Plokštumos slenkančios bangos lygtis. Plokštumos bangų lygtis. Fazės greitis Plokštumos bangos lygtis kompleksine forma
mechaninės bangos- platinimo procesas mechaninės vibracijos terpėje (skysta, kieta, dujinė).Reikia atsiminti, kad mechaninės bangos perduoda energiją, formuoja, bet neperduoda masės. Svarbiausia savybė banga yra jos sklidimo greitis. Bet kokio pobūdžio bangos erdvėje sklinda ne akimirksniu, jų greitis yra baigtinis.
Geometrija išskiria: sferinės (erdvinės), vienmatės (plokštumos), spiralinės bangos.
Banga vadinama plokščia, jei jos bangos paviršiai yra lygiagrečios viena kitai plokštumos, statmenos bangos faziniam greičiui (1.3 pav.). Vadinasi, plokštumos bangos spinduliai yra lygiagrečios tiesės.
Plokštumos bangos lygtis:
Galimybės :
Virpesių laikotarpis T – laiko tarpas, po kurio sistemos būsena įgyja tas pačias reikšmes: u(t + T) = u(t).
Virpesių dažnis n – svyravimų skaičius per 1 sekundę, periodo atvirkštinė vertė: n = 1/T. Jis matuojamas hercais (Hz), matmuo yra s–1. Kartą per sekundę siūbuojanti švytuoklė svyruoja 1 Hz dažniu
Virpesių fazė j- reikšmė, rodanti, kokia svyravimo dalis praėjo nuo proceso pradžios. Jis matuojamas kampiniais vienetais – laipsniais arba radianais.
Virpesių amplitudė A- didžiausia svyravimo sistemos vertė, svyravimo „diapazonas“.
4.Doplerio efektas- stebėtojo (bangų imtuvo) suvokiamų bangų dažnio ir ilgio pokytis dėl santykinio bangos šaltinio ir stebėtojo judėjimo. Įsivaizduok kad stebėtojas tam tikru greičiu artėja prie nejudančio bangų šaltinio. Tuo pačiu metu jis susiduria su daugiau bangų per tą patį laiko intervalą nei nesant judėjimo. Tai reiškia, kad suvokiamas dažnis yra didesnis už šaltinio skleidžiamos bangos dažnį. Taigi bangos ilgis, dažnis ir bangos sklidimo greitis yra tarpusavyje susiję V= / , - bangos ilgio ryšiu.
Difrakcija- lenkimo aplink kliūtis, kurių dydis yra panašus į bangos ilgį, reiškinys.
trukdžiai- reiškinys, kai dėl koherentinių bangų superpozicijos svyravimai arba padidėja, arba sumažėja.
Youngo patirtis Pirmasis trukdžių eksperimentas, paaiškintas remiantis šviesos bangų teorija, buvo Youngo eksperimentas (1802). Youngo eksperimente šviesa iš šaltinio, kuris tarnavo kaip siauras plyšys S, pateko į ekraną su dviem glaudžiai išdėstytais plyšiais S1 ir S2. Per kiekvieną plyšį šviesos spindulys išsiplėtė dėl difrakcijos, todėl baltame ekrane E šviesos pluoštai, praėję per plyšius S1 ir S2, sutapo. Persidengusių šviesos spindulių srityje buvo pastebėtas trukdžių modelis kintančių šviesių ir tamsių juostelių pavidalu.
2.Garsas - mechaninės išilginės bangos, sklindančios elastingose terpėse, dažnis yra nuo 16 Hz iki 20 kHz. Yra tokių garsų tipų:
1. paprastas tonas – grynai harmoninė vibracija, kurią skleidžia kamertonas (metalinis instrumentas, kuris smogdamas skleidžia garsą):
2. kompleksinis tonas – ne sinusinis, o periodinis svyravimas (spinduliuojamas įvairių muzikos instrumentų).
Remiantis Furjė teorema, tokį sudėtingą virpesį galima pavaizduoti skirtingų dažnių harmoninių komponentų rinkiniu. Žemiausias dažnis vadinamas pagrindiniu tonu, o keli dažniai – obertonais. Dažnių rinkinys, nurodantis jų santykinį intensyvumą (bangų energijos srauto tankį), vadinamas akustiniu spektru. Sudėtingo tono spektras yra tiesinis.
3. triukšmas – garsas, gaunamas pridedant daug nenuoseklių šaltinių. Spektras – nenutrūkstamas (nepertraukiamas):
4. garsinis poveikis – trumpalaikis garso poveikis.Pvz.: medvilnė, sprogimas.
Atsparumas bangoms - garso slėgio plokštumoje bangoje ir terpės dalelių svyravimo greičio santykis. Jis apibūdina terpės standumo laipsnį (t. y. terpės gebėjimą atsispirti deformacijų susidarymui) keliaujančioje bangoje. Išreiškiama formule:
P / V \u003d p / c, P - garso slėgis, p - tankis, c - garso greitis, V - garsumas.
3 - charakteristikos, kurios nepriklauso nuo imtuvo savybių:
Intensyvumas (garso stiprumas) – nešama energija garso banga per laiko vienetą per ploto vienetą, nustatytas statmenai garso bangai.
tono dažnis.
Garso spektras yra obertonų skaičius.
Kai dažnis mažesnis nei 17 ir didesnis nei 20 000 Hz, slėgio svyravimų žmogaus ausis nebesuvokia. Išilginės mechaninės bangos, kurių dažnis mažesnis nei 17 Hz, vadinamos infragarsu. Išilginės mechaninės bangos, kurių dažnis viršija 20 000 Hz, vadinamos ultragarsu.
5. UZ- mechaninis banga, kurios dažnis didesnis nei 20 kHz. Ultragarsas yra terpės kondensacijos ir retėjimo kaitaliojimas. Kiekvienoje terpėje ultragarso sklidimo greitis yra vienodas . Ypatingumas- spindulio siaurumas, leidžiantis veikti objektus vietoje. Nehomogeninėse terpėse su mažais dalelių intarpais vyksta difrakcijos reiškiniai (apgaubiančios kliūtys). Ultragarso prasiskverbimas į kitą terpę apibūdinamas prasiskverbimo koeficientu () =L /L, kur ultragarso ilgis po ir prieš prasiskverbimą į terpę.
Ultragarso poveikis kūno audiniams yra mechaninis, terminis, cheminis. Taikymas medicinoje skirstomas į 2 sritis: tyrimo ir diagnostikos metodą bei veikimo metodą. vienas) echoencefalografija- navikų ir smegenų edemos nustatymas ; kardiografija- širdies matavimas dinamikoje. 2) Ultragarso fizioterapija - mechaninis ir terminis poveikis audiniui; operacijų metu kaip „ultragarsinis skalpelis“
6. Idealus skystisįsivaizduojamas nesuspaudžiamas skystis, neturintis klampumo ir šilumos laidumo. Idealus skystis neturi vidinės trinties, yra ištisinis ir neturi struktūros.
Tęstinumo lygtis -V 1 A 1 = V 2 A 2 Tūrinis srautas bet kuriame srauto vamzdyje, kurį riboja gretimos srauto linijos, bet kuriuo metu turi būti vienodas visuose jo skerspjūviuose.
Bernulio lygtis - R v 2 / 2 + RŠv + Rgh= const, esant pastoviam srautui, bendra aukštis yra vienoda visuose srovės vamzdžio skerspjūviuose. R v 2 / 2 + RŠv= const – už horiz. sklypai.
7Stacionarus srautas Srautas, kurio greitis niekur nesikeičia skystyje.
laminarinis srautas- tvarkingas skysčio ar dujų srautas, kuriame skystis (dujos) juda tarsi lygiagrečiais tekėjimo krypčiai sluoksniais.
turbulentinis srautas- skysčio ar dujų srauto forma, kai jų elementai daro netvarkingus, nepastovius judesius sudėtingomis trajektorijomis, dėl kurių intensyviai maišosi judančio skysčio ar dujų sluoksniai.
linijos- linijos, kurių liestinės visuose taškuose sutampa su greičio kryptimis šiuose taškuose. Stacionariame sraute srauto linijos nesikeičia laikui bėgant.
Klampumas - vidinė trintis, skysčių kūnų (skysčių ir dujų) savybė atsispirti vienos iš jų dalių judėjimui kitos atžvilgiu
Niutono lygtis: F = (dv/dx)Sη.
Klampumo koeficientas- Proporcingumo koeficientas, priklausantis nuo skysčio ar dujų rūšies. Skaičius, naudojamas kiekybiškai įvertinti klampumo savybę. Vidinės trinties koeficientas.
neniutono skystis vadinamas skysčiu, kurio metu jo klampumas priklauso nuo greičio gradiento, kurio srautas paklūsta Niutono lygčiai. (polimerai, krakmolas, skysto muilo kraujas)
Niutonas - Jei judančiame skystyje jo klampumas priklauso tik nuo jo pobūdžio ir temperatūros ir nepriklauso nuo greičio gradiento. (Vanduo ir dyzelinis kuras)
.Reinoldso numeris- charakterizuojant ryšį tarp inercinių jėgų ir klampių jėgų: Re \u003d rdv / m, kur r yra tankis, m yra dinaminis skysčio arba dujų klampos koeficientas, v yra srauto greitis. Esant R< Rekр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re >Rekp srautas gali tapti neramus.
Kinematinis klampos koeficientas- skysčio ar dujų dinaminės klampos ir jų tankio santykis.
9. Stokso metodas, pagrįstas metodas a Stokso formulė pasipriešinimo jėgai, kuri atsiranda rutuliui judant klampiame skystyje, gauta Stokso: Fc = 6 π η V r. Norint netiesiogiai išmatuoti klampos koeficientą η, reikia atsižvelgti į vienodą rutulio judėjimą klampiame skystyje ir taikyti sąlygą vienodas judesys: visų rutulį veikiančių jėgų vektorinė suma lygi nuliui.
Mg + F A + F c \u003d 0 (viskas vektorine forma !!!)
Dabar reikia išreikšti gravitacijos jėgą (mg) ir Archimedo jėgą (Fa) žinomais dydžiais. Sulyginus reikšmes mg = Fa + Fс, gauname klampos išraišką:
η \u003d (2/9) * g * (ρ t - ρ w) * r 2 / v \u003d (2/9) * g * (ρ t - ρ w) * r 2 * t / L. Spindulys yra tiesiogiai matuojamas mikrometro rutuliuku r (skersmuo), L – rutulio kelias skystyje, t – kelio L važiavimo laikas. Norint išmatuoti klampumą Stokso metodu, kelias L neimamas iš skysčio paviršiaus, bet tarp 1 ir 2 ženklų. Taip yra dėl šios aplinkybės. Išvedant klampos koeficiento darbinę formulę Stokso metodu, buvo naudojama tolygaus judėjimo sąlyga. Pačioje judesio pradžioje (pradinis rutulio greitis lygus nuliui) pasipriešinimo jėga taip pat lygi nuliui ir kamuoliukas turi tam tikrą pagreitį. Didėjant greičiui, pasipriešinimo jėga didėja, o trijų jėgų rezultatas mažėja! Tik po tam tikro ženklo judesys gali būti laikomas vienodu (ir tada apytiksliai).
11.Puazio formulė: Kai klampus nesuspaudžiamas skystis nuolat laminariškai juda per cilindrinį apskrito skerspjūvio vamzdį, tūrio srautas per sekundę yra tiesiogiai proporcingas slėgio kritimui vamzdžio ilgio vienetui ir ketvirtajai spindulio galiai ir atvirkščiai proporcingas skysčio klampos koeficientas.
LĖKTUVO BANGOS
LĖKTUVO BANGOS
Banga, kurios sklidimo kryptis yra vienoda visuose erdvės taškuose. Paprasčiausias pavyzdys yra vienalytė monochromatinė neslopintas P. v.:
u(z, t) = Aeiwt±ikz, (1)
kur A – amplitudė, j= wt±kz – , w=2p/Т – apskritimo dažnis, Т – virpesių periodas, k – . Pastovios fazės paviršiai (fazių frontai) j=const P.v. yra lėktuvai.
Nesant dispersijos, kai vph ir vgr yra vienodi ir pastovūs (vgr = vph = v), egzistuoja stacionarūs (t. y. judantys kaip visuma) keliaujantys P.V., kurie suteikia bendrą formos atvaizdavimą:
u(z, t)=f(z±vt), (2)
kur f yra savavališka funkcija. Netiesinėse terpėse su dispersija taip pat galimos stacionarios sklindančios bangos formos. tipas (2), tačiau jų forma nebėra savavališka, o priklauso ir nuo sistemos parametrų, ir nuo judesio pobūdžio. Sugeriančiose (disipacinėse) terpėse P. a. sumažinti jų amplitudę, kai jie sklinda; naudojant tiesinį slopinimą, į tai galima atsižvelgti pakeičiant k in (1) kompleksiniu bangos skaičiumi kd ± ikm, kur km yra koeficientas. slopinimas P. in.
Vienoda bangos forma, kuri užima visą begalybę, yra idealizacija, tačiau bet kokia bangos forma, sutelkta baigtinėje srityje (pavyzdžiui, vadovaujama perdavimo linijomis arba bangolaidžiais), gali būti pavaizduota kaip bangos formos superpozicija. su viena ar kita erdve. spektras k. Šiuo atveju banga vis tiek gali turėti plokščią fazės frontą, bet nehomogenišką amplitudę. Toks P. in. paskambino plokštumos nehomogeniškos bangos. Atskiros sferinės sekcijos ir cilindro formos. bangos, kurios yra mažos, palyginti su fazės fronto kreivio spinduliu, elgiasi maždaug kaip P.V.
Fizinis enciklopedinis žodynas. - M.: Tarybinė enciklopedija. . 1983 .
LĖKTUVO BANGOS
- banga, uk-spiečio sklidimo kryptis yra vienoda visuose erdvės taškuose.
kur BET - amplitudė, - fazė, - apskritas dažnis, T - svyravimų periodas, k- bangos numeris. = const P. c. yra lėktuvai.
Nesant dispersijos, kai fazės greitis v f ir grupė v gr yra vienodi ir pastovūs ( v gr = v f = v) yra nejudančių (t. y. judančių kaip visuma) keliaujančių P. c., kuris gali būti pavaizduotas bendra forma
kur f- savavališka funkcija. Netiesinėse terpėse su dispersija taip pat galimos stacionarios sklindančios parametrinės bangos. tipas (2), tačiau jų forma nebėra savavališka, o priklauso ir nuo sistemos parametrų, ir nuo bangos judėjimo pobūdžio. Sugeriančioje (disipacinėje) terpėje P. k ant kompleksinio bangos skaičiaus k d ik m, kur k m - koeficientas. slopinimas P. in. Homogeninis bangų laukas, užimantis viską, kas begalinė, yra idealizacija, tačiau bet koks bangos laukas, sutelktas baigtinėje srityje (pavyzdžiui, nukreiptas perdavimo linijos arba bangolaidžiai), gali būti pavaizduota kaip superpozicija. in. su vienu ar kitu erdviniu spektru k.Šiuo atveju banga vis tiek gali turėti plokščią fazės frontą, kurio amplitudės pasiskirstymas yra netolygus. Toks P. in. paskambino plokštumos nehomogeniškos bangos. Dep. sferiniai sklypai arba cilindro formos. bangos, kurios yra mažos, palyginti su fazės fronto kreivio spinduliu, elgiasi maždaug kaip P.V.
Lit.žr. str. Bangos.
M. A. Milleris, L. A. Ostrovskis.
Fizinė enciklopedija. 5 tomuose. - M.: Tarybinė enciklopedija. Vyriausiasis redaktorius A. M. Prokhorovas. 1988 .
Apibūdinant bangų procesą, reikia rasti svyruojančio judėjimo amplitudes ir fazes įvairiuose terpės taškuose bei šių dydžių kitimą laikui bėgant. Šią problemą galima išspręsti, jei žinoma, pagal kokį dėsnį jis svyruoja ir kaip bangos procesą sukėlęs kūnas sąveikauja su terpe. Tačiau daugeliu atvejų nesvarbu, kokiu kūnu duota banga sužadinama, o išsprendžiama paprastesnė problema. Duota svyruojančio judėjimo būsena kai kuriuose terpės taškuose tam tikru laiko momentu ir reikia nustatyti svyruojančio judėjimo būsena kituose terpės taškuose.
Kaip pavyzdį apsvarstykite tokios problemos sprendimą paprastu, bet kartu svarbiu plokštumos arba sferinės harmoninės bangos sklidimo terpėje atveju. Svyruojančią reikšmę pažymėkime u. Ši vertė gali būti: terpės dalelių poslinkis, palyginti su jų pusiausvyros padėtimi, slėgio nuokrypis tam tikroje terpės vietoje nuo pusiausvyros vertės ir kt. Tada užduotis bus surasti vadinamąjį bangų lygtys - išraiška, nurodanti svyruojančią reikšmę u kaip terpės taškų koordinačių funkcija x, y, z ir laikas t:
u = u(x, y, z, t). (2.1)
Paprastumo dėlei u – taškų poslinkis tamprioje terpėje, kai joje sklinda plokštuma, o taškų svyravimai turi harmoninį pobūdį. Be to, nukreipiame koordinačių ašis taip, kad ašis 0x sutampa su bangos sklidimo kryptimi. Tada bangų paviršiai (plokštumų šeima) bus statmeni ašiai 0x(7 pav.), o kadangi visi bangos paviršiaus taškai svyruoja vienodai, poslinkis u priklausys tik nuo X ir t: u = u(x, t). Plokštumoje esančių taškų harmoniniams virpesiams X= 0 (9 pav.), galioja lygtis:
u(0, t) = A cos ( ωt + α ) (2.2)
Raskime plokštumos taškų svyravimų tipą, atitinkantį savavališką reikšmę X. Norėdami išeiti iš lėktuvo X= 0 šiai plokštumai, bangai reikia laiko τ = x/s (Su yra bangos sklidimo greitis). Vadinasi, plokštumoje gulinčių dalelių svyravimai X, atrodys taip:
Taigi plokštumos bangos (išilginės ir skersinės), sklindančios 0x ašies kryptimi, lygtis atrodo taip:
Vertė BET yra bangos amplitudė. Pradinė bangos fazė α nulemia atskaitos taškų pasirinkimas X ir t.
Fiksuokime tam tikrą fazės reikšmę laužtiniuose (2.3) lygties skliausteliuose nustatydami
Išskirkime šią lygybę laiko atžvilgiu, atsižvelgdami į ciklinį dažnį ω ir pradinė fazė α yra nuolatiniai:
Taigi bangos sklidimo greitis Su(2.3) lygtyje yra fazės judėjimo greitis, dėl kurio jis vadinamas fazės greitis . Pagal (2.5) dx/dt> 0. Todėl (2.3) lygtis apibūdina bangą, sklindančią didėjimo kryptimi X, taip vadinamas keliaujanti progresyvi banga . Priešinga kryptimi sklindanti banga apibūdinama lygtimi
ir paskambino keliaujanti regresinė banga . Iš tiesų, prilyginę bangos fazę (2.6) konstantai ir diferencijuodami gautą lygybę, gauname ryšį:
iš kurio seka, kad banga (2.6) sklinda mažėjimo kryptimi X.
Pristatome kiekį
kuris vadinamas bangos numeris ir yra lygus bangų ilgių, kurie telpa į 2π metrų intervalą, skaičiui. Naudojant formules λ = c/v ir ω = 2π ν bangos skaičius gali būti pavaizduotas kaip
Atidarę skliaustus formulėse (2.3) ir (2.6) ir atsižvelgdami į (2.8), gauname tokią lygtį plokštuminėms bangoms, sklindančioms išilgai („-“ ženklas) ir prieš („+“ ženklas) ašį 0 X:
Išvedant (2.3) ir (2.6) formules buvo daroma prielaida, kad virpesių amplitudė nepriklauso nuo X. Plokščiosios bangos atveju tai pastebima, kai bangos energijos nesugeria terpė. Patirtis rodo, kad sugeriančioje terpėje bangos intensyvumas palaipsniui mažėja tolstant nuo virpesių šaltinio – bangos slopinimas stebimas pagal eksponentinį dėsnį:
Atitinkamai, plokštumos slopintos bangos lygtis turi tokią formą:
kur A 0 – amplitudė plokštumos taškuose X= 0 ir γ yra silpninimo koeficientas.
Dabar suraskime lygtį sferinė banga . Bet koks tikras bangų šaltinis turi tam tikrą mastą. Tačiau, jei apsiribosime bangos atstumais nuo šaltinio, daug didesniu nei jos dydis, tada šaltinį galima laikyti tiksliai nustatyti . Izotropinėje ir vienalytėje terpėje taškinio šaltinio generuojama banga bus sferinė. Tarkime, kad šaltinio svyravimų fazė ωt+α. Tada taškai, esantys spindulio bangos paviršiuje r, svyruos su faze
Virpesių amplitudė šiuo atveju, net jei bangos energijos nesugeria terpė, neišliks pastovi – ji mažėja priklausomai nuo atstumo nuo šaltinio pagal dėsnį 1/ r. Todėl sferinės bangos lygtis turi tokią formą:
kur BET yra pastovi reikšmė, skaitine prasme lygi virpesių amplitudei atstumu nuo šaltinio, lygiu vienetui.
Sugeriančios terpės atveju (2.11) turime pridėti koeficientą e-γr. Prisiminkite, kad pagal padarytas prielaidas (2.11) lygtis galioja tik r, gerokai viršijantis vibracijos šaltinio matmenis. Kai stengiamasi r iki nulio, amplitudė eina iki begalybės. Šis absurdiškas rezultatas paaiškinamas (2.11) lygties nepritaikymu mažiesiems r.
Prieš nagrinėdami bangų procesą, pateikime svyruojančio judėjimo apibrėžimą. dvejonės yra pasikartojantis procesas. Virpesių judesių pavyzdžiai yra labai įvairūs: metų laikų kaita, širdies svyravimas, kvėpavimas, kondensatoriaus plokštelių krūvis ir kt.
Virpesių lygtis bendra forma parašyta kaip
kur 
Iš svyruojančio judėjimo galime pereiti prie bangos judėjimo svarstymo. Banga yra virpesių sklidimo erdvėje procesas laikui bėgant. Kadangi svyravimai erdvėje sklinda laikui bėgant, bangos lygtyje reikia atsižvelgti ir į erdvines koordinates, ir į laiką. Bangos lygtis turi formą
kur A 0 – amplitudė, – dažnis, t – laikas, – bangos skaičius, z – koordinatė.
Fizinė bangų prigimtis yra labai įvairi. Yra žinomos garso, elektromagnetinės, gravitacinės, akustinės bangos.
Pagal virpesių tipą visos bangos gali būti skirstomos į išilgines ir skersines. Išilginės bangos - tai bangos, kuriose terpės dalelės svyruoja pagal bangos sklidimo kryptį (3.1a pav.). Išilginės bangos pavyzdys yra garso banga.
skersinės bangos - tai bangos, kuriose terpės dalelės svyruoja skersine kryptimi sklidimo krypties atžvilgiu (3.1b pav.).
Elektromagnetinės bangos vadinamos skersinėmis bangomis. Reikia atsižvelgti į tai, kad elektromagnetinėse bangose laukas svyruoja, o terpės dalelių svyravimai nevyksta. Jeigu banga erdvėje sklinda vienu dažniu , tai toks banga paskambino vienspalvis .
Bangų procesų sklidimui aprašyti pateikiamos šios charakteristikos. Kosinuso argumentas (žr. (3.2) formulę), t.y. išraiška 
Schematiškai bangos sklidimas išilgai vienos koordinatės parodytas fig. 3.2, šiuo atveju sklidimas vyksta išilgai z ašies.
Laikotarpis yra vieno pilno svyravimo laikas. Laikotarpis žymimas raide T ir matuojamas sekundėmis (s). Laikotarpio grįžtamoji vertė vadinama linijos dažnis ir žymimas f, matuojamas hercais (= Hz). Linijos dažnis yra susijęs su žiediniu dažniu. Ryšys išreiškiamas formule
Jei fiksuosime laiką t, tai iš Fig. 3.2 matyti, kad yra taškai, pavyzdžiui, A ir B, kurie svyruoja vienodai, t.y. fazėje (in-fazėje). Atstumas tarp artimiausių dviejų taškų, kurie svyruoja fazėje, vadinamas bangos ilgis . Bangos ilgis žymimas ir matuojamas metrais (m).
Bangos skaičius ir bangos ilgis yra susieti pagal formulę
Bangos skaičius kitaip vadinamas fazės konstanta arba sklidimo konstanta. Iš (3.4) formulės matyti, kad sklidimo konstanta matuojama ( 
Bangos procesui apibūdinti pristatoma bangos fronto sąvoka. bangos frontas yra įsivaizduojamų taškų vieta paviršiuje, kurį pasiekė sužadinimas. Bangos frontas taip pat vadinamas bangos frontu.
Lygtį, apibūdinančią plokštumos bangos bangos frontą, galima gauti iš (3.2) lygties, tokia forma
Formulė (3.5) yra plokštumos bangos fronto lygtis. (3.4) lygtis rodo, kad bangų frontai yra begalinės plokštumos, judančios erdvėje statmenai z ašiai.
Fazinio fronto greitis vadinamas fazės greitis . Fazės greitis žymimas V f ir nustatomas pagal formulę
Iš pradžių (3.2) lygtis apima fazę su dviem ženklais - neigiamu ir teigiamu. Neigiamas ženklas, t.y. 
Teigiamas bangos fazės ženklas rodo bangos fronto judėjimą priešinga kryptimi, t.y. priešinga z ašiai kryptimi. Tokia banga vadinama atspindėta.
Toliau apžvelgsime keliaujančias bangas.
Jeigu banga sklinda realioje terpėje, tai dėl atsirandančių šilumos nuostolių amplitudė neišvengiamai sumažės. Panagrinėkime paprastą pavyzdį. Tegul banga sklinda išilgai z ašies ir pradinė bangos amplitudės reikšmė atitinka 100%, t.y. A0=100. Tarkime, kad pravažiuojant vieną metrą tako bangos amplitudė sumažėja 10%. Tada turėsime tokias bangų amplitudes
Bendras amplitudės kitimo modelis turi formą
Eksponentinė funkcija turi šias savybes. Grafiškai procesas gali būti parodytas Fig. 3.3.
Apskritai proporcingumo santykį galima parašyti kaip
kur yra bangos slopinimo konstanta.
Fazės konstanta ir slopinimo konstanta gali būti derinamos įvedus kompleksinę sklidimo konstantą , t.y.
čia – fazės konstanta, – bangos slopinimo konstanta.
Priklausomai nuo bangos fronto tipo, bangos yra plokštumos, sferinės ir cilindrinės.
plokštumos banga
yra banga su plokščiu bangos frontu. Plokštumai bangai taip pat gali būti suteiktas toks apibrėžimas. Sakoma, kad banga yra plokštumoje vienalytė, jei vektoriaus laukas 
Plokštumos bangų lygtis
Jei šaltinis, generuojantis bangą, yra taškas, tai bangos frontas, sklindantis neribotoje vienalytėje erdvėje, yra rutulys. sferinė banga yra banga su sferiniu bangos frontu. Sferinės bangos lygtis turi formą
čia r yra spindulio vektorius, nubrėžtas nuo pradžios taško, kuris sutampa su taškinio šaltinio padėtimi, iki konkretaus erdvės taško, esančio atstumu r.
Bangas galima sužadinti naudojant begalinę šaltinių eilutę, esančią išilgai z ašies. Tokiu atveju toks siūlas generuos bangas, kurių fazės priekis yra cilindrinis paviršius.
cilindrinė banga yra banga su faziniu frontu cilindrinio paviršiaus pavidalu. Cilindrinės bangos lygtis turi formą
Formulės (3.2), (3.10, 3.11) rodo skirtingą amplitudės priklausomybę nuo atstumo tarp bangos šaltinio ir konkretaus erdvės taško, kurį banga pasiekė.
Helmholtzo lygtys
Maksvelas gavo vieną iš svarbiausių elektrodinamikos rezultatų, įrodančių, kad elektromagnetinių procesų sklidimas erdvėje laikui bėgant vyksta bangos pavidalu. Panagrinėkime šio teiginio įrodymą, t.y. Įrodykime elektromagnetinio lauko banginį pobūdį.
Pirmąsias dvi Maksvelo lygtis rašome sudėtinga forma kaip
Paimkime antrąją sistemos (3.12) lygtį ir pritaikykime jai rotoriaus veikimą kairiajai ir dešiniajai dalims. Kaip rezultatas, mes gauname
Pažymėti 
Kita vertus, remiantis vektorinėje analizėje gerai žinoma tapatybe, galima rašyti
kur 
Atsižvelgiant į Gauso dėsnį, t.y. 
Panašiai, naudojant Maksvelo lygčių simetriją, galima gauti lygtį vektoriaus atžvilgiu 
Formos (3.17, 3.18) lygtys vadinamos Helmholco lygtimis. Matematikoje įrodyta, kad jei koks nors procesas aprašytas Helmholtzo lygčių forma, tai reiškia, kad procesas yra banginis. Mūsų atveju darome išvadą: laike kintantys elektriniai ir magnetiniai laukai neišvengiamai lemia elektromagnetinių bangų sklidimą erdvėje.
Koordinačių pavidalu Helmholtzo lygtis (3.17) parašyta kaip
kur 
Plokštuminių bangų savybės sklindant nesugeriančiose terpėse
Tegul plokštuminė elektromagnetinė banga sklinda išilgai z ašies, tada bangos sklidimas apibūdinamas diferencialinių lygčių sistema
kur 
Sistemos (3.21) sprendimas turi formą
Jeigu banga išilgai z ašies sklinda tik viena kryptimi, ir vektorius 
kur 
Jei terpėje nėra nuostolių, t.y. aplinkos parametrai a ir a, ir 
Išvardijame plokštuminių elektromagnetinių bangų savybes
Kalbant apie terpę, įvedama terpės banginio pasipriešinimo sąvoka
kur 
Orui atsparumas bangai yra
(3.24) lygtis rodo, kad magnetinis ir elektrinis laukai yra fazėje. Plokštumos bangos laukas yra keliaujanti banga, kuri parašyta forma
Ant pav. 3.4 lauko vektoriai 
Poyntingo vektorius bet kuriuo metu sutampa su bangos sklidimo kryptimi
Poyntingo vektoriaus modulis apibrėžia galios srauto tankį ir yra matuojamas 
Nustatomas vidutinis galios srauto tankis
kur 
Lauko energija, esanti tūrio vienete, vadinama energijos tankiu. Elektromagnetinis laukas laikui bėgant kinta, t.y. yra kintama. Energijos tankio vertė tam tikru momentu vadinama momentiniu energijos tankiu. Elektromagnetinio lauko elektrinių ir magnetinių komponentų momentinis energijos tankis yra atitinkamai lygus
Turint omenyje 
Bendras elektromagnetinės energijos tankis pateikiamas pagal
Elektromagnetinės bangos sklidimo fazinis greitis nustatomas pagal formulę
Nustatomas bangos ilgis
kur 
Energijos perdavimo greitį (grupės greitį) galima nustatyti pagal formulę
kur 
Jei dažai 
Taigi, mes gauname
Kai elektromagnetinė monochromatinė banga sklinda be nuostolių terpėje, fazės ir grupės greičiai yra vienodi.
Yra ryšys tarp fazės ir grupės greičio, išreikštas formule
Apsvarstykite elektromagnetinės bangos sklidimo fluoroplaste pavyzdį, kurio parametrai =2, =1. Tegul elektrinio lauko stiprumas atitinka
Bangos sklidimo greitis tokioje terpėje bus lygus
Fluoroplasto bangos varža atitinka vertę
Magnetinio lauko stiprumo amplitudės reikšmės paimamos
Energijos srauto tankis atitinkamai lygus
Bangos ilgis dažnyje 
Umovo – Poyntingo teorema
Elektromagnetiniam laukui būdinga sava lauko energija, o bendrą energiją lemia elektrinio ir magnetinio laukų energijų suma. Tegul elektromagnetinis laukas užima uždarą tūrį V, tada galime rašyti
Elektromagnetinio lauko energija iš esmės negali išlikti pastovi. Kyla klausimas: kokie veiksniai turi įtakos energijos pokyčiui? Nustatyta, kad energijos kitimui uždarame tūryje įtakos turi šie veiksniai:
dalis elektromagnetinio lauko energijos gali virsti kitų rūšių energija, pavyzdžiui, mechanine;
uždarame tūryje gali veikti išorinės jėgos, kurios gali padidinti arba sumažinti nagrinėjamame tūryje esančio elektromagnetinio lauko energiją;
laikomas uždaras tūris V dėl energijos spinduliavimo proceso gali keistis energija su aplinkiniais kūnais.
Spinduliuotės intensyvumas apibūdinamas Poyntingo vektoriumi 
Prisiminkite tai 
Perėjimas iš integralo per paviršių 
Žinant tai 
Iš (3.48) formulės matyti, kad kairioji pusė išreiškiama suma, susidedančia iš trijų narių, kurių kiekvieną nagrinėsime atskirai.
terminas 
Antra kadencija 
Jeigu 
Paskutinis linijinės terpės terminas gali būti pavaizduotas taip:
Formulė (3.49) išreiškia elektromagnetinio lauko, esančio tūryje V, energijos kitimo greitį.
Apsvarsčius visus terminus, formulę (3.48) galima parašyti taip:
Formulė (3.50) išreiškia Poyntingo teoremą. Rodyklės teorema išreiškia energijos pusiausvyrą savavališkame regione, kuriame yra elektromagnetinis laukas.
Atsilikę potencialai
Maksvelo lygtys sudėtingoje formoje, kaip žinoma, turi tokią formą:
Tegul išorinės srovės egzistuoja vienalytėje terpėje. Pabandykime transformuoti Maksvelo lygtis tokiai terpei ir gauti paprastesnę lygtį, apibūdinančią elektromagnetinį lauką tokioje terpėje.
Paimkite lygtį 
Paimkime antrąją Maksvelo sistemos lygtį (3.51) ir atliksime transformacijas:
Formulė (3.53) išreiškia antrąją Maksvelo lygtį vektoriaus potencialo atžvilgiu
Elektrostatikoje, kaip žinoma, įvykdomas ryšys:
kur 
Išraiška skliausteliuose (3.54) pagal analogiją su formule (3.55) gali būti parašyta kaip
kur 
Paimkime pirmąją Maksvelo lygtį ir užrašykite ją naudodami elektrodinaminius potencialus
Vektorinėje algebroje tapatybė įrodoma:
Naudojant tapatybę (3.58), pirmoji Maksvelo lygtis, parašyta forma (3.57), gali būti pavaizduota kaip
Čia yra panašūs
Kairiąją ir dešiniąją dalis padauginkite iš koeficiento (-1):
Išraiška (3.60) vadinama Lorentzo matuoklis .
Jeigu w=0
, tada gauname Kulono matuoklis
Atsižvelgiant į matuoklius, galima parašyti (3.59) lygtį
Lygtis (3.61) išreiškia save nehomogeninės bangos lygtis vektoriaus elektrodinaminiam potencialui.
Panašiai, remiantis trečiąja Maksvelo lygtimi 
Gautos nehomogeninės elektrodinaminių potencialų lygtys turi savo sprendimus
kur M- savavališkas taškas M, 
kur V yra tūris, kurį užima išorinės srovės, r yra dabartinis atstumas nuo kiekvieno šaltinio tūrio elemento iki taško M.
Vektorinio elektrodinaminio potencialo (3.63), (3.64) sprendinys vadinamas Kirchhoff integralas sulėtėjusiems potencialams .
veiksnys 
Šis koeficientas atitinka galutinį bangos sklidimo iš šaltinio greitį ir 
Laiko momentu t vektoriaus potencialas 
Iš (3.64) formulės matyti, kad vektoriaus elektrodinaminis potencialas yra lygiagretus (bendrakryptis) su išorinių jėgų srovės tankiu; jo amplitudė mažėja pagal įstatymą; dideliais atstumais, palyginti su emiterio matmenimis, banga turi sferinį bangos frontą.
Atsižvelgiant į 
Gauti ryšiai nustato elektromagnetinį lauką erdvėje, kurią sukuria tam tikras išorinių srovių pasiskirstymas
Plokščiųjų elektromagnetinių bangų sklidimas labai laidžiose terpėse
Apsvarstykite elektromagnetinės bangos sklidimą laidžioje terpėje. Tokios terpės dar vadinamos metalinėmis. Reali terpė yra laidži, jeigu laidumo srovių tankis gerokai viršija poslinkių srovių tankį, t.y. 
Formulė (3.66) išreiškia sąlygą, kuriai esant reali terpė gali būti laikoma laidžia. Kitaip tariant, menamoji kompleksinio pralaidumo dalis turi viršyti realiąją. Formulė (3.66) taip pat rodo priklausomybę 
Taip, dažnumu f
= 1 MHz = 10 6 Hz sausas gruntas turi parametrus =4, =0,01 
Tikrajai terpei rašome kompleksinį laidumą
nes mūsų atveju 
kur - savitasis laidumas, - ciklinis dažnis.
Žinoma, kad sklidimo konstanta nustatoma pagal Helmholtzo lygtis
Taigi gauname sklidimo konstantos formulę
Yra žinoma, kad
Atsižvelgiant į tapatybę (3.49), formulę (3.50) galima parašyti kaip
Sklidimo konstanta išreiškiama kaip
Palyginus tikrosią ir menamąją dalis formulėse (3.71), (3.72) gaunama fazės konstantos ir slopinimo konstantos reikšmių lygybė, t.y.
Iš (3.73) formulės rašome bangos ilgį, kurį laukas įgyja sklindantis gerai laidžioje terpėje
kur 
Iš gautos formulės (3.74) matyti, kad metale sklindančios elektromagnetinės bangos ilgis gerokai sumažėja, lyginant su bangos ilgiu erdvėje.
Aukščiau buvo pasakyta, kad bangos amplitudė sklindant terpėje su nuostoliais mažėja pagal įstatymą 
Paviršiaus sluoksnio gylis - tai atstumas d, kuriam esant paviršiaus bangos amplitudė sumažėja e koeficientu, palyginti su jos pradiniu lygiu.
kur 
Paviršinio sluoksnio gylį galima nustatyti ir pagal formulę
čia – ciklinis dažnis, a – absoliutus terpės magnetinis laidumas, – savitasis terpės laidumas.
Iš (3.76) formulės matyti, kad didėjant dažniui ir laidumui, paviršinio sluoksnio gylis mažėja.
Paimkime pavyzdį. Vario laidumas 
Plokštumos bangos atspindys ir lūžis sąsajoje tarp terpių
Kai erdvėje sklinda plokštuma elektromagnetinė banga, kuri yra sritis su skirtingomis parametrų reikšmėmis 
bangos atspindžio koeficientas
perdavimo koeficientas
bangos
Jei krintančios bangos Poynting vektorius yra statmenas sąsajai, tada
kur Z 1 ,Z 2 - būdinga varža atitinkamai terpei.
Būdingas pasipriešinimas nustatomas pagal formulę:
kur 
Esant įstrižai, bangos sklidimo kryptis sąsajos atžvilgiu nustatoma pagal kritimo kampą. Kritimo kampas yra kampas tarp normaliojo paviršiaus paviršiaus ir pluošto sklidimo krypties.
paplitimo plokštuma yra plokštuma, kurioje yra krintantis spindulys ir normalus, atkurtas iki kritimo taško.
Iš ribinių sąlygų matyti, kad kritimo kampai 
kur n 1 , n 2 yra atitinkamos terpės lūžio rodikliai.
Elektromagnetinėms bangoms būdinga poliarizacija. Yra elipsinė, apskrita ir tiesinė poliarizacija. Linijinėje poliarizacijoje išskiriama horizontalioji ir vertikalioji poliarizacija.
Horizontali poliarizacija
yra poliarizacija, kurioje vektorius 
Tegul plokštuma elektromagnetinė banga su horizontalia poliarizacija nukrenta ant sąsajos tarp dviejų terpių, kaip parodyta Fig. 3.7. Pažymimas krintančios bangos Poynting vektorius 
Atsispindėjusiai bangai atitinkami lauko vektoriai pateikiami indeksu „neg“, lūžusios – indeksu „pr“.
Esant horizontaliajai (statmenai) poliarizacijai, atspindžio ir perdavimo koeficientai randami taip (3.7 pav.).
Dviejų laikmenų sąsajoje tenkinamos ribinės sąlygos, t.y.
Mūsų atveju turime identifikuoti vektorių tangentines projekcijas, t.y. galima parašyti
Magnetinio lauko stiprumo linijos yra nukreiptos į krintančios, atsispindėjusios ir lūžusios bangos, statmenos kritimo plokštumai. Todėl reikėtų rašyti
Remdamiesi tuo, galime sudaryti sistemą, pagrįstą ribinėmis sąlygomis
Taip pat žinoma, kad elektrinio ir magnetinio lauko stiprumai yra tarpusavyje susiję per terpės Z bangos varžą.
Tada antrąją sistemos lygtį galima parašyti kaip
Taigi, lygčių sistema įgavo formą
Abi šios sistemos lygtis padalinkime iš krintančios bangos amplitudės 
Sistema turi du sprendimus ir du nežinomus dalykus. Žinoma, kad tokia sistema yra sprendžiama.
Vertikali poliarizacija
yra poliarizacija, kurioje vektorius 
Esant vertikaliai (lygiagrečiai) poliarizacijai, atspindžio ir perdavimo koeficientai išreiškiami taip (3.8 pav.).
Vertikaliai poliarizacijai rašoma panaši lygčių sistema kaip ir horizontaliajai poliarizacijai, tačiau atsižvelgiant į elektromagnetinio lauko vektorių kryptį
Tokią lygčių sistemą galima panašiai redukuoti į formą
Sistemos sprendimas – atspindžio ir perdavimo koeficientų išraiškos
Kai plokštumos elektromagnetinės bangos su lygiagrečia poliarizacija patenka į sąsają tarp dviejų terpių, atspindžio koeficientas gali tapti nuliu. Kritimo kampas, kuriuo krintanti banga visiškai be atspindžio prasiskverbia iš vienos terpės į kitą, vadinamas Brewsterio kampu ir žymimas kaip 
Pabrėžiame, kad Brewsterio kampas, kai plokštuma elektromagnetinė banga patenka į nemagnetinį dielektriką, gali egzistuoti tik esant lygiagrečiai poliarizacijai.
Jei plokštumos elektromagnetinė banga patenka į sąsają tarp dviejų terpių su nuostoliais savavališku kampu, tada atspindėtos ir lūžusios bangos turėtų būti laikomos nehomogeniškomis, nes vienodų amplitudių plokštuma turi sutapti su sąsaja. Tikriesiems metalams kampas tarp fazės fronto ir vienodų amplitudių plokštumos yra mažas, todėl galime daryti prielaidą, kad lūžio kampas yra 0.
Apytikslės Schukino-Leontovičiaus ribinės sąlygos
Šios ribinės sąlygos taikomos, kai viena iš laikmenų yra geras laidininkas. Tarkime, kad plokštuminė elektromagnetinė banga krenta iš oro kampu į plokštuminę sąsają su gerai laidžia terpe, kuri apibūdinama kompleksiniu lūžio rodikliu.
Iš gerai laidžios terpės sąvokos apibrėžimo išplaukia, kad 
Naudojant Leontovičiaus ribines sąlygas, būtina žinoti magnetinio vektoriaus liestinės komponentą 
Elektromagnetinių bangų spinduliavimas į laisvą erdvę
Išsiaiškinkime, kokios yra elektromagnetinės energijos išskyrimo į laisvą erdvę sąlygos. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite taškinį monochromatinį elektromagnetinių bangų skleidėją, kuris yra sferinės koordinačių sistemos pradžioje. Kaip žinoma, sferinė koordinačių sistema pateikiama pagal (r, Θ, φ), kur r yra spindulio vektorius, nubrėžtas nuo sistemos pradžios iki stebėjimo taško; Θ – dienovidinio kampas, išmatuotas nuo Z ašies (zenito) iki spindulio vektoriaus, nubrėžto iki taško M; φ yra azimutinis kampas, išmatuotas nuo X ašies iki spindulio vektoriaus projekcijos, nubrėžtos nuo pradžios iki taško M′ (M′ yra taško M projekcija į XOY plokštumą). (3.9 pav.).
Taškinis emiteris yra vienalytėje terpėje su parametrais
Taškinis emiteris skleidžia elektromagnetines bangas visomis kryptimis, o bet kuri elektromagnetinio lauko sudedamoji dalis paklūsta Helmholtzo lygčiai, išskyrus tašką r=0 . Galima įvesti sudėtingą skaliarinę funkciją Ψ, kuri suprantama kaip bet koks savavališkai paimtas lauko komponentas. Tada funkcijos Ψ Helmholtzo lygtis yra tokia:
kur 
Tarkime, kad funkcija Ψ turi sferinę simetriją, tada Helmholtzo lygtį galima parašyti taip:
Lygtį (3.89) taip pat galima parašyti taip:
(3.89) ir (3.90) lygtys yra identiškos viena kitai. Lygtis (3.90) fizikoje žinoma kaip virpesių lygtis. Tokia lygtis turi du sprendinius, kurie, jei amplitudės lygios, turi tokią formą:
Kaip matyti iš (3.91), (3.92), lygties sprendimas skiriasi tik ženklais. Be to, 
Nagrinėjamas pavyzdys yra gana paprastas. Tačiau kai energiją spinduliuoja šaltinių sistema, labai sunku pasirinkti tinkamą sprendimą. Todėl reikalinga analitinė išraiška, kuri yra tinkamo sprendimo pasirinkimo kriterijus. Mums reikalingas bendras analitinės formos kriterijus, leidžiantis pasirinkti nedviprasmišką fiziškai nulemtą sprendimą.
Kitaip tariant, mums reikia kriterijaus, kuris atskirtų funkciją, kuri išreiškia sklindančią bangą nuo šaltinio iki begalybės, nuo funkcijos, apibūdinančios bangą, ateinančią iš begalybės į spinduliuotės šaltinį.
Šią problemą išsprendė A. Sommerfeldas. Jis parodė, kad keliaujančiai bangai, aprašytai funkcija 
Ši formulė vadinama radiacijos būklė arba Sommerfeldo būklė .
Apsvarstykite elementarų elektrinį emiterį dipolio pavidalu. Elektrinis dipolis yra trumpas vielos gabalas l palyginti su ilga banga ( l<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия l<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток
Nesunku parodyti, kad elektrinio lauko pokytis vielą supančioje erdvėje turi banginį pobūdį. Aiškumo dėlei panagrinėkime itin supaprastintą laido skleidžiamo elektromagnetinio lauko elektrinio komponento susidarymo ir kitimo proceso modelį. Ant pav. 3.11 parodytas elektromagnetinės bangos elektrinio lauko spinduliavimo proceso modelis, lygus vienam periodui
Kaip žinote, elektros srovė atsiranda dėl elektros krūvių judėjimo, būtent
Ateityje atsižvelgsime tik į teigiamų ir neigiamų laido krūvių padėties pasikeitimą. Elektrinio lauko stiprumo linija prasideda nuo teigiamo krūvio ir baigiasi neigiamu. Ant pav. 3.11 jėgos linija pavaizduota punktyrine linija. Verta prisiminti, kad elektrinis laukas sukuriamas visoje laidininką supančioje erdvėje, nors pav. 3.11 rodo vieną jėgos liniją.
Kad kintamoji srovė tekėtų per laidininką, reikalingas kintamasis EML šaltinis. Toks šaltinis yra laido viduryje. Elektrinio lauko emisijos proceso būsena rodoma skaičiais nuo 1 iki 13. Kiekvienas skaičius atitinka tam tikrą laiko momentą, susijusį su proceso būsena. Momentas t=1 atitinka proceso pradžią, t.y. EMF = 0. Momentu t=2 atsiranda kintamasis EMF, kuris sukelia krūvių judėjimą, kaip parodyta pav. 3.11. Kai laidoje atsiranda judantys krūviai, erdvėje atsiranda elektrinis laukas. laikui bėgant (t = 3÷5) krūviai juda link laidininko galų ir jėgos linija apima vis didesnę erdvės dalį. jėgos linija plečiasi šviesos greičiu statmena vielai kryptimi. Tuo metu, kai t = 6 - 8, EML, peržengęs didžiausią vertę, mažėja. Įkrovimai juda link laido vidurio.
Tuo metu, kai t = 9, EML pasikeitimo pusės ciklas baigiasi, jis sumažėja iki nulio. Tokiu atveju mokesčiai susilieja, kompensuoja vienas kitą. elektrinio lauko šiuo atveju nėra. Spinduliuojamo elektrinio lauko jėgos linija užsidaro ir toliau tolsta nuo laido.
Tada ateina antrasis EML kitimo pusciklas, procesai kartojami atsižvelgiant į poliškumo pasikeitimą. Ant pav. 3.11 momentais t = 10÷13 rodo proceso vaizdą atsižvelgiant į elektrinio lauko jėgos liniją.
Išnagrinėjome sūkurinio elektrinio lauko uždarų jėgos linijų susidarymo procesą. Tačiau verta prisiminti, kad elektromagnetinių bangų spinduliavimas yra vienas procesas. Elektrinis ir magnetinis laukai yra neatsiejami tarpusavyje susiję elektromagnetinio lauko komponentai.
Spinduliavimo procesas, parodytas fig. 3.11 yra panašus į elektromagnetinio lauko spinduliavimą simetriniu elektriniu vibratoriumi ir yra plačiai naudojamas radijo ryšio technologijose. Reikia atsiminti, kad elektrinio lauko stiprumo vektoriaus virpesių plokštuma 
Elektromagnetinės bangos sklinda dėl kintamo proceso. Todėl į krūvio formulę galite įdėti konstantą C \u003d 0. Dėl kompleksinės mokesčio vertės gali būti parašyta.
Analogiškai su elektrostatika galime pristatyti elektrinio dipolio su kintamąja srove momento sąvoką.
Iš (3.95) formulės matyti, kad elektros dipolio ir nukreipto laido atkarpos momento vektoriai 
Reikėtų pažymėti, kad tikros antenos turi laidų ilgį, kuris paprastai yra panašus į bangos ilgį. Norint nustatyti tokių antenų spinduliavimo charakteristikas, laidas paprastai mintyse padalijamas į atskiras mažas dalis, kurių kiekviena laikoma elementariu elektriniu dipoliu. gautas antenos laukas randamas sumuojant atskirų dipolių generuojamus spinduliuojamus vektorinius laukus.
Funkcija (78.1) turi būti periodinė ir laiko t, ir x, y ir z koordinačių atžvilgiu. Periodiškumas t išplaukia iš to, kad jis apibūdina taško, kurio koordinatės x, y, z, svyravimus. Periodiškumas koordinatėse išplaukia iš to, kad taškai, atskirti vienas nuo kito atstumu, svyruoja vienodai.
Raskime funkcijos formą plokštumos bangos atveju, darydami prielaidą, kad svyravimai yra harmoningi. Kad būtų paprasčiau, nukreipkime koordinačių ašis taip, kad x ašis sutaptų su bangos sklidimo kryptimi. Tada bangos paviršiai bus statmeni x ašiai ir, kadangi visi bangos paviršiaus taškai svyruoja vienodai, poslinkis priklausys tik nuo x ir t:
Tegul taškų, esančių x=0 plokštumoje, svyravimai (195 pav.) turi formą
Raskime dalelių virpesių tipą plokštumoje, atitinkančią savavališką x reikšmę. Norint pereiti iš x=0 plokštumos į šią plokštumą, bangai reikia laiko
Kur yra bangos sklidimo greitis. Vadinasi, dalelių, esančių x plokštumoje, virpesiai laike atsiliks nuo dalelių svyravimų x=0 plokštumoje, t.y. atrodys
Taigi, plokštumos bangos lygtis bus parašyta taip;
Išraiška (78.3) pateikia ryšį tarp laiko (t) ir vietos (x), kurioje šiuo metu atliekama fiksuota fazės reikšmė. Nustačius iš to gaunamą dx /dt reikšmę, rasime greitį, kuriuo juda duota fazės reikšmė. Diferencijuojant išraišką (78.3), gauname:
Iš tiesų, bangos fazę (78.5) prilyginus konstantai ir diferencijuodama, gauname:
iš kur seka, kad banga (78.5) sklinda x mažėjimo kryptimi.
Plokštumos bangos lygtis gali būti simetriška t ir x atžvilgiu. Norėdami tai padaryti, įvedame vadinamąjį bangos skaičių k;
Lygtyje (78.2) pakeitę jos reikšmę (78.7) ir įdėję į skliaustus , gauname plokštumos bangos lygtį formoje
|
|
(78 .8) |
Bangos, sklindančios x mažėjimo kryptimi, lygtis skirsis nuo (78.8) tik ženklu ties terminu kx.
Dabar suraskime sferinės bangos lygtį. Bet koks tikras bangų šaltinis turi tam tikrą mastą. Tačiau jei apsiribosime bangos atstumais nuo šaltinio, kuris yra daug didesnis už jos dydį, tada šaltinis gali būti laikomas taškiniu šaltiniu.
Tuo atveju, kai bangos sklidimo greitis visomis kryptimis yra vienodas, taškinio šaltinio generuojama banga bus sferinė. Tarkime, kad šaltinio virpesių fazė yra . Tada taškai, esantys spindulio r bangos paviršiuje, svyruos su faze (bangai reikia laiko nukeliauti keliu r). Virpesių amplitudė šiuo atveju, net jei bangos energijos nesugeria terpė, nelieka pastovi – ji mažėja tolstant nuo šaltinio pagal dėsnį 1/r (žr. §82). Todėl sferinės bangos lygtis turi formą
|
|
(78 .9) |
kur a yra pastovi reikšmė, skaitine prasme lygi amplitudei atstumu nuo šaltinio, lygiu vienetui. Matmenys a yra lygus amplitudės matmeniui, padaugintam iš ilgio matmens (matmens r).
Prisiminkite, kad, remiantis pradžioje padarytomis prielaidomis, (78.9) lygtis galioja tik tada, kai šaltinio matmenys yra daug didesni. Kadangi r linkęs į nulį, amplitudės išraiška eina iki begalybės. Šis absurdiškas rezultatas paaiškinamas lygties nepritaikymu mažajam r.
Turime omenyje taško pusiausvyros padėties koordinates.