Négydimenziós kocka. Tesseract és n-dimenziós kockák általában 4 dimenziós kocka
Tesseract - egy négydimenziós hiperkocka - egy kocka négydimenziós térben.
Az Oxford Dictionary szerint a tesseract szót Charles Howard Hinton (1853-1907) találta ki és használta 1888-ban könyvében. új kor gondolatok". Később egyesek ugyanezt az alakot tetrakockának (görögül τετρα - négy) - négydimenziós kockának nevezték.
Az euklideszi négydimenziós tér közönséges tesseraktumát a pontok (±1, ±1, ±1, ±1) konvex testeként határozzuk meg. Más szavakkal, a következő halmazként ábrázolható:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Egy tesseraktumot nyolc hipersík határol x_i= +- 1, i=1,2,3,4, amelyek metszéspontja a A tesserakt maga határozza meg a 3D-s lapokat (amelyek szabályos kockák). A nem párhuzamos 3D-s lapok mindegyike metszi egymást, így 2D-s lapokat (négyzeteket) alkot stb. Végül egy tesseraktnak 8 3D-s lapja, 24 2D-je, 32 éle és 16 csúcsa van.
Népszerű leírás
Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni a hiperkocka anélkül, hogy elhagyná a háromdimenziós teret.
Egydimenziós "térben" - egy egyenesen - kiválasztunk egy L hosszúságú AB szakaszt. Egy kétdimenziós síkon AB-tól L távolságra rajzolunk vele párhuzamos DC szakaszt, és összekötjük a végeit. Kapsz egy négyzet alakú CDBA-t. Ezt a műveletet egy síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. Ha pedig a negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) eltoljuk a kockát L távolsággal, megkapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.
Az AB egydimenziós szegmens a kétdimenziós négyzet CDBA oldala, a négyzet a CDBAGHFE kocka oldala, ami viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, a négyzetnek négy, a kockának nyolc csúcsa van. Így egy négydimenziós hiperkockában 16 csúcs lesz: az eredeti kocka 8 csúcsa és a negyedik dimenzióban eltolt 8 csúcs. 32 éle van – 12 az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, további 8 él pedig nyolc olyan csúcsát „rajzolja”, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés elvégezhető a hiperkocka arcaira is. Kétdimenziós térben ez egy (maga a négyzet), a kockában 6 db van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy az oldalait írja le). Egy négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban és 12 négyzet a tizenkét éléből.
Mivel a négyzet oldalai 4 egydimenziós szegmens, a kocka oldalai (lapjai) pedig 6 kétdimenziós négyzet, így a „négydimenziós kocka” (tesseract) oldalai 8 háromdimenziós kocka. A tesserakt kocka ellentétes párjainak terei (vagyis azok a háromdimenziós terek, amelyekhez ezek a kockák tartoznak) párhuzamosak. Az ábrán ezek a kockák: CDBAGHFE és KLJIOPNM, CDBAKLJI és GHFEOPNM, EFBAMNJI és GHDCOPLK, CKIAGOME és DLJBHPNF.
Hasonló módon folytathatjuk a nagyobb dimenziójú hiperkockák okoskodását, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka. Használjuk erre az analógiák már ismert módszerét.
Vegyük az ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg félszemmel az arc felől. Két négyzetet fogunk látni és rajzolni a síkra (közeli és távoli lapjait), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös "doboz", amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a "dobozok" - háromdimenziós lapok - rávetülnek a "mi" terünkre, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Megpróbálhatod azt is, hogy egy kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzelj el.
Ahogy egy háromdimenziós kockát egy lap hosszával eltolt négyzet alkot, úgy a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amely a jövőben meglehetősen összetett figurának tűnik. Maga a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet „vágni”.
Egy háromdimenziós kocka hat lapjának kivágásával lapos figurává - hálóvá - bonthatja. Az eredeti lap mindkét oldalán lesz egy négyzet, plusz még egy - a vele szemben lévő arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós fejlesztése az eredeti kockából fog állni, hat kockából, amelyek abból „nőnek”, plusz egy másikból - a végső „hiperfelületből”.
A tesseract tulajdonságai a tulajdonságok kiterjesztései geometriai formák alsó dimenziót egy négydimenziós térbe.
Pontok (±1, ±1, ±1, ±1). Más szavakkal, a következő halmazként ábrázolható:
A tesseraktot nyolc hipersík határolja, amelyeknek a tesserakttal való metszéspontja határozza meg a háromdimenziós lapjait (amelyek közönséges kockák). A nem párhuzamos 3D-s lapok mindegyike 2D-s lapokat (négyzeteket) alkot, és így tovább. Végül egy tesseraktnak 8 3D lapja, 24 2D-je, 32 éle és 16 csúcsa van.
Népszerű leírás
Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni a hiperkocka anélkül, hogy elhagyná a háromdimenziós teret.
Egydimenziós "térben" - egy egyenesen - kiválasztunk egy L hosszúságú AB szakaszt. Egy kétdimenziós síkon AB-tól L távolságra rajzolunk vele párhuzamos DC szakaszt, és összekötjük a végeit. Kapsz egy négyzet alakú CDBA-t. Ezt a műveletet egy síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. Ha pedig a negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) eltoljuk a kockát L távolsággal, megkapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.
Tesszarakt építése repülőgépen
Az AB egydimenziós szegmens a kétdimenziós négyzet CDBA oldala, a négyzet a CDBAGHFE kocka oldala, ami viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, a négyzetnek négy, a kockának nyolc csúcsa van. Így egy négydimenziós hiperkockában 16 csúcs lesz: az eredeti kocka 8 csúcsa és a negyedik dimenzióban eltolt 8 csúcs. 32 éle van – 12 az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, további 8 él pedig nyolc olyan csúcsát „rajzolja”, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés elvégezhető a hiperkocka arcaira is. Kétdimenziós térben ez egy (maga a négyzet), a kockában 6 db van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy az oldalait írja le). Egy négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban, és 12 négyzet a tizenkét éléből.
Mivel a négyzet oldalai 4 egydimenziós szegmens, a kocka oldalai (lapjai) pedig 6 kétdimenziós négyzet, így a „négydimenziós kocka” (tesseract) oldalai 8 háromdimenziós kocka. A tesserakt kocka ellentétes párjainak terei (vagyis azok a háromdimenziós terek, amelyekhez ezek a kockák tartoznak) párhuzamosak. Az ábrán ezek a kockák: CDBAGHFE és KLJIOPNM, CDBAKLJI és GHFEOPNM, EFBAMNJI és GHDCOPLK, CKIAGOME és DLJBHPNF.
Hasonló módon folytathatjuk a nagyobb dimenziójú hiperkockák okoskodását, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka. Használjuk erre az analógiák már ismert módszerét.
Vegyük az ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg félszemmel az arc felől. Két négyzetet fogunk látni és rajzolni a síkra (közeli és távoli lapjait), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös "doboz", amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a "dobozok" - háromdimenziós lapok - rávetülnek a "mi" terünkre, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Megpróbálhatod azt is, hogy egy kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzelj el.
Ahogy egy háromdimenziós kockát egy lap hosszával eltolt négyzet alkot, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amely a jövőben meglehetősen összetett figurának tűnik. Maga a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet „vágni”.
Egy háromdimenziós kocka hat lapjának kivágásával lapos figurává bonthatja - egy fejlesztés. Az eredeti lap mindkét oldalán lesz egy négyzet, plusz még egy - a vele szemben lévő arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós fejlesztése az eredeti kockából fog állni, hat kockából, amelyek abból „nőnek”, plusz egy másikból - a végső „hiperfelületből”.
A tesserakt tulajdonságai a kisebb méretű geometriai alakzatok tulajdonságainak kiterjesztése egy négydimenziós térbe.
előrejelzések
kétdimenziós térbe
Ezt a struktúrát nehéz elképzelni, de lehetséges a tesseraktum kivetítése 2D vagy 3D terekbe. Ezenkívül a síkra vetítés megkönnyíti a hiperkocka csúcsainak elhelyezkedésének megértését. Ily módon lehetőség nyílik olyan képek beszerzésére, amelyek már nem tükrözik a térbeli kapcsolatokat a tesseraktokon belül, de a csúcskapcsolati struktúrát illusztrálják, mint az alábbi példákban:
A harmadik képen a tesszekrakt izometriában látható, az építési ponthoz viszonyítva. Ez a nézet akkor érdekes, ha a tesseract-ot használjuk egy topológiai hálózat alapjaként több processzor párhuzamos számításba vételéhez.
a háromdimenziós térbe
A tesserakt egyik vetülete a háromdimenziós térre két egymásba ágyazott háromdimenziós kocka, amelyek megfelelő csúcsait szegmensek kötik össze. A belső és külső kockák 3D térben eltérő méretűek, de 4D térben egyenlő kockák. A tesserakt összes kockája egyenlőségének megértéséhez létrehozták a tesserakt forgó modelljét.
|
|
- Hat csonka piramis a tesserakt élei mentén, egyenlő hat kocka képe. Azonban ezek a kockák olyanok a tesszelektumhoz, mint a négyzetek (lapok) a kockához. Valójában azonban egy tesszekrakt végtelen számú kockára osztható, mint ahogy egy kockát is fel lehet osztani végtelen számú négyzetre, vagy egy négyzetet végtelen számú szegmensre.
A tesserakt másik érdekes vetülete a háromdimenziós térre egy rombusz alakú dodekaéder, amelynek négy átlója megrajzolódik, és nagy rombuszok szögében kapcsolja össze a szemközti csúcspárokat. Ebben az esetben a tesserakt 16 csúcsából 14 a rombikus dodekaéder 14 csúcsába vetül, és a maradék 2 vetületei a középpontjában esnek egybe. A háromdimenziós térre való ilyen vetítésben az összes egydimenziós, kétdimenziós és háromdimenziós oldal egyenlősége és párhuzamossága megmarad.
sztereó pár
A tesserakt sztereopárját két vetületként ábrázolják a háromdimenziós térben. A tesserakt ezen ábrázolását úgy tervezték, hogy a mélységet negyedik dimenzióként jelenítse meg. A sztereópárt úgy nézzük, hogy mindkét szem csak egyet lát e képek közül, sztereoszkópikus kép keletkezik, amely reprodukálja a tesserakt mélységét.
Tesseact kibontakozó
A tesserakt felülete nyolc kockára bontható (hasonlóan ahhoz, ahogy egy kocka felülete hat négyzetre bontható). A tesseraktnak 261 különböző kibontása van. A tesszekrakt kibontakozása kiszámítható az összefüggő sarkok grafikonon való ábrázolásával.
Tesseract a művészetben
- Edwine A. Abbott New Plain című művében a hiperkocka a narrátor.
- A Jimmy Neutron kalandjai című film egyik epizódjában a "fiú zseni" Jimmy feltalál egy négydimenziós hiperkockát, amely megegyezik Robert Heinlein Glory Road (1963) című regényének összehajtható dobozával.
- Robert E. Heinlein legalább három tudományos-fantasztikus történetben említette a hiperkockákat. A The House of Four Dimensions (The House That Teel Built) című művében leírt egy házat, amely egy tesseraktum kibontakozásaként épült, majd egy földrengés következtében a negyedik dimenzióban "alakult" és "igazi" tesseraktmá vált.
- Heinlein Glory Road című regényében egy hiperdimenziós dobozt ír le, amely belül nagyobb volt, mint kívül.
- Henry Kuttner "All Borog's Tenals" című története egy oktatójátékot ír le a távoli jövőből származó gyermekek számára, felépítésében hasonló egy tesserakthoz.
- Alex Garland regényében ( ) a "tesseract" kifejezést egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós kibontására használják, nem pedig magát a hiperkockát. Ez egy metafora, amely azt hivatott megmutatni, hogy a megismerő rendszernek szélesebbnek kell lennie, mint a felismerhetőnek.
- A The Cube 2: Hypercube cselekményének középpontjában nyolc idegen áll, akik egy "hiperkockában" vagy összekapcsolt kockák hálózatában rekedtek.
- Az Andromeda című tévésorozat tesserakt generátorokat használ összeesküvés eszközként. Elsősorban a tér és az idő szabályozására szolgálnak.
- Salvador Dali (Keresztre feszítés) festménye (Corpus Hypercubus).
- A Nextwave képregény egy járművet ábrázol, amely 5 tesseract zónát tartalmaz.
- A Voivod Nothingface című albumon az egyik dal az "In my hypercube" címet viseli.
- Anthony Pierce Route Cube című regényében az IDA egyik orbitális holdját három dimenzióba tömörített tesseraktnak nevezik.
- A "School" Black Hole "" sorozatban a harmadik évadban van egy "Tesseract" epizód. Lucas megnyomja a titkos gombot, és az iskola elkezd "matematikai mozaikszerű alakot ölteni".
- A "tesseract" kifejezés és a belőle származó "tesse" kifejezés Madeleine L'Engle "Az idő ránca" című történetében található.
- A TesseracT egy brit djent csoport neve.
- A Marvel Cinematic Universe filmsorozatban a Tesseract kulcsfontosságú cselekményelem, egy hiperkocka alakú kozmikus műtárgy.
- Robert Sheckley "Miss Mouse and the Fourth Dimension" című történetében egy ezoterikus író, a szerző ismerőse megpróbálja meglátni a tesseraktumot, órákig keresi az általa tervezett eszközt: egy labda a lábán, amibe rudak vannak beledugva, mely kockákat ültetik el, ragasztják át mindenféle ezoterikus szimbólumokkal. A történet Hinton munkáját említi.
- Az Első Bosszúálló, A Bosszúállók című filmekben. A Tesseract az egész univerzum energiája
Más nevek
- Hexadecachoron (angol) Hexadekachoron)
- Octochoron (angol) Octachoron)
- tetrakocka
- 4 kockás
- Hiperkocka (ha a dimenziók száma nincs megadva)
Megjegyzések
Irodalom
- Charles H Hinton. Negyedik dimenzió, 1904. ISBN 0-405-07953-2
- Martin Gardner, Matematikai karnevál, 1977. ISBN 0-394-72349-X
- Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7
Linkek
Oroszul- Transformator4D program. Négydimenziós objektumok (beleértve a Hypercube-ot is) háromdimenziós vetületeinek modelljeinek kialakítása.
- Egy program, amely megvalósítja a tesseract felépítését és annak összes affin transzformációját, C++ forrásokkal.
Angolul
- A Mushware Limited egy tesseract kimeneti program ( Tesseact Trainer, GPLv2 licenccel) és egy 4D-s first-person shooter ( Adanaxis; grafika, többnyire háromdimenziós; van egy GPL verzió az operációs rendszer adattáraiban).
| Poliéder | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Helyes (Plátói szilárd anyagok) |
|||||||||
| Csillagszerű dodekaéder Csillagszerű ikozidodekaéder Csillagszerű ikozaéder Csillagszerű poliéder Csillagszerű oktaéder | |||||||||
| konvex |
|
||||||||
| képletek, tételek, elméletek |
|||||||||
| Egyéb | |||||||||
Amint a műtét után előadást tarthattam, az első kérdés, amit a hallgatók feltettek:
Mikor rajzolsz nekünk egy 4 dimenziós kockát? Ilyas Abdulkhaevich megígérte nekünk!
Emlékszem, hogy kedves barátaim néha szeretnek egy percnyi matematikai oktatási programot. Ezért a matematikusoknak szóló előadásom egy darabját ide írom. És igyekszem nem jönni zavarba. Néhol persze szigorúbban olvastam az előadást.
Először egyezzünk meg. A 4-dimenziós, és még inkább az 5-6-7- és általában a k-dimenziós tér nem adatik meg számunkra az érzékszervi érzetekben.
"Szegények vagyunk, mert csak háromdimenziósak vagyunk" - mondta a vasárnapi iskolai tanárom, aki először elmondta, mi az a 4 dimenziós kocka. A vasárnapi iskola természetesen rendkívül vallásos volt – matematikai. Akkoriban a hiperkockákat tanulmányoztuk. Előtte egy héttel matematikai indukció, egy héttel utána Hamilton-ciklusok grafikonon - ill. ez a 7. osztály.
Egy 4 dimenziós kockát nem tudunk megérinteni, szagolni, hallani vagy látni. Mit tehetünk vele? El tudjuk képzelni! Mert az agyunk sokkal összetettebb, mint a szemünk és a kezünk.
Tehát, hogy megértsük, mi az a 4 dimenziós kocka, először értsük meg, mi áll rendelkezésünkre. Mi az a 3 dimenziós kocka?
OKÉ OKÉ! Nem kérek egyértelmű matematikai definíciót. Képzelje csak el a legegyszerűbb és leggyakoribb háromdimenziós kockát. Képviselt?
Jó.
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan lehet egy 3-dimenziós kockát 4-dimenziós térré általánosítani, nézzük meg, mi az a 2-dimenziós kocka. Annyira egyszerű – ez egy négyzet!
Egy négyzetnek 2 koordinátája van. A kockában három van. A négyzet pontjai két koordinátájú pontok. Az első 0-tól 1-ig. A második pedig 0-tól 1-ig. A kocka pontjainak három koordinátája van. És mindegyik bármely szám 0 és 1 között.
Logikus elképzelni, hogy egy 4 dimenziós kocka olyan dolog, aminek 4 koordinátája van, és minden 0-tól 1-ig.
/* Szintén logikus elképzelni egy 1 dimenziós kockát, ami nem más, mint egy egyszerű szegmens 0-tól 1-ig. */
Szóval, várj, hogyan rajzolhatsz 4 dimenziós kockát? Hiszen nem rajzolhatunk síkra 4 dimenziós teret!
De végül is a 3 dimenziós teret sem síkra rajzoljuk, hanem rajzoljuk kivetítés a 2D rajzsíkon. A harmadik koordinátát (z) szögben helyezzük el, elképzelve, hogy a rajzsík tengelye "felénk" megy.
Most már teljesen világos, hogyan kell 4-dimenziós kockát rajzolni. Ugyanúgy, ahogy a harmadik tengelyt valamilyen szögben helyeztük el, vegyük a negyedik tengelyt, és helyezzük azt is valamilyen szögbe.
És - íme! -- 4 dimenziós kocka síkra vetítése.
Mit? Egyébként mi az? Mindig hallok suttogást a hátsó asztalok felől. Hadd fejtsem ki részletesebben, mi is ez a sorok halmaza.
Először nézze meg a háromdimenziós kockát. Mit tettünk? Vegyünk egy négyzetet, és húzzuk a harmadik tengely (z) mentén. Mintha sok papírnégyzet egy halomba lenne összeragasztva.
Ugyanez a helyzet egy 4 dimenziós kockával. Nevezzük kényelmi és tudományos-fantasztikus szempontból a negyedik tengelyt "idő tengelyének". Vegyünk egy közönséges háromdimenziós kockát, és húzzuk át az időben a „most” időponttól az „egy óra múlva” időpontig.
Van egy "most" kockánk. A képen rózsaszín.
És most húzzuk a negyedik tengely mentén - az időtengely mentén (zölddel mutattam). És megkapjuk a jövő kockáját – a kéket.
A "kocka most" minden csúcsa nyomot hagy az időben - egy szakaszt. Összekapcsolja a jelenét a jövőjével.
Röviden, dalszöveg nélkül: rajzoltunk két egyforma 3 dimenziós kockát, és összekapcsoltuk a megfelelő csúcsokat.
Csakúgy, mint a 3D kockával (rajzolj 2 egyforma 2D kockát, és kösd össze a csúcsokat).
5D kocka rajzolásához rajzoljon két másolatot a 4D kockából (egy 4D kocka 5. koordinátájával 0 és egy 4D kocka 5. koordinátájával 1), és kösse össze a megfelelő csúcsokat élekkel. Igaz, a síkon akkora élvadászat fog kijönni, hogy szinte lehetetlen lesz bármit is megérteni.
Ha már elképzeltünk egy 4 dimenziós kockát, és meg is tudtuk rajzolni, akkor bármilyen módon felfedezhetjük. Ne felejtsd el felfedezni mind az elmében, mind a képben.
Például. Egy 2-dimenziós kockát 4 oldalról 1-dimenziós kockák határolnak. Ez logikus: mind a 2 koordinátának van eleje és vége is.
Egy 3-dimenziós kockát 6 oldalról 2-dimenziós kockák határolnak. A három koordináta mindegyikének van eleje és vége.
Tehát egy 4-dimenziós kockát nyolc 3-dimenziós kockára kell korlátozni. Mind a 4 koordinátához - két oldalról. A fenti ábrán jól láthatóan 2 arcot látunk, amelyek az "idő" koordináta mentén korlátozzák.
Itt van két kocka (enyhén ferdék, mert 2 dimenziójuk van a síkra vetítve szögben), ami a hiperkockánkat balra és jobbra korlátozza.
Könnyen észrevehető a "felső" és az "alsó" is.
A legnehezebb dolog vizuálisan megérteni, hol van az "elöl" és a "hátsó". Az elülső a „most kocka” elülső oldalától indul, és a „jövő kocka” elülső oldaláig tart – ez piros. Hátsó, illetve lila.
Ezeket a legnehezebb észrevenni, mert más kockák összezavarodnak a lábuk alatt, ami a hiperkockát egy másik vetített koordinátára korlátozza. De vegye figyelembe, hogy a kockák még mindig mások! Ismét itt a kép, ahol a "kocka most" és a "jövő kocka" van kiemelve.
Természetesen lehetőség van 4 dimenziós kockát 3 dimenziós térbe vetíteni.
Az első lehetséges térmodell egyértelmű, hogy hogyan néz ki: ki kell venni 2 kockakeretet, és a hozzájuk tartozó csúcsokat egy új éllel összekötni.
Jelenleg nincs meg ez a modell. Egy előadáson egy 4 dimenziós kocka kissé eltérő 3 dimenziós modelljét mutatom be a hallgatóknak.
Tudod, hogyan vetítenek ki egy kockát egy ilyen síkra.
Mintha felülről néznénk a kockát.
A közeli vége természetesen nagy. A túlsó oldal pedig kisebbnek tűnik, a közelien keresztül látjuk.
Így vetíthet ki egy 4 dimenziós kockát. A kocka most nagyobb, a jövő kockáját a távolban látjuk, így kisebbnek tűnik.
Másrészről. A teteje oldaláról.
Közvetlenül a perem oldaláról:
A borda felől:
És az utolsó szög, aszimmetrikus. A "még mindig azt mondod, hogy a bordái közé néztem" szakaszból.
Nos, akkor bármire gondolhat. Például, ahogy az megtörténik, amikor egy 3 dimenziós kocka kibontakozik egy síkra (ez olyan, mintha kivágnánk egy papírlapot, hogy összehajtva kockát kapjunk), úgy egy 4 dimenziós kocka is kibontakozik a térbe. Ez olyan, mintha egy fadarabot vágnánk úgy, hogy 4 dimenziós térben összehajtva egy tesseraktet kapunk.
Nem csak egy 4-dimenziós, hanem általában az n-dimenziós kockákat is tanulmányozhat. Például igaz, hogy egy n-dimenziós kocka köré körülírt gömb sugara kisebb, mint ennek a kockának egy élének hossza? Vagy itt van egy egyszerűbb kérdés: hány csúcsa van egy n-dimenziós kockának? És hány él (1-dimenziós lapok)?
Ha Ön a Bosszúállók filmek rajongója, az első dolog, ami eszébe jut, amikor meghallja a „Tesseract” szót, a Végtelen kő átlátszó kocka alakú edénye, amely határtalan erőt rejt magában.
A Marvel Univerzum rajongói számára a Tesseract egy ragyogó kék kocka, amitől nem csak a Földről, hanem más bolygókról is megbolondulnak az emberek. Ezért az összes Bosszúálló összefogott, hogy megvédje a földieket a Tesseract rendkívül pusztító erőitől.
Amit azonban el kell mondani, az a következő: A tesserakt egy tényleges geometriai fogalom, pontosabban egy 4D-ben létező forma. Ez nem csak egy kék kocka a Bosszúállóktól... ez egy igazi koncepció.
A tesserakt egy 4 dimenziós objektum. Mielőtt azonban részletesen elmagyaráznánk, kezdjük elölről.
Mi az a "mérés"?
Mindenki hallotta már a 2D és 3D kifejezéseket, amelyek kétdimenziós vagy háromdimenziós térobjektumokat jelölnek. De mik ezek?
A dimenzió csak egy irány, amelyen haladhatsz. Például, ha vonalat rajzol egy papírra, léphet balra/jobbra (x-tengely) vagy fel/le (y-tengely). Tehát azt mondjuk, hogy a papír kétdimenziós, mivel csak két irányba lehet járni.
A 3D-ben van egyfajta mélység.
Most a való világban a fent említett két irányban (balra/jobbra és fel/le) kívül még be/ki lehet menni. Következésképpen a mélység érzése hozzáadódik a 3D-s térhez. Ezért ezt mondjuk való élet 3 dimenziós.
Egy pont 0 dimenziót jelenthet (mivel nem mozog semmilyen irányba), egy vonal 1 dimenziót (hosszat), egy négyzet 2 dimenziót (hosszat és szélességet), a kocka 3 dimenziót (hossz, szélesség és magasság) jelenthet. ).
Vegyünk egy 3D kockát, és cseréljünk ki minden oldalt (amely jelenleg négyzet) egy kockára. És aztán! A kapott forma a tesserakt.
Mi az a tesserakt?
Egyszerűen fogalmazva, a tesserakt egy kocka 4 dimenziós térben. Azt is mondhatjuk, hogy ez egy kocka 4D-s megfelelője. Ez egy 4D-s alakzat, ahol minden lap egy kocka.
Két merőleges sík körül kettős elforgatást végrehajtó tesserakt 3D vetülete. Kép: Jason Hise
Íme egy egyszerű módszer a méretek fogalmi meghatározására: a négyzet kétdimenziós; tehát minden sarkának 2-2 vonala van belőle 90 fokban egymáshoz képest. A kocka 3D-s, így minden sarkáról 3 vonal jön le. Hasonlóan, a tesserakt 4D-s alakzat, tehát minden sarkon 4 vonal nyúlik ki belőle.
Miért nehéz elképzelni egy tesseraktot?
Mivel mi, emberek úgy fejlődtünk, hogy három dimenzióban vizualizáljuk az objektumokat, bárminek, ami extra dimenziókba kerül, például 4D, 5D, 6D stb., nincs sok értelme számunkra, mert egyáltalán nem tudjuk megjeleníteni őket. Agyunk nem tudja megérteni a 4. dimenziót a térben. Egyszerűen nem gondolhatunk rá.
Bacalier Maria
Vizsgálják a négydimenziós kocka (tesseract) fogalmának bevezetésének módjait, szerkezetét és egyes tulajdonságait, hogy milyen háromdimenziós objektumokat kapunk, ha egy négydimenziós kockát a háromdimenziós kockájával párhuzamos hipersíkok metszenek. méretlapok, valamint a főátlójára merőleges hipersíkok. A többdimenziós analitikai geometria kutatáshoz használt apparátusát vizsgáljuk.
Letöltés:
Előnézet:
Bevezetés…………………………………………………………………………….2
Fő rész……………………………………………………………………..4
Következtetések……………………………………………………………..12
Hivatkozások……………………………………………………………..13
Bevezetés
A négydimenziós tér régóta felkeltette mind a professzionális matematikusok, mind az olyan emberek figyelmét, akik távol állnak attól, hogy ezt a tudományt gyakorolják. A negyedik dimenzió iránti érdeklődés annak a feltevésnek köszönhető, hogy háromdimenziós világunk „elmerül” a négydimenziós térben, ahogyan egy sík „elmerül” a háromdimenziós térben, az egyenes „elmerül” egy négydimenziós térben. sík, és egy pont egy egyenesben van. Emellett a négydimenziós tér fontos szerepet játszik a modern relativitáselméletben (az ún. téridő vagy Minkowski-tér), és egy speciális esetnek is tekinthető.dimenziós euklideszi tér (for).
A négydimenziós kocka (tesseract) a négydimenziós tér olyan objektuma, amely a lehető legnagyobb mérettel rendelkezik (akárcsak a szabályos kocka a háromdimenziós tér objektuma). Megjegyzendő, hogy közvetlen érdeklődésre is számot tarthat, nevezetesen megjelenhet a lineáris programozás optimalizálási problémáiban (olyan területként, ahol négy változó lineáris függvényének minimuma vagy maximuma található), és a digitális mikroelektronikában is használják (amikor elektronikus órakijelző működésének programozása). Ezenkívül a négydimenziós kocka tanulmányozásának folyamata hozzájárul a térbeli gondolkodás és a képzelet fejlődéséhez.
Ezért a négydimenziós kocka szerkezetének és sajátos tulajdonságainak tanulmányozása meglehetősen releváns. Megjegyzendő, hogy szerkezetét tekintve a négydimenziós kockát elég jól tanulmányozták. Sokkal nagyobb érdeklődésre tarthat számot a különböző hipersíkok által kialakított szakaszok jellege. Így ennek a munkának a fő célja a tesserakt szerkezetének tanulmányozása, valamint annak a kérdésnek a tisztázása, hogy milyen háromdimenziós objektumokat kapunk, ha egy négydimenziós kockát a háromdimenziós kockájának egyikével párhuzamos hipersíkokkal vágunk. dimenziós lapok, vagy a főátlójára merőleges hipersíkok segítségével. A négydimenziós térben lévő hipersík egy háromdimenziós altér. Azt mondhatjuk, hogy egy síkon lévő egyenes egydimenziós hipersík, egy sík háromdimenziós térben kétdimenziós hipersík.
A kitűzött cél meghatározta a vizsgálat céljait:
1) Tanulmányozza a többdimenziós analitikus geometria alapvető tényeit;
2) Tanulmányozni a 0 és 3 közötti méretű kockák felépítésének jellemzőit;
3) Tanulmányozza a négydimenziós kocka szerkezetét;
4) Analitikusan és geometriailag írjon le egy négydimenziós kockát;
5) Készítsen modelleket háromdimenziós és négydimenziós kockák söpréseiről és központi vetületeiről!
6) A többdimenziós analitikai geometria apparátusával írja le azokat a háromdimenziós objektumokat, amelyeket úgy kapunk, hogy egy négydimenziós kockát az egyik háromdimenziós lapjával párhuzamos hipersíkokkal vagy a főátlójára merőleges hipersíkokkal keresztezünk.
Az így nyert információk lehetővé teszik a tesserakt szerkezetének jobb megértését, valamint mély analógiát a különböző méretű kockák szerkezetében és tulajdonságaiban.
Fő rész
Először is leírjuk azt a matematikai berendezést, amelyet a tanulmány során használni fogunk.
1) Vektor koordináták: ha, akkor
2) Hipersík egyenlete normálvektorralúgy néz ki, mint itt
3) Repülőgépek és akkor és csak akkor párhuzamosak
4) Két pont távolságát a következőképpen határozzuk meg: ha, akkor
5) A vektorok ortogonalitásának feltétele:
Először is nézzük meg, hogyan írható le egy négydimenziós kocka. Ezt kétféleképpen lehet megtenni – geometrikusan és analitikusan.
Ha a geometriai beállítási módról beszélünk, akkor célszerű a kockák felépítésének menetét a nulla dimenzióból kiindulva követni. A nulldimenziós kocka egy pont (egyébként vegye figyelembe, hogy egy pont nulldimenziós golyó szerepét is betöltheti). Ezután bevezetjük az első dimenziót (az abszcissza tengelyt), és a megfelelő tengelyen két pontot (két nulldimenziós kockát) jelölünk, amelyek egymástól 1 távolságra vannak. Az eredmény egy szegmens – egy egydimenziós kocka. Azonnal megjegyezünk egy jellegzetes vonást: Egy egydimenziós kocka (szegmens) határa (végei) két nulla dimenziós kocka (két pont). Ezután bemutatjuk a második dimenziót (y-tengely) és a síkonalkossunk két egydimenziós kockát (két szegmenst), amelyek végei 1 távolságra vannak egymástól (valójában az egyik szakasz a másik ortogonális vetülete). A szegmensek megfelelő végeit összekötve négyzetet kapunk - egy kétdimenziós kockát. Ismét megjegyezzük, hogy egy kétdimenziós kocka (négyzet) határa négy egydimenziós kocka (négy szegmens). Végül bemutatjuk a harmadik dimenziót (az alkalmazási tengelyt) és a térben való konstrukciótkét négyzetet úgy, hogy az egyik a másiknak merőleges vetülete legyen (ebben az esetben a négyzetek megfelelő csúcsai 1 távolságra vannak egymástól). Kössük össze a megfelelő csúcsokat szegmensekkel - kapunk egy háromdimenziós kockát. Látjuk, hogy a háromdimenziós kocka határa hat kétdimenziós kocka (hat négyzet). A leírt konstrukciók a következő szabályszerűség feltárását teszik lehetővé: minden lépésnéla dimenziós kocka „megmozdul, nyomot hagyva” befeléEz egy 1-es távolságból történő mérés, miközben a mozgás iránya merőleges a kockára. Ennek a folyamatnak a formális folytatása teszi lehetővé, hogy eljussunk a négydimenziós kocka fogalmához. Nevezetesen, kényszerítsük a háromdimenziós kockát a negyedik dimenzió irányába (a kockára merőlegesen) 1 távolságra elmozdulásra. Az előzőhöz hasonlóan eljárva, azaz a kockák megfelelő csúcsait összekötve fogjuk. kap egy négydimenziós kockát. Megjegyzendő, hogy geometriailag egy ilyen konstrukció a mi terünkben lehetetlen (mert háromdimenziós), de itt logikai szempontból nem találkozunk ellentmondásokkal. Most térjünk át a négydimenziós kocka analitikai leírására. Formálisan is megkapjuk, a hasonlat segítségével. Tehát egy nulldimenziós egységkocka elemzési feladata a következő:
Az egydimenziós egységkocka elemzési feladatának formája:
A kétdimenziós egységkocka elemzési feladata a következő:
A háromdimenziós egységkocka elemzési feladata a következő:
Most már nagyon könnyű analitikusan ábrázolni egy négydimenziós kockát, nevezetesen:
Amint látjuk, a négydimenziós kocka megadásának geometriai és analitikai módszeréhez egyaránt alkalmazták az analógiák módszerét.
Most az analitikus geometria apparátusával megtudjuk, milyen szerkezetű egy négydimenziós kocka. Először is nézzük meg, milyen elemeket tartalmaz. Itt is használhatja az analógiát (hipotézis felállításához). Az egydimenziós kocka határai pontok (nulla-kockák), egy kétdimenziós kockáé - szegmensek (egydimenziós kockák), egy háromdimenziós kockáé - négyzetek (kétdimenziós lapok). Feltételezhető, hogy a tesserakt határai háromdimenziós kockák. Ennek bizonyítására tisztázzuk, mit értünk csúcsok, élek és lapok alatt. A kocka csúcsai a sarokpontjai. Vagyis a csúcsok koordinátái lehetnek nullák vagy egyesek. Így összefüggést találunk egy kocka mérete és csúcsainak száma között. Alkalmazzuk a kombinatorikus szorzatszabályt - mivel a csúcskockának pontosan vankoordináták, amelyek mindegyike egyenlő nullával vagy eggyel (az összes többitől függetlenül), akkor vannakcsúcsok. Így bármely csúcsban minden koordináta rögzített és egyenlő lehet vagy . Ha az összes koordinátát rögzítjük (mindegyiket egyenlőnek állítva vagy , a többitől függetlenül), egy kivételével, akkor a kocka éleit tartalmazó egyeneseket kapjuk. Az előzőhöz hasonlóan pontosan számolhatunk veledolgokat. És ha most rögzítjük az összes koordinátát (mindegyiket egyenlőnek állítva vagy , a többitől függetlenül), néhány kettő kivételével olyan síkokat kapunk, amelyek a kocka kétdimenziós lapjait tartalmazzák. A kombinatorika szabályával azt találjuk, hogy pontosan vannakdolgokat. Továbbá, hasonlóan - az összes koordináta rögzítése (mindegyik egyenlőnek beállítása vagy , a többitől függetlenül), néhány három kivételével a kocka háromdimenziós lapjait tartalmazó hipersíkokat kapunk. Ugyanezt a szabályt alkalmazva kiszámítjuk a számukat - pontosanstb. Tanulmányunkhoz ez elegendő lesz. Alkalmazzuk a kapott eredményeket egy négydimenziós kocka szerkezetére, nevezetesen az összes általunk beállított származtatott képletben. Ezért egy négydimenziós kockának van: 16 csúcsa, 32 éle, 24 kétdimenziós lapja és 8 háromdimenziós lapja. Az érthetőség kedvéért minden elemét analitikusan definiáljuk.
Egy négydimenziós kocka csúcsai:
Egy négydimenziós kocka élei ():
Egy négydimenziós kocka kétdimenziós lapjai (hasonló korlátozások):
Egy négydimenziós kocka háromdimenziós lapjai (hasonló korlátozások):
Most, hogy a négydimenziós kocka szerkezetét és annak meghatározásának módszereit kellő teljességgel leírtuk, folytassuk a fő cél megvalósítását - a kocka különböző szakaszainak jellegének tisztázását. Kezdjük azzal az elemi esettel, amikor egy kocka szakaszai párhuzamosak az egyik háromdimenziós lapjával. Vegyük például a metszeteit az arccal párhuzamos hipersíkokkalAz analitikai geometriából ismert, hogy minden ilyen szakaszt az egyenlet adja megÁllítsuk be analitikusan a megfelelő szakaszokat:
Amint látja, kaptunk egy analitikai feladatot egy hipersíkban fekvő háromdimenziós egységkockára.
Az analógia megállapításához felírjuk egy háromdimenziós kocka szakaszát egy síkkal Kapunk:
Ez egy síkban fekvő négyzet. Az analógia nyilvánvaló.
Négydimenziós kocka metszete hipersíkok szerintpontosan ugyanazt az eredményt adja. Ezek is egyetlen háromdimenziós kockák lesznek, amelyek hipersíkban fekszenek illetőleg.
Tekintsük most egy négydimenziós kocka szakaszait a főátlójára merőleges hipersíkokkal. Először oldjuk meg ezt a feladatot egy háromdimenziós kockára. Az egységnyi háromdimenziós kocka meghatározásának fenti módszerével arra a következtetésre jut, hogy például egy végű szakaszt vehetünk főátlónak.és . Ez azt jelenti, hogy a főátló vektorának koordinátái lesznek. Ezért a főátlóra merőleges bármely sík egyenlete a következő lesz:
Határozzuk meg a paraméterváltozás határait. Mert , akkor ezeket az egyenlőtlenségeket tagonként összeadva a következőt kapjuk:
Vagy .
Ha akkor (korlátozások miatt). Hasonlóképpen, ha, akkor . Szóval, at és at a vágási síknak és a kockának pontosan egy közös pontja van (és illetőleg). Most vegyük észre a következőket. Ha egy(ismét a változók korlátai miatt). A megfelelő síkok egyszerre három oldalt metszenek, mert különben a vágási sík párhuzamos lenne az egyikkel, ami a feltétel szerint nem így van. Ha egy, akkor a sík a kocka összes lapját metszi. Ha, akkor a sík metszi az arcokat. Mutassuk be a megfelelő számításokat.
Hadd Aztán a repülőátlépi a határt egyenes vonalban ráadásul. A határ ráadásul. él sík metszi az egyenest, ráadásul
Hadd Aztán a repülőátlépi a szélét:
éle egy egyenes vonalban ráadásul.
éle egy egyenes vonalban ráadásul.
éle egy egyenes vonalban ráadásul.
éle egy egyenes vonalban ráadásul.
éle egy egyenes vonalban ráadásul.
éle egy egyenes vonalban ráadásul.
Ezúttal hat szegmenst kapunk, amelyeknek egymás után közös a vége:
Hadd Aztán a repülőátlépi a határt egyenes vonalban ráadásul. él sík metszi az egyenest, és . él sík metszi az egyenest, ráadásul . Azaz három olyan szegmenst kapunk, amelyeknek páronként közös végei vannak:Így a paraméter megadott értékeiheza sík egy szabályos háromszögben metszi a kockát csúcsokkal
Tehát itt van egy kimerítő leírás a lapos figurákról, amelyeket úgy kapunk, hogy a kockát a főátlójára merőleges síkkal keresztezzük. A fő gondolat a következő volt. Meg kell érteni, hogy a sík mely lapjait metszi, milyen halmazokban metszi őket, hogyan kapcsolódnak ezek a halmazok. Például, ha kiderült, hogy a sík pontosan három lapját metszi olyan szakaszok mentén, amelyeknek páronként közös végei vannak, akkor a szakasz egy egyenlő oldalú háromszög volt (amit a szakaszok hosszának közvetlen megszámlálásával bizonyítunk), amelynek csúcsai ezek a végek. a szegmensek közül.
Ugyanazt az apparátust és a keresztmetszetek vizsgálatának ugyanazt az elképzelését használva a következő tények pontosan ugyanúgy levonhatók:
1) A négydimenziós egységkocka egyik főátlójának vektorának vannak koordinátái
2) Egy négydimenziós kocka főátlójára merőleges bármely hipersík felírható.
3) A szekáns hipersík egyenletében a paraméter0 és 4 között változhat;
4) A és a szekáns hipersíknak és a négydimenziós kockának egy közös pontja van (és illetőleg);
5) Mikor a szakaszban szabályos tetraédert kapunk;
6) Mikor a szakaszon egy oktaédert kapunk;
7) Mikor szakaszban szabályos tetraédert kapunk.
Ennek megfelelően itt a hipersík metszi a tesseraktumot a sík mentén, amelyen a változók korlátozása miatt háromszög alakú régiót osztanak ki (analógia - a sík egy egyenes mentén keresztezte a kockát, amelyen a korlátozások miatt a változókhoz egy szegmens került kiosztásra). Az 5. esetben a hipersík pontosan négy háromdimenziós téglalapot metszi, azaz négy olyan háromszöget kapunk, amelyeknek páronként közös oldalaik vannak, más szóval, tetraédert alkotva (ahogyan ki lehet számítani - helyes). A 6) esetben a hipersík pontosan nyolc háromdimenziós téglalapot metszi, azaz nyolc háromszöget kapunk, amelyeknek egymás után közös oldalaik vannak, vagyis egy oktaédert alkotnak. A 7) eset teljesen hasonló az 5) esethez.
Illusztráljuk az elhangzottakat egy konkrét példával. Ugyanis a négydimenziós kocka hipersík szerinti metszetét vizsgáljukA változók kényszerei miatt ez a hipersík a következő 3D-s lapokat metszi:él síkban metszi egymástA változók korlátai miatt a következőkkel rendelkezünk:Szerezzen egy háromszög alakú területet csúcsokkalTovábbi,háromszöget kapunkA hipersík és az arc metszéspontjábanháromszöget kapunkA hipersík és az arc metszéspontjábanháromszöget kapunkÍgy a tetraéder csúcsai a következő koordinátákkal rendelkeznek. Amilyen könnyen kiszámítható, ez a tetraéder valóban helyes.
következtetéseket
Tehát e tanulmány során tanulmányozták a többdimenziós analitikai geometria főbb tényeit, tanulmányozták a 0-tól 3-ig terjedő méretű kockák felépítésének jellemzőit, tanulmányozták egy négydimenziós kocka szerkezetét, egy négydimenziós kocka szerkezetét. analitikusan és geometriailag leírtak, háromdimenziós és négydimenziós kockák fejlesztési modelljei és központi vetületei készültek, a háromdimenziós kockák analitikusan leírt objektumok, amelyek egy négydimenziós kocka háromdimenziós egyik háromdimenziós hipersíkjainak metszéséből származnak. dimenziós lapok, vagy a főátlójára merőleges hipersíkok segítségével.
A tanulmány lehetővé tette a különböző méretű kockák szerkezetének és tulajdonságainak mély analógiájának feltárását. Az alkalmazott analógia technika alkalmazható a tanulmányban, pl.dimenziós gömb illdimenziós szimplex. Ugyanis,egy dimenziós gömb pontok halmazaként definiálhatódimenziós tér, egyenlő távolságra egy adott ponttól, amelyet a gömb középpontjának nevezünk. További,a dimenziós szimplex a részként definiálhatómérettér, amelyet a minimális szám korlátozdimenziós hipersíkok. Például az egydimenziós szimplex egy szakasz (az egydimenziós tér két ponttal határolt része), a kétdimenziós szimplex egy háromszög (a kétdimenziós tér három egyenes által határolt része), egy háromdimenziós A szimplex egy tetraéder (a háromdimenziós tér része, amelyet négy sík határol). Végül,a dimenziós szimplexet a részként határozzuk megmérettér, korlátozottdimenzió hipersíkja.
Megjegyzendő, hogy annak ellenére, hogy a tesseractot számos tudományterületen alkalmazzák, ez a tanulmány még mindig nagyrészt matematikai kutatás.
Bibliográfia
1) Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M.Felsőmatematika, 1. kötet - M.: Drofa, 2005 - 284 p.
2) Kvantum. Négydimenziós kocka / Duzhin S., Rubtsov V., 6. sz., 1986.
3) Kvantum. Hogyan rajzolj dimenziós kocka / Demidovich N.B., 1974. 8. sz.