrumā un jāpiemēro nosacījums vienmērīga kustība: visu spēku vektora summa, kas iedarbojas uz lodi, ir nulle.
Mg + F A + F c \u003d 0 (viss vektora formā!!!)
Tagad ir nepieciešams izteikt gravitācijas spēku (mg) un Arhimēda spēku (Fa) caur zināmiem lielumiem. Pielīdzinot vērtības mg = Fa + Fс, mēs iegūstam viskozitātes izteiksmi:
η \u003d (2/9) * g * (ρ t - ρ w) * r 2 / v \u003d (2/9) * g * (ρ t - ρ w) * r 2 * t / L. Rādiuss ir tieši mērot ar mikrometra lodi r (diametrs), L ir lodītes ceļš šķidrumā, t ir ceļa L pārvietošanās laiks. Lai mērītu viskozitāti pēc Stoksa metodes, ceļu L ņem nevis no plkst. šķidruma virsmas, bet starp atzīmēm 1 un 2. Tas ir saistīts ar šādu apstākli. Atvasinot viskozitātes koeficienta darba formulu ar Stoksa metodi, tika izmantots vienmērīgas kustības nosacījums. Kustības pašā sākumā (bumbiņas sākotnējais ātrums ir nulle) arī pretestības spēks ir nulle un bumbai ir zināms paātrinājums. Palielinoties ātrumam, palielinās pretestības spēks, trīs spēku rezultants samazinās! Tikai pēc noteiktas atzīmes kustību var uzskatīt par viendabīgu (un pēc tam aptuveni).
11.Puaza formula: ar vienmērīgu viskoza nesaspiežama šķidruma lamināru kustību caur cilindrisku cauruli ar apļveida šķērsgriezumu, tilpuma plūsma sekundē ir tieši proporcionāla spiediena kritumam caurules garuma vienībā un rādiusa ceturtajai jaudai un apgriezti proporcionāla šķidruma viskozitātes koeficients.
LIDMAŠĪNAS VILIS
LIDMAŠĪNAS VILIS
Vilnis, kura izplatīšanās virziens ir vienāds visos telpas punktos. Vienkāršākais piemērs ir viendabīgs monohromatisks neamortizēts P. v.:
u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)
kur A - amplitūda, j= wt±kz - , w=2p/Т - apļveida frekvence, Т - svārstību periods, k - . Pastāvīgās fāzes virsmas (fāžu frontes) j=const P.v. ir lidmašīnas.
Ja nav dispersijas, kad vph un vgr ir vienādi un nemainīgi (vgr = vph = v), pastāv stacionāri (t.i., kustīgi kopumā) ceļojošie P.V., kas pieļauj vispārīgu formas attēlojumu:
u(z, t)=f(z±vt), (2)
kur f ir patvaļīga funkcija. Nelineārā vidē ar dispersiju ir iespējamas arī stacionāras izplatīšanās viļņu formas. tips (2), taču to forma vairs nav patvaļīga, bet gan atkarīga gan no sistēmas parametriem, gan no kustības rakstura. Absorbējošajos (dissipatīvajos) medijos P. gs. samazināt to amplitūdu, kad tie izplatās; ar lineāro slāpēšanu, to var ņemt vērā, aizstājot k in (1) ar komplekso viļņu skaitli kd ± ikm, kur km ir koeficients. vājināšanās P. in.
Vienveidīga viļņu forma, kas aizņem visu bezgalīgo, ir idealizācija, bet jebkuru viļņu formu, kas koncentrēta ierobežotā reģionā (piemēram, vada pārvades līnijas vai viļņvadi), var attēlot kā viļņu formas superpozīcijas. ar vienu vai otru atstarpi. spektrs k. Šajā gadījumā vilnim joprojām var būt plakana fāzes fronte, bet neviendabīga amplitūda. Tāds P. iekšā. sauca plaknes nehomogēni viļņi. Atsevišķas sfēriskas sekcijas un cilindrisks. viļņi, kas ir mazi salīdzinājumā ar fāzes frontes izliekuma rādiusu, uzvedas aptuveni kā P.V.
Fiziskā enciklopēdiskā vārdnīca. - M.: Padomju enciklopēdija. . 1983 .
LIDMAŠĪNAS VILIS
- vilnis, uk-swarm izplatīšanās virziens ir vienāds visos telpas punktos.
kur BET - amplitūda, - fāze, - apļveida frekvence, T - svārstību periods, k- viļņa numurs. = const P. c. ir lidmašīnas.
Ja nav dispersijas, kad fāzes ātrums v f un grupa v gr ir vienādi un nemainīgi ( v gr = v f = v) ir stacionāri (t.i., kustīgi kopumā), kas ceļo P. c., ko var attēlot vispārīgā formā
kur f- patvaļīga funkcija. Nelineārā vidē ar dispersiju ir iespējami arī stacionāri ceļojoši parametriski viļņi. tips (2), taču to forma vairs nav patvaļīga, bet gan atkarīga gan no sistēmas parametriem, gan no viļņu kustības rakstura. Absorbējošā (izkliedējošā) vidē P. k uz kompleksā viļņa skaitļa k d ik m, kur k m - koeficients. vājināšanās P. in. Viendabīgs viļņu lauks, kas aizņem visu bezgalīgo, ir idealizācija, bet jebkurš viļņu lauks, kas koncentrēts ierobežotā apgabalā (piemēram, virzīts pārvades līnijas vai viļņvadi), var attēlot kā superpozīciju. iekšā. ar vienu vai otru telpisko spektru k.Šajā gadījumā vilnim joprojām var būt plakana fāzes fronte ar nevienmērīgu amplitūdas sadalījumu. Tāds P. iekšā. sauca plaknes nehomogēni viļņi. Dep. sfēriski parauglaukumi vai cilindrisks. viļņi, kas ir mazi salīdzinājumā ar fāzes frontes izliekuma rādiusu, uzvedas aptuveni kā P.V.
Lit. skatīt Art. Viļņi.
M. A. Millers, L. A. Ostrovskis.
Fiziskā enciklopēdija. 5 sējumos. - M.: Padomju enciklopēdija. Galvenais redaktors A. M. Prohorovs. 1988 .
Aprakstot viļņu procesu, ir jāatrod svārstību kustības amplitūdas un fāzes dažādos vides punktos un šo lielumu izmaiņas laika gaitā. Šo problēmu var atrisināt, ja ir zināms, saskaņā ar kādu likumu tas svārstās un kā ķermenis, kas izraisīja viļņu procesu, mijiedarbojas ar vidi. Tomēr daudzos gadījumos nav svarīgi, ar kādu ķermeni doto vilni uzbudina, bet tiek atrisināta vienkāršāka problēma. Ņemot vērā svārstību kustības stāvoklis dažos vides punktos noteiktā laika punktā un nepieciešams noteikt oscilācijas kustības stāvoklis citos vides punktos.
Kā piemēru apsveriet šādas problēmas risinājumu vienkāršā, bet tajā pašā laikā svarīgā plaknes vai sfēriskā harmoniskā viļņa izplatīšanās gadījumā vidē. Apzīmēsim mainīgo vērtību ar u. Šī vērtība var būt: vides daļiņu nobīde attiecībā pret to līdzsvara stāvokli, spiediena novirze noteiktā vides vietā no līdzsvara vērtības utt. Tad uzdevums būs atrast t.s viļņu vienādojumi - izteiksme, kas norāda mainīgu vērtību u kā funkcija no vides punktu koordinātām x, y, z un laiks t:
u = u(x, y, z, t). (2.1)
Vienkāršības labad pieņemsim, ka u ir punktu nobīde elastīgā vidē, kad tajā izplatās plaknes vilnis, un punktu svārstībām ir harmonisks raksturs. Turklāt koordinātu asis virzām tā, lai ass 0x sakrīt ar viļņu izplatīšanās virzienu. Tad viļņu virsmas (plakņu saime) būs perpendikulāras asij 0x(7. att.), un tā kā visi viļņa virsmas punkti svārstās vienādi, pārvietojums u būs atkarīgs tikai no X un t: u = u(x, t). Plaknē esošo punktu harmoniskām svārstībām X= 0 (9. att.), vienādojums ir derīgs:
u(0, t) = A cos ( ωt + α ) (2.2)
Ļaujiet mums atrast plaknes punktu svārstību veidu, kas atbilst patvaļīgai vērtībai X. Lai dotos ceļā no lidmašīnas X= 0 šai plaknei, vilnim ir nepieciešams laiks τ = x/s (Ar ir viļņu izplatīšanās ātrums). Līdz ar to plaknē guļošo daļiņu svārstības X, izskatīsies šādi:
Tātad plaknes viļņa (gan garenvirziena, gan šķērsvirziena) vienādojums, kas izplatās 0x ass virzienā, izskatās šādi:
Vērtība BET ir viļņa amplitūda. Viļņa sākotnējā fāze α nosaka pēc atskaites punktu izvēles X un t.
Fiksēsim kādu fāzes vērtību vienādojuma (2.3) kvadrātiekavās, uzstādot
Atšķirsim šo vienādību attiecībā pret laiku, ņemot vērā ciklisko biežumu ω un sākuma fāze α ir pastāvīgi:
Tādējādi viļņu izplatīšanās ātrums Ar vienādojumā (2.3) ir fāzes kustības ātrums, saistībā ar kuru to sauc fāzes ātrums . Saskaņā ar (2.5) dx/dt> 0. Tāpēc vienādojums (2.3) apraksta vilni, kas izplatās pieauguma virzienā X, tā saukto ceļojošais progresīvais vilnis . Vilnis, kas izplatās pretējā virzienā, ir aprakstīts ar vienādojumu
un piezvanīja ceļojošs regresīvs vilnis . Patiešām, pielīdzinot viļņa fāzi (2.6) konstantei un diferencējot iegūto vienādību, mēs nonākam pie attiecības:
no kā izriet, ka vilnis (2.6) izplatās samazināšanās virzienā X.
Iepazīstinām ar daudzumu
ko sauc viļņa numurs un ir vienāds ar viļņu garumu skaitu, kas iekļaujas 2π metru intervālā. Izmantojot formulas λ = c/v un ω = 2π ν viļņu numuru var attēlot kā
Atverot iekavas formulās (2.3) un (2.6) un ņemot vērā (2.8), iegūstam šādu vienādojumu plaknes viļņiem, kas izplatās pa (zīme "-") un pret (zīme "+") asi 0 X:
Atvasinot formulas (2.3) un (2.6), tika pieņemts, ka svārstību amplitūda nav atkarīga no X. Plaknes vilnim tas tiek novērots, ja vide neuzsūc viļņa enerģiju. Pieredze rāda, ka absorbējošā vidē viļņa intensitāte pakāpeniski samazinās līdz ar attālumu no svārstību avota - viļņa vājināšanās tiek novērota saskaņā ar eksponenciālo likumu:
Attiecīgi plaknes slāpētā viļņa vienādojumam ir šāda forma:
kur A 0 - amplitūda plaknes punktos X= 0 un γ ir vājinājuma koeficients.
Tagad atradīsim vienādojumu sfērisks vilnis . Jebkuram reālam viļņu avotam ir zināms apjoms. Tomēr, ja mēs aprobežojamies ar to, ka vilnis atrodas attālumos no avota, kas ir daudz lielāks par tā lielumu, tad avotu var uzskatīt precīzi noteikt . Izotropā un viendabīgā vidē punktveida avota radītais vilnis būs sfērisks. Pieņemsim, ka avota svārstību fāze ωt+α. Tad punkti, kas atrodas uz rādiusa viļņa virsmas r, svārstīsies līdz ar fāzi
Svārstību amplitūda šajā gadījumā, pat ja viļņa enerģija netiek absorbēta vidē, nepaliks nemainīga - tā samazinās atkarībā no attāluma no avota saskaņā ar likumu 1/ r. Tāpēc sfēriskā viļņa vienādojumam ir šāda forma:
kur BET ir nemainīga vērtība, kas skaitliski vienāda ar svārstību amplitūdu attālumā no avota, kas vienāds ar vienotību.
Absorbējošai videi (2.11) mums jāpievieno koeficients e-γr. Atgādiniet, ka, pamatojoties uz izdarītajiem pieņēmumiem, vienādojums (2.11) ir derīgs tikai r, ievērojami pārsniedzot vibrācijas avota izmērus. Kad tiekties r līdz nullei, amplitūda iet līdz bezgalībai. Šis absurdais rezultāts ir izskaidrojams ar vienādojuma (2.11) nepiemērojamību mazajiem r.
Pirms viļņu procesa apsvēršanas sniegsim svārstību kustības definīciju. vilcināšanās ir atkārtots process. Svārstību kustību piemēri ir ļoti dažādi: gadalaiku maiņa, sirdsdarbības svārstības, elpošana, lādiņš uz kondensatora plāksnēm un citi.
Svārstību vienādojums vispārējā formā ir uzrakstīts kā
kur 
No svārstību kustības mēs varam pāriet uz viļņu kustības apsvēršanu. Vilnis ir vibrāciju izplatīšanās process telpā laika gaitā. Tā kā svārstības izplatās telpā laika gaitā, viļņu vienādojumā ir jāņem vērā gan telpiskās koordinātas, gan laiks. Viļņu vienādojumam ir forma
kur A 0 - amplitūda, - frekvence, t - laiks, - viļņa skaitlis, z - koordinātas.
Viļņu fiziskā būtība ir ļoti dažāda. Ir zināmi skaņas, elektromagnētiskie, gravitācijas, akustiskie viļņi.
Pēc svārstību veida visus viļņus var iedalīt garenvirziena un šķērsvirziena. Garenvirziena viļņi - tie ir viļņi, kuros vides daļiņas svārstās pa viļņu izplatīšanās virzienu (3.1.a att.). Gareniskā viļņa piemērs ir skaņas vilnis.
šķērsviļņi - tie ir viļņi, kuros vides daļiņas svārstās šķērsvirzienā attiecībā pret izplatīšanās virzienu (3.1.b att.).
Elektromagnētiskos viļņus sauc par šķērsviļņiem. Jāņem vērā, ka elektromagnētiskajos viļņos lauks svārstās, un nenotiek vides daļiņu svārstības. Ja vilnis izplatās telpā ar vienu frekvenci , tad tāds vilnis sauca vienkrāsains .
Lai aprakstītu viļņu procesu izplatību, tiek ieviesti šādi raksturlielumi. Kosinusa arguments (skat. formulu (3.2)), t.i. izteiksme 
Shematiski viļņu izplatīšanās pa vienu koordinātu ir parādīta attēlā. 3.2, šajā gadījumā izplatīšanās notiek pa z asi.
Periods ir vienas pilnīgas svārstības laiks. Periods tiek apzīmēts ar burtu T un tiek mērīts sekundēs (s). Tiek saukts perioda reciproks līnijas frekvence un apzīmēts f, mēra hercos (= Hz). Līnijas frekvence ir saistīta ar apļveida frekvenci. Saikne tiek izteikta ar formulu
Ja fiksēsim laiku t, tad no att. 3.2 redzams, ka ir punkti, piemēram, A un B, kas svārstās vienādi, t.i. fāzē (in-fāzē). Tiek saukts attālums starp tuvākajiem diviem punktiem, kas svārstās fāzē viļņa garums . Viļņa garums ir apzīmēts ar un tiek mērīts metros (m).
Viļņa skaitlis un viļņa garums ir saistīti ar formulu
Viļņa skaitli citādi sauc par fāzes konstanti vai izplatīšanās konstanti. No formulas (3.4) var redzēt, ka izplatīšanās konstante tiek mērīta ar ( 
Lai aprakstītu viļņu procesu, tiek ieviests viļņu frontes jēdziens. viļņu fronte ir iedomātu punktu atrašanās vieta uz virsmas, līdz kurai ir sasniegusi ierosme. Viļņu fronti sauc arī par viļņu fronti.
Vienādojumu, kas apraksta plaknes viļņa viļņu fronti, var iegūt no (3.2) vienādojuma formā
Formula (3.5) ir plaknes viļņa viļņu frontes vienādojums. Vienādojums (3.4) parāda, ka viļņu frontes ir bezgalīgas plaknes, kas pārvietojas telpā perpendikulāri z asij.
Fāzes frontes ātrumu sauc fāzes ātrums . Fāzes ātrumu apzīmē ar V f un nosaka pēc formulas
Sākotnēji vienādojums (3.2) satur fāzi ar divām zīmēm - negatīvu un pozitīvu. Negatīvā zīme, t.i. 
Viļņa fāzes pozitīvā zīme norāda uz viļņa frontes kustību pretējā virzienā, t.i. pretējs z-ass virziens. Šādu vilni sauc par atstarotu.
Tālāk mēs apsvērsim ceļojošos viļņus.
Ja vilnis izplatās reālā vidē, tad notiekošo siltuma zudumu dēļ amplitūda neizbēgami samazināsies. Apskatīsim vienkāršu piemēru. Ļaujiet vilnim izplatīties pa z asi un viļņa amplitūdas sākotnējā vērtība atbilst 100%, t.i. A0=100. Pieņemsim, ka, ejot garām vienam ceļa metram, viļņa amplitūda samazinās par 10%. Tad mums būs šādas viļņu amplitūdas
Vispārējam amplitūdas izmaiņu modelim ir forma
Eksponenciālajai funkcijai ir šādas īpašības. Grafiski procesu var parādīt att. 3.3.
Kopumā proporcionalitātes attiecību var uzrakstīt kā
kur ir viļņa slāpēšanas konstante.
Fāzes konstanti un slāpēšanas konstanti var apvienot, ieviešot komplekso izplatīšanās konstanti , t.i.
kur ir fāzes konstante, ir viļņa slāpēšanas konstante.
Atkarībā no viļņu frontes veida viļņi ir plakani, sfēriski un cilindriski.
plaknes vilnis
ir vilnis ar plakanu viļņu fronti. Plaknes vilnim var dot arī šādu definīciju. Vilnis tiek uzskatīts par plakni homogēnu, ja vektora lauks 
Plaknes viļņu vienādojums
Ja avots, kas ģenerē vilni, ir punkts, tad viļņu fronte, kas izplatās neierobežotā viendabīgā telpā, ir sfēra. sfērisks vilnis ir vilnis ar sfērisku viļņu fronti. Sfēriskā viļņa vienādojumam ir forma
kur r ir rādiusa vektors, kas novilkts no sākuma punkta, kas sakrīt ar punktveida avota pozīciju, līdz noteiktam telpas punktam, kas atrodas attālumā r.
Viļņus var ierosināt, izmantojot bezgalīgu avotu virkni, kas atrodas gar z asi. Šajā gadījumā šāds pavediens radīs viļņus, kuru fāzes priekšpuse ir cilindriska virsma.
cilindrisks vilnis ir vilnis ar fāzes fronti cilindriskas virsmas formā. Cilindriskā viļņa vienādojumam ir forma
Formulas (3.2), (3.10, 3.11) norāda uz atšķirīgu amplitūdas atkarību no attāluma starp viļņa avotu un konkrētu telpas punktu, līdz kuram vilnis ir sasniedzis.
Helmholca vienādojumi
Maksvels ieguva vienu no svarīgākajiem elektrodinamikas rezultātiem, pierādot, ka elektromagnētisko procesu izplatīšanās telpā laika gaitā notiek viļņa veidā. Apskatīsim šī priekšlikuma pierādījumu, t.i. Pierādīsim elektromagnētiskā lauka viļņu raksturu.
Mēs rakstām pirmos divus Maksvela vienādojumus sarežģītā formā kā
Ņemsim sistēmas otro vienādojumu (3.12) un piemērosim tam rotora darbību kreisajā un labajā daļā. Rezultātā mēs iegūstam
Apzīmē 
No otras puses, pamatojoties uz vektoru analīzē labi zināmo identitāti, var rakstīt
kur 
Ņemot vērā Gausa likumu, t.i. 
Tāpat, izmantojot Maksvela vienādojumu simetriju, var iegūt vienādojumu attiecībā pret vektoru 
Formas (3.17, 3.18) vienādojumus sauc par Helmholca vienādojumiem. Matemātikā ir pierādīts, ka, ja kāds process ir aprakstīts Helmholca vienādojumu veidā, tad tas nozīmē, ka process ir viļņu process. Mūsu gadījumā mēs secinām: laikā mainīgie elektriskie un magnētiskie lauki neizbēgami noved pie elektromagnētisko viļņu izplatīšanās telpā.
Koordinātu formā Helmholca vienādojums (3.17) ir uzrakstīts kā
kur 
Plaknes viļņu īpašības izplatīšanās laikā neabsorbējošā vidē
Ļaujiet plaknes elektromagnētiskajam vilnim izplatīties pa z asi, tad viļņa izplatību apraksta ar diferenciālvienādojumu sistēmu
kur 
Sistēmas (3.21.) risinājumam ir forma
Ja vilnis izplatās tikai vienā virzienā pa z asi, un vektors 
kur 
Ja barotnē nav zudumu, t.i. vides parametri a un a, un 
Mēs uzskaitām plaknes elektromagnētisko viļņu īpašības
Videi tiek ieviests vides viļņu pretestības jēdziens
kur 
Gaisam viļņu pretestība ir
Vienādojums (3.24) parāda, ka magnētiskais un elektriskais lauks atrodas fāzē. Plaknes viļņa lauks ir ceļojošs vilnis, kas ir ierakstīts formā
Uz att. 3.4 lauka vektori 
Pointinga vektors jebkurā brīdī sakrīt ar viļņu izplatīšanās virzienu
Pointinga vektora modulis nosaka jaudas plūsmas blīvumu un tiek mērīts 
Tiek noteikts vidējais jaudas plūsmas blīvums
kur 
Lauka enerģiju, kas atrodas tilpuma vienībā, sauc par enerģijas blīvumu. Elektromagnētiskais lauks laika gaitā mainās, t.i. ir mainīgs. Enerģijas blīvuma vērtību noteiktā laikā sauc par momentāno enerģijas blīvumu. Elektromagnētiskā lauka elektriskajiem un magnētiskajiem komponentiem momentānās enerģijas blīvums ir attiecīgi vienāds ar
Atsaucoties uz 
Kopējais elektromagnētiskās enerģijas blīvums ir norādīts ar
Elektromagnētiskā viļņa izplatīšanās fāzes ātrumu nosaka pēc formulas
Tiek noteikts viļņa garums
kur 
Enerģijas pārneses ātrumu (grupas ātrumu) var noteikt pēc formulas
kur 
Ja jūs krāsojat 
Tādējādi mēs iegūstam
Kad elektromagnētiskais monohromatiskais vilnis izplatās vidē bez zudumiem, fāzes un grupas ātrums ir vienāds.
Pastāv sakarība starp fāzes un grupas ātrumu, kas izteikta ar formulu
Aplūkosim piemēru elektromagnētiskā viļņa izplatībai fluoroplastā ar parametriem =2, =1. Ļaujiet elektriskā lauka stiprumam atbilst
Viļņu izplatīšanās ātrums šādā vidē būs vienāds ar
Fluoroplasta viļņu pretestība atbilst vērtībai
Magnētiskā lauka intensitātes amplitūdas vērtības ņem vērtības
Enerģijas plūsmas blīvums attiecīgi ir vienāds ar
Viļņa garums frekvencē 
Umova – Pointinga teorēma
Elektromagnētisko lauku raksturo sava lauka enerģija, un kopējo enerģiju nosaka elektriskā un magnētiskā lauka enerģiju summa. Ļaujiet elektromagnētiskajam laukam aizņemt slēgtu tilpumu V, tad mēs varam rakstīt
Elektromagnētiskā lauka enerģija principā nevar palikt nemainīga. Rodas jautājums: kādi faktori ietekmē enerģijas izmaiņas? Ir noskaidrots, ka enerģijas izmaiņas slēgtā tilpumā ietekmē šādi faktori:
daļa no elektromagnētiskā lauka enerģijas var pārvērsties cita veida enerģijā, piemēram, mehāniskā;
slēgtā tilpumā var darboties ārējie spēki, kas var palielināt vai samazināt aplūkojamā tilpuma elektromagnētiskā lauka enerģiju;
uzskatītais slēgtais tilpums V var apmainīties ar enerģiju ar apkārtējiem ķermeņiem, pateicoties enerģijas starojuma procesam.
Starojuma intensitāti raksturo Pointinga vektors 
Atgādiniet to 
Pāreja no integrāļa virs virsmas 
To zinot 
No formulas (3.48) redzams, ka kreisā puse ir izteikta kā summa, kas sastāv no trim vārdiem, no kuriem katru aplūkosim atsevišķi.
jēdziens 
Otrais termiņš 
Ja 
Pēdējo lineārās vides terminu var attēlot šādi:
Formula (3.49) izsaka tilpumā V esošā elektromagnētiskā lauka enerģijas izmaiņu ātrumu.
Pēc visu terminu izskatīšanas formulu (3.48) var uzrakstīt šādi:
Formula (3.50) izsaka Pointinga teorēmu. Rādīšanas teorēma izsaka enerģijas līdzsvaru patvaļīgā reģionā, kurā pastāv elektromagnētiskais lauks.
Atpalikuši potenciāli
Maksvela vienādojumiem sarežģītā formā, kā zināms, ir šāda forma:
Ļaujiet ārējām strāvām eksistēt viendabīgā vidē. Mēģināsim pārveidot Maksvela vienādojumus šādai videi un iegūt vienkāršāku vienādojumu, kas apraksta elektromagnētisko lauku šādā vidē.
Paņemiet vienādojumu 
Ņemsim otro Maksvela sistēmas vienādojumu (3.51) un veiksim transformācijas:
Formula (3.53) izsaka otro Maksvela vienādojumu vektora potenciāla izteiksmē
Elektrostatikā, kā zināms, ir izpildīta sakarība:
kur 
Izteiksmi iekavās (3.54) pēc analoģijas ar formulu (3.55) var uzrakstīt kā
kur 
Ņemsim Maksvela pirmo vienādojumu un pierakstīsim to, izmantojot elektrodinamiskos potenciālus
Vektoru algebrā identitāte tiek pierādīta:
Izmantojot identitāti (3.58), pirmo Maksvela vienādojumu, kas uzrakstīts formā (3.57), var attēlot kā
Šeit ir līdzīgi
Reiziniet kreiso un labo daļu ar koeficientu (-1):
Izteiksme (3.60) tiek izsaukta Lorenca mērinstruments .
Ja w=0
, tad mēs saņemam Kulona mērītājs
Ņemot vērā mērinstrumentus, var uzrakstīt vienādojumu (3.59).
Vienādojums (3.61) izsaka sevi nehomogēna viļņa vienādojums vektora elektrodinamiskajam potenciālam.
Līdzīgā veidā, pamatojoties uz trešo Maksvela vienādojumu 
Iegūtajiem elektrodinamisko potenciālu nehomogēniem vienādojumiem ir savi risinājumi
kur M- patvaļīgs punkts M, 
kur V ir tilpums, ko aizņem ārējās strāvas, r ir pašreizējais attālums no katra avota tilpuma elementa līdz punktam M.
Tiek izsaukts vektora elektrodinamiskā potenciāla (3.63), (3.64) risinājums Kirhhofa integrālis aizkavētiem potenciāliem .
Faktors 
Šis koeficients atbilst galīgajam viļņu izplatīšanās ātrumam no avota, un 
Laika brīdī t vektora potenciāls 
No formulas (3.64) redzams, ka vektora elektrodinamiskais potenciāls ir paralēls (kopvirziena) ar ārējo spēku strāvas blīvumu; tā amplitūda samazinās saskaņā ar likumu; lielos attālumos, salīdzinot ar emitētāja izmēriem, vilnim ir sfēriska viļņa fronte.
Ņemot vērā 
Iegūtās attiecības nosaka elektromagnētisko lauku telpā, ko rada noteikts ārējo strāvu sadalījums
Plakano elektromagnētisko viļņu izplatīšanās augsti vadošos vidēs
Apsveriet elektromagnētiskā viļņa izplatīšanos vadošā vidē. Šādus nesējus sauc arī par metāliskiem. Reāla vide ir vadoša, ja vadīšanas strāvu blīvums ievērojami pārsniedz nobīdes strāvu blīvumu, t.i. 
Formula (3.66) izsaka nosacījumu, saskaņā ar kuru reālu vidi var uzskatīt par vadošu. Citiem vārdiem sakot, kompleksās caurlaidības iedomātajai daļai ir jāpārsniedz reālā daļa. Formula (3.66) arī parāda atkarību 
Jā, ar frekvenci f
= 1 MHz = 10 6 Hz sausai augsnei ir parametri =4, =0,01 
Reālam medijam mēs rakstām komplekso caurlaidību
jo mūsu gadījumā 
kur - īpatnējā vadītspēja, - cikliskā frekvence.
Ir zināms, ka izplatīšanās konstante tiek noteikta no Helmholca vienādojumiem
Tādējādi mēs iegūstam izplatīšanās konstantes formulu
Ir zināms, ka
Ņemot vērā identitāti (3.49), formulu (3.50) var uzrakstīt kā
Izplatīšanās konstante tiek izteikta kā
Reālās un iedomātās daļas salīdzinājums formulās (3.71), (3.72) noved pie fāzes konstantes un slāpēšanas konstantes vērtību vienādības, t.i.
No formulas (3.73) rakstām viļņa garumu, ko lauks iegūst, izplatoties labi vadošā vidē
kur 
No iegūtās formulas (3.74) redzams, ka elektromagnētiskā viļņa garums, kas izplatās metālā, ir ievērojami samazināts salīdzinājumā ar viļņa garumu telpā.
Iepriekš tika teikts, ka viļņa amplitūda izplatīšanās laikā vidē ar zudumiem samazinās saskaņā ar likumu 
Virsmas slāņa dziļums - tas ir attālums d, pie kura virsmas viļņa amplitūda samazinās par koeficientu e, salīdzinot ar tā sākotnējo līmeni.
kur 
Virsmas slāņa dziļumu var noteikt arī pēc formulas
kur ir cikliskā frekvence, a ir vides absolūtā magnētiskā caurlaidība, ir vides īpatnējā vadītspēja.
No formulas (3.76) redzams, ka, palielinoties frekvencei un vadītspējai, virsmas slāņa dziļums samazinās.
Ņemsim piemēru. Vara vadītspēja 
Plaknes viļņa atstarošana un laušana saskarnē starp medijiem
Kad plaknes elektromagnētiskais vilnis izplatās telpā, kas ir reģions ar dažādām parametru vērtībām 
viļņu atstarošanas koeficients
piespēļu attiecība
viļņi
Ja krītošā viļņa Pointinga vektors ir perpendikulārs saskarnei, tad
kur Z 1 ,Z 2 - raksturīgā pretestība attiecīgajiem medijiem.
Raksturīgo pretestību nosaka pēc formulas:
kur 
Ar slīpu krišanu viļņu izplatīšanās virzienu attiecībā pret saskarni nosaka krišanas leņķis. Krituma leņķis ir leņķis starp normālu pret virsmu un staru kūļa izplatīšanās virzienu.
sastopamības plakne ir plakne, kas satur krītošo staru un normālu, kas atjaunota līdz krišanas punktam.
No robežnosacījumiem izriet, ka krišanas leņķi 
kur n 1 , n 2 ir attiecīgās vides refrakcijas rādītāji.
Elektromagnētiskajiem viļņiem ir raksturīga polarizācija. Ir eliptiskas, apļveida un lineāras polarizācijas. Lineārajā polarizācijā izšķir horizontālo un vertikālo polarizāciju.
Horizontālā polarizācija
ir polarizācija, kurā vektors 
Ļaujiet plakanam elektromagnētiskajam vilnim ar horizontālu polarizāciju nokrist uz divu datu nesēju saskarnes, kā parādīts attēlā. 3.7. Tiek apzīmēts krītošā viļņa Pointinga vektors 
Atstarotajam vilnim atbilstošie lauka vektori tiek nodrošināti ar indeksu "neg", lauztam - ar indeksu "pr".
Ar horizontālo (perpendikulāro) polarizāciju atstarošanas un caurlaidības koeficienti tiek atrasti šādi (3.7. att.).
Divu datu nesēju saskarnē ir izpildīti robežnosacījumi, t.i.
Mūsu gadījumā mums ir jāidentificē vektoru tangenciālās projekcijas, t.i. var uzrakstīt
Magnētiskā lauka intensitātes līnijas ir vērstas uz krītošiem, atstarotiem un lauztiem viļņiem perpendikulāri krišanas plaknei. Tāpēc vajadzētu rakstīt
Pamatojoties uz to, mēs varam izveidot sistēmu, pamatojoties uz robežnosacījumiem
Ir arī zināms, ka elektriskā un magnētiskā lauka stiprumi ir savstarpēji saistīti caur vides Z viļņu pretestību.
Tad sistēmas otro vienādojumu var uzrakstīt kā
Tātad vienādojumu sistēma ir pieņēmusi formu
Sadalīsim abus šīs sistēmas vienādojumus ar krītošā viļņa amplitūdu 
Sistēmai ir divi risinājumi un divi nezināmie. Ir zināms, ka šāda sistēma ir izšķirama.
Vertikālā polarizācija
ir polarizācija, kurā vektors 
Ar vertikālo (paralēlo) polarizāciju atstarošanas un caurlaidības koeficienti tiek izteikti šādi (3.8. att.).
Vertikālajai polarizācijai tiek uzrakstīta līdzīga vienādojumu sistēma kā horizontālajai polarizācijai, bet ņemot vērā elektromagnētiskā lauka vektoru virzienu
Šādu vienādojumu sistēmu var līdzīgi reducēt līdz formai
Sistēmas risinājums ir atstarošanas un pārraides koeficientu izteiksmes
Ja plakni elektromagnētiskie viļņi ar paralēlu polarizāciju krīt uz saskarnes starp diviem medijiem, atstarošanas koeficients var kļūt par nulli. Krituma leņķi, pie kura krītošais vilnis pilnīgi bez atstarošanas iekļūst no vienas vides citā, sauc par Brūstera leņķi un apzīmē kā 
Mēs uzsveram, ka Brewster leņķis, kad plaknes elektromagnētiskais vilnis krīt uz nemagnētisku dielektriķi, var pastāvēt tikai ar paralēlu polarizāciju.
Ja plaknes elektromagnētiskais vilnis krīt patvaļīgā leņķī uz saskarnes starp diviem medijiem ar zudumiem, tad atstarotie un lauztie viļņi jāuzskata par neviendabīgiem, jo vienādu amplitūdu plaknei jāsakrīt ar saskarni. Īstiem metāliem leņķis starp fāzes fronti un vienādu amplitūdu plakni ir mazs, tāpēc varam pieņemt, ka laušanas leņķis ir 0.
Aptuvenie Šukina-Leontoviča robežnosacījumi
Šie robežnosacījumi ir spēkā, ja kāds no medijiem ir labs vadītājs. Pieņemsim, ka plaknes elektromagnētiskais vilnis krīt no gaisa leņķī uz plaknes saskarni ar labi vadošu vidi, ko raksturo kompleksais laušanas koeficients
No labi vadoša medija jēdziena definīcijas izriet, ka 
Izmantojot Leontoviča robežnosacījumus, ir jāzina magnētiskā vektora pieskares komponents 
Elektromagnētisko viļņu emisija brīvā telpā
Noskaidrosim, kādi ir nosacījumi elektromagnētiskās enerģijas emisijai brīvā telpā. Lai to izdarītu, apsveriet punktveida monohromatisko elektromagnētisko viļņu emitētāju, kas atrodas sfēriskās koordinātu sistēmas sākumā. Kā zināms, sfērisko koordinātu sistēmu nosaka (r, Θ, φ), kur r ir rādiusa vektors, kas novilkts no sistēmas sākuma līdz novērošanas punktam; Θ ir meridionālais leņķis, ko mēra no Z ass (zenīta) līdz rādiusa vektoram, kas novilkts līdz punktam M; φ ir azimutālais leņķis, ko mēra no X ass līdz rādiusa vektora projekcijai, kas novilkta no sākuma līdz punktam M′ (M′ ir punkta M projekcija uz XOY plakni). (3.9. att.).
Punkta emitētājs atrodas viendabīgā vidē ar parametriem
Punkta emitētājs izstaro elektromagnētiskos viļņus visos virzienos, un jebkura elektromagnētiskā lauka sastāvdaļa pakļaujas Helmholca vienādojumam, izņemot punktu r=0 . Var ieviest kompleksu skalāru funkciju Ψ, kas tiek saprasta kā jebkura patvaļīgi ņemta lauka sastāvdaļa. Tad Helmholca vienādojumam funkcijai Ψ ir šāda forma:
kur 
Pieņemsim, ka funkcijai Ψ ir sfēriska simetrija, tad Helmholca vienādojumu var uzrakstīt šādi:
Vienādojumu (3.89) var uzrakstīt arī šādi:
Vienādojumi (3.89) un (3.90) ir viens otram identiski. Vienādojums (3.90) fizikā ir zināms kā svārstību vienādojums. Šādam vienādojumam ir divi atrisinājumi, kuriem, ja amplitūdas ir vienādas, ir šāda forma:
Kā redzams no (3.91), (3.92), vienādojuma atrisinājums atšķiras tikai ar zīmēm. Turklāt, 
Aplūkojamais piemērs ir diezgan vienkāršs. Bet, ja enerģiju izstaro avotu sistēma, ir ļoti grūti izvēlēties pareizo risinājumu. Tāpēc ir nepieciešama analītiskā izteiksme, kas ir kritērijs pareizā risinājuma izvēlei. Nepieciešams vispārējs kritērijs analītiskā formā, kas ļauj izvēlēties nepārprotamu fiziski noteiktu risinājumu.
Citiem vārdiem sakot, mums ir vajadzīgs kritērijs, kas atšķir funkciju, kas izsaka ceļojošu vilni no avota līdz bezgalībai, no funkcijas, kas apraksta vilni, kas nāk no bezgalības uz starojuma avotu.
Šo problēmu atrisināja A. Zomerfelds. Viņš parādīja, ka ceļojošam vilnim, ko raksturo funkcija 
Šo formulu sauc radiācijas stāvoklis vai Zommerfelda stāvoklis .
Apsveriet elementāru elektrisko emitētāju dipola formā. Elektriskais dipols ir īss stieples gabals l salīdzinot ar garo vilni ( l<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия l<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток
Ir viegli parādīt, ka elektriskā lauka izmaiņām telpā ap vadu ir viļņveida raksturs. Skaidrības labad aplūkosim ārkārtīgi vienkāršotu stieples izstarotā elektromagnētiskā lauka elektriskās sastāvdaļas veidošanās un maiņas procesa modeli. Uz att. 3.11 parāda elektromagnētiskā viļņa elektriskā lauka izstarošanas procesa modeli laika periodā, kas vienāds ar vienu periodu
Kā zināms, elektriskā strāva rodas elektrisko lādiņu kustības dēļ, proti
Nākotnē mēs ņemsim vērā tikai izmaiņas pozitīvo un negatīvo lādiņu stāvoklī uz vada. Elektriskā lauka stipruma līnija sākas ar pozitīvu lādiņu un beidzas ar negatīvu. Uz att. 3.11. spēka līnija ir parādīta ar punktētu līniju. Ir vērts atcerēties, ka elektriskais lauks tiek radīts visā telpā, kas ieskauj vadītāju, lai gan att. 3.11 parāda vienu spēka līniju.
Lai maiņstrāva plūst caur vadītāju, ir nepieciešams maiņstrāvas EML avots. Šāds avots ir iekļauts stieples vidū. Elektriskā lauka emisijas procesa stāvokli parāda skaitļi no 1 līdz 13. Katrs skaitlis atbilst noteiktam laika punktam, kas saistīts ar procesa stāvokli. Brīdis t=1 atbilst procesa sākumam, t.i. EMF = 0. Brīdī t=2 parādās mainīgs EMF, kas izraisa lādiņu kustību, kā parādīts att. 3.11. Līdz ar kustīgu lādiņu parādīšanos vadā, kosmosā rodas elektriskais lauks. laika gaitā (t = 3÷5) lādiņi virzās uz vadītāja galiem un spēka līnija aptver arvien lielāku telpas daļu. spēka līnija izplešas ar gaismas ātrumu virzienā, kas ir perpendikulārs stieplei. Laikā t = 6 - 8, EMF, šķērsojot maksimālo vērtību, samazinās. Uzlādes virzās uz vada vidu.
Laikā t = 9, EML izmaiņu puscikls beidzas, tas samazinās līdz nullei. Šajā gadījumā maksas saplūst, tās kompensē viena otru. šajā gadījumā nav elektriskā lauka. Izstarotā elektriskā lauka spēka līnija aizveras un turpina attālināties no stieples.
Tad nāk otrais EML izmaiņu puscikls, procesi tiek atkārtoti, ņemot vērā polaritātes izmaiņas. Uz att. 3.11 momentos t = 10÷13 parāda procesa attēlu, ņemot vērā elektriskā lauka spēka līniju.
Mēs esam apsvēruši virpuļveida elektriskā lauka slēgto spēka līniju veidošanās procesu. Bet ir vērts atcerēties, ka elektromagnētisko viļņu starojums ir viens process. Elektriskais un magnētiskais lauks ir nedalāmi savstarpēji atkarīgi elektromagnētiskā lauka komponenti.
Attēlā parādītais starojuma process. 3.11 ir līdzīgs simetriska elektriskā vibratora elektromagnētiskā lauka starojumam un tiek plaši izmantots radiosakaru tehnoloģijā. Jāatceras, ka elektriskā lauka intensitātes vektora svārstību plakne 
Elektromagnētisko viļņu emisija ir saistīta ar mainīgu procesu. Tāpēc uzlādes formulā varat ievietot konstanti C = 0. Par komplekso lādiņa vērtību var uzrakstīt.
Pēc analoģijas ar elektrostatiku, mēs varam ieviest elektriskā dipola momenta jēdzienu ar maiņstrāvu
No formulas (3.95) izriet, ka elektriskā dipola un virzītā stieples segmenta momenta vektori 
Jāatzīmē, ka īstām antenām ir vadu garums, kas parasti ir salīdzināms ar viļņa garumu. Lai noteiktu šādu antenu starojuma raksturlielumus, vads parasti tiek garīgi sadalīts atsevišķās mazās daļās, no kurām katra tiek uzskatīta par elementāru elektrisko dipolu. iegūtais antenas lauks tiek atrasts, summējot atsevišķu dipolu ģenerētos izstarotos vektoru laukus.
Funkcijai (78.1) jābūt periodiskai gan attiecībā uz laiku t, gan attiecībā uz x, y un z koordinātām. Periodiskums t izriet no tā, ka tā apraksta punkta ar koordinātām x, y, z fluktuācijas. Periodiskums koordinātās izriet no tā, ka punkti, kas viens no otra ir atdalīti ar attālumu, svārstās vienādi.
Atradīsim funkcijas formu plaknes viļņa gadījumā, pieņemot, ka svārstībām ir harmonisks raksturs. Lai vienkāršotu, virzīsim koordinātu asis tā, lai x ass sakristu ar viļņu izplatīšanās virzienu. Tad viļņu virsmas būs perpendikulāras x asij un, tā kā visi viļņa virsmas punkti svārstās vienādi, tad nobīde būs atkarīga tikai no x un t:
Lai punktu svārstībām, kas atrodas x=0 plaknē (195. att.), ir forma
Ļaujiet mums atrast daļiņu svārstību veidu plaknē, kas atbilst patvaļīgai x vērtībai. Lai pārietu no x=0 plaknes uz šo plakni, vilnim ir nepieciešams laiks
Kur ir viļņu izplatīšanās ātrums. Līdz ar to x plaknē esošo daļiņu svārstības laika ziņā atpaliks no daļiņu svārstībām x=0 plaknē, t.i. izskatīsies
Tātad plaknes viļņu vienādojums tiks uzrakstīts šādi;
Izteiksme (78.3) uzrāda sakarību starp laiku (t) un vietu (x), kurā šobrīd tiek veikta fāzes fiksētā vērtība. Nosakot no tā izrietošo dx /dt vērtību, mēs atradīsim ātrumu, ar kādu šī fāzes vērtība pārvietojas. Diferencējot izteiksmi (78.3), mēs iegūstam:
Patiešām, pielīdzinot viļņa fāzi (78.5) konstantei un diferencējot, mēs iegūstam:
no kā izriet, ka vilnis (78.5) izplatās x samazināšanas virzienā.
Plaknes viļņa vienādojumam var dot formu, kas ir simetriska attiecībā pret t un x. Lai to izdarītu, mēs ieviešam tā saukto viļņa skaitli k;
Aizstājot vienādojumā (78.2) tā vērtību (78.7) un ieliekot iekavās , iegūstam plaknes viļņa vienādojumu formā
|
|
(78 .8) |
Viļņa vienādojums, kas izplatās samazināšanās x virzienā, atšķirsies no (78.8) tikai ar zīmi pie vārda kx.
Tagad atradīsim sfēriskā viļņa vienādojumu. Jebkuram reālam viļņu avotam ir zināms apjoms. Tomēr, ja mēs aprobežojamies ar to, ka vilnis atrodas attālumos no avota, kas ir daudz lielāks par tā lielumu, tad avotu var uzskatīt par punktveida avotu.
Gadījumā, ja viļņu izplatīšanās ātrums visos virzienos ir vienāds, punktveida avota radītais vilnis būs sfērisks. Pieņemsim, ka avota svārstību fāze ir . Tad punkti, kas atrodas uz viļņa virsmas ar rādiusu r, svārstīsies ar fāzi (vilnim ir nepieciešams laiks, lai pārvietotos pa ceļu r). Svārstību amplitūda šajā gadījumā, pat ja viļņa enerģija netiek absorbēta vidē, nepaliek nemainīga - tā samazinās līdz ar attālumu no avota saskaņā ar likumu 1/r (sk. §82). Tāpēc sfēriskā viļņa vienādojumam ir forma
|
|
(78 .9) |
kur a ir nemainīga vērtība, kas skaitliski vienāda ar amplitūdu attālumā no avota, kas vienāds ar vienotību. Izmērs a ir vienāds ar amplitūdas izmēru, kas reizināts ar garuma izmēru (izmērs r).
Atgādinām, ka, pamatojoties uz sākumā izdarītajiem pieņēmumiem, vienādojums (78.9) ir derīgs tikai tad, ja avota izmēri ir daudz lielāki. Tā kā r ir tendence uz nulli, amplitūdas izteiksme sasniedz bezgalību. Šis absurdais rezultāts ir izskaidrojams ar vienādojuma nepiemērojamību mazam r.
Mēs domājam punkta līdzsvara stāvokļa koordinātas.