A determináns kiterjesztésének módja. A determináns számítása. A determináns háromszög formába hozása

További tulajdonságok kapcsolódnak a moll és az algebrai komplement fogalmához

Kisebb elemet determinánsnak nevezzük, amely a sor és az oszlop törlése után megmaradó elemekből áll, amelyek metszéspontjában ez az elem található. A minor sorrendet meghatározó elemnek sorrendje van. -vel fogjuk jelölni.

1. példa Hadd , akkor .

Ezt a minort az A-ból kapjuk a második sor és a harmadik oszlop törlésével.

Algebrai összeadás elemet a megfelelő mollnak nevezzük szorozva -val, azaz. , ahol annak a sornak és -oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában az adott elem található.

VIII.(A determináns lebontása valamely karakterlánc elemei felett). A determináns megegyezik valamely sor elemei és a hozzájuk tartozó algebrai összeadások szorzatának összegével.

2. példa Hadd , akkor

3. példa Keressük meg a mátrix determinánst , kibővítve az első sor elemeivel.

Formálisan ez a tétel és a determinánsok egyéb tulajdonságai eddig csak a harmadrendűnél nem magasabb mátrixok determinánsaira alkalmazhatók, mivel más determinánsokat nem vettünk figyelembe. A következő definíció kiterjeszti ezeket a tulajdonságokat bármilyen sorrendű determinánsokra.

A mátrix meghatározója rendelés A dekompozíciós tétel és a determinánsok egyéb tulajdonságainak egymás utáni alkalmazásával számított számnak nevezzük.

Ellenőrizheti, hogy a számítás eredménye nem függ attól, hogy a fenti tulajdonságokat milyen sorrendben alkalmazza, és mely sorokhoz és oszlopokhoz. A determináns ezzel a definícióval egyedileg meghatározható.

Bár ez a definíció nem tartalmaz explicit formulát a determináns megtalálásához, lehetővé teszi, hogy megtalálja azt az alacsonyabb rendű mátrixok determinánsaira való redukálással. Az ilyen definíciókat ún visszatérő.

4. példa Számítsa ki a determinánst:

Bár a dekompozíciós tétel egy adott mátrix bármely sorára vagy oszlopára alkalmazható, kevesebb a számítás, ha a lehető legtöbb nullát tartalmazó oszlopra bontunk.

Mivel a mátrixnak nincs nulla eleme, a tulajdonság segítségével kapjuk meg őket VII. Az első sort egymás után szorozzuk meg számokkal és add hozzá a karakterláncokhoz, és kapd meg:

Kibontjuk a kapott determinánst az első oszlopban, és megkapjuk:

mivel a determináns két arányos oszlopot tartalmaz.

Néhány mátrixtípus és meghatározójaik

Olyan négyzetmátrixot hívunk, amelyben nulla elemek a főátló () alatt vagy fölött vannak háromszög alakú.

A sematikus felépítésük ennek megfelelően így néz ki: vagy

.

Emlékezzünk vissza Laplace tételére:
Laplace tétele:

Legyen k sor (vagy k oszlop) tetszőlegesen kiválasztva az n, sorrendű d determinánsban. Ekkor a kiválasztott sorokban található összes k-edrendű minor és algebrai komplementereinek szorzata egyenlő a d determinánssal.

A determinánsok általános esetben történő kiszámításához k egyenlő 1-gyel. az n rendű d determinánsban egy sor (vagy oszlop) tetszőlegesen kerül kiválasztásra. Ekkor a kiválasztott sorban (vagy oszlopban) szereplő összes elem és algebrai komplementereinek szorzata egyenlő a d determinánssal.

Példa:
Számítsd ki a determinánst

Megoldás:

Válasszunk egy tetszőleges sort vagy oszlopot. Valamivel később nyilvánvaló okból a választásunkat a harmadik sorra vagy a negyedik oszlopra korlátozzuk. És állj meg a harmadik sornál.

Használjuk a Laplace-tételt.

A kiválasztott sor első eleme 10, a harmadik sorban és az első oszlopban van. Számítsuk ki az algebrai komplementerét, azaz! keresse meg a determinánst, amelyet az oszlop és a sor törlésével kapott, amelyen ez az elem áll (10), és találja meg az előjelet.

"plusz, ha az összes olyan sor és oszlop számának összege, amelyben a kisebb M található, páros, és mínusz, ha ez az összeg páratlan."
És vettük az egyetlen elemből álló moll 10-et, amely a harmadik sor első oszlopában található.

Így:


Ennek az összegnek a negyedik tagja a 0, ezért érdemes olyan sorokat vagy oszlopokat választani, amelyekben a legtöbb nulla elemszámú.

Válasz: -1228

Példa:
Számítsa ki a determinánst:

Megoldás:
Válasszuk az első oszlopot, mert benne két elem egyenlő 0-val. Bontsuk ki az első oszlopban lévő determinánst.


A harmadrendű determinánsok mindegyikét kiterjesztjük az első és a második sor szempontjából


Az első oszlopban kibontjuk az egyes másodrendű determinánsokat


Válasz: 48
Megjegyzés: ennek a feladatnak a megoldása során nem használtak a 2. és 3. rend determinánsainak kiszámítására szolgáló képleteket. Csak a sor vagy oszlop szerinti bővítést használta. Ami a determinánsok sorrendjének csökkenéséhez vezet.

Gyakorlat. Számítsa ki a determinánst úgy, hogy kibontja valamelyik sor vagy oszlop elemeire.

Megoldás. Először végezzünk elemi transzformációt a determináns sorain úgy, hogy a lehető legtöbb nullát készítsünk akár egy sorban, akár egy oszlopban. Ehhez először az első sorból kilencharmadot, a másodikból ötharmadot és a negyedikből háromharmadot vonunk le, így kapjuk:

A kapott determinánst az első oszlop elemeivel bővítjük:

A kapott harmadrendű determinánst a sor és az oszlop elemei is kibővítik, miután korábban például az első oszlopban nullákat kaptunk. Ehhez az első sorból kivonunk két második sort, a harmadikból pedig a másodikat:

Válasz.

12. Slough 3 rendelés

1. A háromszög szabálya

Sematikusan ez a szabály a következőképpen ábrázolható:

Az első determinánsban lévő olyan elemek szorzatát, amelyeket vonalak kötnek össze, pluszjellel vesszük; hasonlóképpen a második determinánsnál a megfelelő szorzatokat mínuszjellel vesszük, azaz.

2. Sarrus-szabály

A determinánstól jobbra hozzáadjuk az első két oszlopot, és a főátlón és a vele párhuzamos átlókon lévő elemek szorzatait pluszjellel vesszük; valamint a másodlagos átló és a vele párhuzamos átlók elemeinek szorzata mínusz előjellel:

3. A determináns kiterjesztése sorban vagy oszlopban

A determináns egyenlő a determináns sorának elemeinek és algebrai komplementereik szorzatának összegével. Általában azt a sort/oszlopot kell kiválasztani, amelyben/-edikben nullák vannak. Nyíl jelzi azt a sort vagy oszlopot, amelyen a bontás történik.

Gyakorlat. Az első sort kibontva számítsa ki a determinánst

Megoldás.

Válasz.

4. A determináns háromszög formába hozása

Sorok vagy oszlopok feletti elemi transzformációk segítségével a determinánst háromszög alakúra redukáljuk, majd értéke a determináns tulajdonságai szerint megegyezik a főátlón lévő elemek szorzatával.

Példa

Gyakorlat. Számítsd ki a determinánst háromszög alakúra hozva.

Megoldás. Először is nullákat készítünk az első oszlopban a főátló alatt. Minden transzformációt könnyebb végrehajtani, ha az elem egyenlő 1-gyel. Ehhez felcseréljük a determináns első és második oszlopát, ami a determináns tulajdonságainak megfelelően előjelet vált az ellenkezőjére. :

A negyedik és magasabb rendű determinánsok meghatározásához általában más számítási módszereket alkalmaznak, mint a másod- és harmadrendű determinánsok kiszámításához használt kész képletek alkalmazása. A magasabb rendű determinánsok kiszámításának egyik módszere a Laplace-tétel következményének felhasználása (maga a tétel például megtalálható A. G. Kurosh "Course of Higher Algebra" című könyvében). Ez a következmény lehetővé teszi, hogy a determinánst kiterjesszük valamely sor vagy oszlop elemeire. Ebben az esetben az n-edik rendű determináns számítása leredukálódik n (n-1)-edrendű determináns kiszámítására. Ezért nevezzük az ilyen transzformációt a determináns sorrendjének csökkentésének. Például egy negyedrendű determináns kiszámítása négy harmadrendű determináns megtalálására redukálódik.

Tegyük fel, hogy kapunk egy n-edrendű négyzetmátrixot, azaz. $A=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end(array) \right)$. Ennek a mátrixnak a determinánsát úgy számíthatja ki, hogy soronként vagy oszloponként bővíti.

Javítsunk ki néhány karakterláncot, amelynek a száma $i$. Ekkor a $A_(n\x n)$ mátrix determinánsa kibővíthető a kiválasztott i-edik sorban a következő képlettel:

\begin(egyenlet) \Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(egyenlet)

Az $A_(ij)$ az $a_(ij)$ elem algebrai komplementerét jelöli. Mert részletes információk Erről a fogalomról javaslom, hogy nézd meg az Algebrai összeadások és mollok témakört. Az $a_(ij)$ jelölés a mátrix azon elemét vagy determinánsát jelöli, amely a j-edik oszlop i-edik sorának metszéspontjában található. További információkért tekintse meg a Mátrix témakört. A mátrixok típusai. Alapfogalmak.

Tegyük fel, hogy meg akarjuk találni a $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ összeget. Milyen kifejezés jellemezheti a $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ rekordot? Mondhatjuk így: ez egy négyzet, kettő négyzet, három négyzet, négy négyzet és öt négyzet összege. És mondhatod rövidebben is: ez az 1-től 5-ig terjedő egészek négyzeteinek összege. Az összeg rövidebb kifejezéséhez a $\sum$ betűt használjuk (ezt görög levél"szigma").

A $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ helyett ezt a jelölést használhatjuk: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$. A $i$ betűt hívják összegzési index, és az 1-es (kezdeti érték $i$) és az 5-ös (végső érték $i$) számokat hívják alsó és felső összegzési határok illetőleg.

Fejtsük meg részletesen a $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$ bejegyzést. Ha $i=1$, akkor $i^2=1^2$, tehát ennek az összegnek az első tagja a $1^2$ szám:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+\ldots $$

Az egy után következő egész szám kettő, így $i=2$ behelyettesítésével a következőt kapjuk: $i^2=2^2$. Az összeg most a következő lesz:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+\ldots $$

Kettő után a következő szám három, így $i=3$ behelyettesítésével a következőt kapjuk: $i^2=3^2$. Az összeg pedig így fog kinézni:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots $$

Csak két számot kell helyettesíteni: 4-et és 5-öt. Ha behelyettesítjük $i=4$, akkor $i^2=4^2$, ha pedig $i=5$, akkor $i^2=5^ 2$. A $i$ értékei elérték a felső összegzési határt, így az 5^2$ lesz az utolsó tag. Tehát a végső összeg most:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2. $$

Ez az összeg a számok egyszerű összeadásával is kiszámítható: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2=55$.

Gyakorlás céljából próbálja meg felírni és kiszámolni a következő összeget: $\sum\limits_(k=3)^(8)(5k+2)$. Az összegzési index itt a $k$ betű, az alsó összegzési határ 3, a felső összegzési határ 8.

$$ \sum\limits_(k=3)^(8)(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177. $$

Az (1) képlet analógja is létezik az oszlopokra. A j-edik oszlopban lévő determináns kiterjesztésének képlete a következő:

\begin(egyenlet) \Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(egyenlet)

Az (1) és (2) képletekkel kifejezett szabályok a következőképpen fogalmazhatók meg: a determináns egy bizonyos sor vagy oszlop elemeinek és ezen elemek algebrai komplementereinek szorzatának összegével egyenlő. Az érthetőség kedvéért vegyük figyelembe a negyedrendű determinánst, általános formában írva. Például bővítsük ki a negyedik oszlop elemeivel (ennek az oszlopnak az elemei zölddel vannak kiemelve):

$$\Delta=\left| \begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) & \normgreen(a_(14)) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) & \normgreen (a_(24)) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) & \normgreen(a_(34)) \\ a_(41) & a_(42) & a_(43) & \normgreen (a_(44)) \\ \end(array) \right|$$ $$ \Delta =\normgreen(a_(14))\cdot(A_(14))+\normgreen(a_(24))\cdot (A_(24))+\normgreen(a_(34))\cdot(A_(34))+\normgreen(a_(44))\cdot(A_(44)) $$

Hasonlóképpen, például a harmadik sorban bővítve a következő képletet kapjuk a determináns kiszámításához:

$$ \Delta =a_(31)\cdot(A_(31))+a_(32)\cdot(A_(32))+a_(33)\cdot(A_(33))+a_(34)\cdot (A_(34)) $$

1. példa

A $A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(array) \right)$ mátrix determinánsának kiszámítása a bővítéssel az első sorban és a második oszlopban.

Ki kell számítanunk a $\Delta A=\left| harmadrendű determinánst \begin(tömb) (cc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(tömb) \right|$. Az első sor mentén történő kibontásához a képletet kell használnia. Ezt a bővítést általános formában írjuk:

$$ \Delta A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13). $$

A mi mátrixunknál $a_(11)=5$, $a_(12)=-4$, $a_(13)=3$. A $A_(11)$, $A_(12)$, $A_(13)$ algebrai összeadások kiszámításához a témakör 1. képletét használjuk. Tehát a kívánt algebrai összeadások a következők:

\begin(igazított) & A_(11)=(-1)^2\cdot \left| \begin(tömb) (cc) 2 & -1 \\ 0 & 4 \end(tömb) \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\ & A_(12)=( -1)^3\cdot \left| \begin(array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\ & A_( 13)=(-1)^4\cdot \left| \begin(array) (cc) 7 & 2 \\ 9 & 0 \end(array) \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \end(igazított)

Hogyan találtunk algebrai összeadásokat? mutat elrejt

Az összes talált értéket behelyettesítve a fenti képletbe, a következőt kapjuk:

$$ \Delta A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)=5\cdot(8)+(-4) \cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$

Amint láthatja, a harmadrendű determináns megtalálásának folyamatát három másodrendű determináns értékének kiszámítására redukáltuk. Más szóval, csökkentettük az eredeti determináns sorrendjét.

Általában ilyen egyszerű esetekben nem írják le részletesen a megoldást, külön-külön találnak algebrai összeadásokat, és csak ezután cserélik be a determináns számítási képletébe. Leggyakrabban egyszerűen tovább írják az általános képletet, amíg választ nem kapnak. Így bontjuk fel a determinánst a második oszlopban.

Tehát folytassuk a determináns kiterjesztését a második oszlopban. Segédszámítást nem végzünk, egyszerűen folytatjuk a képletet, amíg választ nem kapunk. Figyeljük meg, hogy a második oszlopban az egyik elem nulla, azaz. $a_(32)=0$. Ez azt jelenti, hogy a $a_(32)\cdot A_(32)=0\cdot A_(23)=0$ kifejezés. A második oszlop kibővítésének képletével a következőket kapjuk:

$$ \Delta A= a_(12)\cdot A_(12)+a_(22)\cdot A_(22)+a_(32)\cdot A_(32)=-4\cdot (-1)\cdot \ bal| \begin(array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(array) \right|+2\cdot \left| \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$

Válasz érkezett. Természetesen a második oszlopban a bővítés eredménye egybeesett az első sor bővítésének eredményével, mert ugyanazt a determinánst bontjuk le. Vegye figyelembe, hogy a második oszlop bővítésekor kevesebb számítást végeztünk, mivel a második oszlop egyik eleme nulla volt. Ilyen bontási szempontok alapján próbálják kiválasztani azt az oszlopot vagy sort, amelyik több nullát tartalmaz.

Válasz: $\Delta A=134$.

2. példa

A $A=\left(\begin(array) (cccc) mátrix determináns kiszámítása -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$ a kijelölt sor vagy oszlop kibontásával.

A dekompozícióhoz a legelőnyösebb a legtöbb nullát tartalmazó sort vagy oszlopot választani. Természetesen ebben az esetben van értelme a harmadik sorral bontani, mivel két elemet tartalmaz, nulla. A képlet segítségével a harmadik sorba írjuk a determináns kiterjesztését:

$$ \Delta A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34). $$

Mivel $a_(31)=-5$, $a_(32)=0$, $a_(33)=-4$, $a_(34)=0$, a fent leírt képlet a következő:

$$ \Delta A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33). $$

Térjünk rá a $A_(31)$ és $A_(33)$ algebrai komplementerekre. Kiszámításukhoz a másod- és harmadrendű determinánsokról szóló témakör 2. képletét használjuk (ugyanabban a részben van részletes példákat e képlet alkalmazása).

\begin(igazított) & A_(31)=(-1)^4\cdot \left| \begin(tömb) (cc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(tömb) \right|=10;\\ & A_(33)=( -1)^6\cdot \left| \begin(tömb) (cc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(tömb) \right|=-34. \end(igazított)

A kapott adatokat a determináns képletébe behelyettesítve a következőket kapjuk:

$$ \Delta A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33)=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$

Elvileg a teljes megoldás egy sorba írható. Ha kihagy minden magyarázatot és közbenső számítást, akkor a megoldás a következőképpen lesz megírva:

$$ \Delta A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34)= \\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \left| \begin(tömb) (cc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(tömb) \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \left| \begin(tömb) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(tömb) \right|=-5\cdot 10-4\cdot ( -34)=86. $$

Válasz: $\Delta A=86$.

Meghatározás1. 7. Kisebb a determináns eleme az adottból a kiválasztott elemet tartalmazó sor és oszlop törlésével kapott determináns.

Jelölés: a determináns kiválasztott eleme, mollja.

Példa. Mert

Meghatározás1. nyolc. Algebrai összeadás a determináns elemét mollnak nevezzük, ha az adott i + j elem indexeinek összege páros szám, vagy a moll ellentétének, ha i + j páratlan, azaz.

Fontolja meg a harmadrendű determinánsok kiszámításának egy másik módját - az úgynevezett sor- vagy oszlopbővítést. Ehhez bebizonyítjuk a következő tételt:

1.1. tétel. A determináns egyenlő bármely sora vagy oszlopa elemeinek és algebrai komplementereinek szorzatának összegével, azaz.

ahol i=1,2,3.

Bizonyíték.

A tételt a determináns első sorára igazoljuk, mivel bármely másik sorra vagy oszlopra hasonló érvelést hajthatunk végre, és ugyanazt az eredményt kapjuk.

Keressünk algebrai összeadásokat az első sor elemeihez:

Így a determináns kiszámításához elég megkeresni bármely sor vagy oszlop elemeinek algebrai komplementereit, és kiszámítani a szorzataik összegét a determináns megfelelő elemeivel.

Példa. Számítsuk ki a determinánst az első oszlopban található bővítéssel. Vegye figyelembe, hogy ebben az esetben nem szükséges keresni, mivel ebből következően találunk és Következésképpen,

Magasabb rendű meghatározók.

Meghatározás1. 9. n-edrendű determináns

n összege! tagjai amelyek mindegyike megfelel az n egyikének! az 1,2,…,n halmaz elemeinek r páronkénti permutációjával kapott rendezett halmazok.

Megjegyzés 1. A 3. rendű determinánsok tulajdonságai érvényesek az n-edrendű determinánsokra is.

2. megjegyzés. A gyakorlatban a magasrendű determinánsokat sor- vagy oszlopbővítéssel számítják ki. Ez lehetővé teszi a számított determinánsok sorrendjének csökkentését és végső soron a probléma 3. rendű determinánsok megtalálására való redukálását.

Példa. Számítsa ki a 4. rendű determinánst! a 2. oszlopban található bővítés segítségével. Ehhez a következőket találjuk:

Következésképpen,

Laplace-tétel- a lineáris algebra egyik tétele. Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) francia matematikusról nevezték el, akinek nevéhez fűződik e tétel 1772-es megfogalmazása, bár különleges eset Ezt a tételt a determináns sorba (oszlopba) történő kiterjesztésére vonatkozóan Leibniz már ismerte.

teljesség a minor meghatározása a következő:

A következő állítás igaz.

A Laplace-tételben az összeget felvett kiskorúak száma megegyezik az oszlopok kiválasztásának lehetőségeivel, vagyis a binomiális együtthatóval.

Mivel a mátrix sorai és oszlopai a determináns tulajdonságait tekintve egyenértékűek, a Laplace-tétel a mátrix oszlopaira is megfogalmazható.

A determináns soros (oszlopos) dekompozíciója (1. következmény)

A Laplace-tétel egy speciális esete széles körben ismert - a determináns kiterjesztése egy sorban vagy oszlopban. Lehetővé teszi, hogy egy négyzetmátrix determinánsát bármely sora vagy oszlopa elemeinek és algebrai komplementereinek szorzataként ábrázoljuk.

Legyen egy méretű négyzetmátrix. Legyen megadva a mátrix valamely sor- vagy oszlopszáma is. Ekkor a determináns a következő képletekkel számítható ki.