Диференциално смятане на функции на една и няколко променливи. Диференциално смятане на функция на една и няколко променливи Диференциално смятане на функция на две променливи

Функция на n променливи Променлива u се нарича функция на n променливи (аргументи) x, y, z, …, t, ако всяка система от стойности x, y, z, …, t, от диапазона на техните промени ( областта на дефиницията), съответства на определена стойност u. Домейнът на функция е множеството от всички точки, в които тя има определени реални стойности. За функция на две променливи z=f(x, y), дефиниционната област представлява определен набор от точки в равнината, а за функция на три променливи u=f(x, y, z) представлява определена набор от точки в пространството.

Функция на две променливи Функцията на две променливи е закон, според който всяка двойка стойности на независими променливи x, y (аргументи) от областта на дефиниране съответства на стойността на зависимата променлива z (функция). Тази функция се обозначава по следния начин: z = z(x, y) или z= f(x, y) или друга стандартна буква: u=f(x, y) , u = u (x, y)

Частични производни от първи ред Частичната производна на функцията z \u003d f (x, y) по отношение на независимата променлива x се нарича крайна границаизчислено при константа y Частната производна по отношение на y е крайната граница, изчислена при константа x За частни производни са валидни обичайните правила и формули за диференциране.

Общият диференциал на функцията z =f(x, y) се изчислява по формулата Общият диференциал на функцията от три аргумента u =f(x, y, z) се изчислява по формулата

Частни производни от по-високи разряди Частни производни от втори ред на функцията z =f(x, y) са частни производни на нейните частни производни от първи ред По същия начин се дефинират и обозначават частни производни от трети и по-високи разряди.

Диференциали от по-висок порядък Диференциалът от втори порядък на функция z=f(x, y) е диференциалът на нейния плитък диференциал.

Диференциране на комплексни функции Нека z=f(x, y), където x=φ(t), y=ψ(t) и функциите f(x, y), φ(t), ψ(t) са диференцируеми. Тогава производната на комплексната функция z=f[φ(t), ψ(t)] се изчислява по формулата

Диференциране на неявни функции Производните на неявна функция на две променливи z=f(x, y), дадени от уравнението F(x, y, z)=0, могат да бъдат изчислени по формулите

Екстремумът на функцията Функцията z=f(x, y) има максимум (минимум) в точка M 0(x 0; y 0), ако стойността на функцията в тази точка е по-голяма (по-малка) от нейната стойност във всяка друга точка M(x; y ) от някакъв околност на точката M 0. Ако диференцируемата функция z=f(x, y) достигне екстремум в точката M 0(x 0; y 0), тогава нейната първа частичните производни от -порядък са равни на нула в тази точка, т.е. (необходими екстремни условия).

Нека M 0(x 0; y 0) е стационарна точка на функцията z=f(x, y). Нека обозначим И съставим дискриминанта Δ=AC B 2. Тогава: Ако Δ>0, тогава функцията има екстремум в точката M 0, а именно максимум в A 0 (или C>0); Ако Δ

Функция F(x) се нарича първоизводна за функцията f(x) на интервала X=(a, b), ако във всяка точка от този интервал f(x) е производната на F(x), т.е. от тази дефиниция следва, че проблемът за намиране на първоизводната е обратен на проблема с диференцирането: за дадена функция f(x) се изисква да се намери функция F(x), чиято производна е равна на f(x).

Неопределен интеграл Множеството от всички първопроизводни на функцията F(x)+С за f(x) се нарича неопределен интеграл на функцията f(x) и се означава със символа . Така, по дефиниция, където C е произволна константа; f(x) подинтегрална функция; f(x) dx интегрант; x променлива на интегриране; неопределен интегрален знак.

Свойства на неопределения интеграл 1. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на подинтегралната функция, а производната на неопределения интеграл е равна на интегралната функция: 2. Неопределеният интеграл на диференциала на някаква функция е равно на сумататази функция и произволна константа:

3. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за интеграл: 4. Неопределеният интеграл от алгебричната сума на краен брой непрекъснати функции е равен на алгебричната сума от интегралите на членовете на функциите: 5. Ако, тогава и където u=φ(x) е произволна функция, която има непрекъсната производна

Основни методи на интегриране Метод на директно интегриране Метод на интегриране, при който даден интеграл се редуцира до един или повече таблични интеграли чрез идентични трансформации на интегранта (или израз) и прилагане на свойствата на неопределения интеграл, се нарича директно интегриране.

При редуцирането на този интеграл до табличен, често се използват следните трансформации на диференциала (операцията на „привеждане под знака на диференциала“):

Промяна на променлива в неопределения интеграл (интегриране на заместване) Методът на интегриране на заместване се състои във въвеждане на нова променлива на интегриране. В този случай даденият интеграл се свежда до нов интеграл, който е табличен или сводим към него. Нека се изисква да се изчисли интеграла. Нека направим заместване x = φ(t), където φ(t) е функция, която има непрекъсната производна. Тогава dx=φ "(t)dt и въз основа на свойството за инвариантност на формулата за неопределена интегрална интеграция, получаваме формулата за интегриране чрез заместване

Интегриране по части Формула за интегриране по части Формулата позволява да се намали изчисляването на интеграла до изчисляването на интеграла, което може да се окаже много по-просто от първоначалното.

Интегриране на рационални дроби Рационалната дроб е дроб от вида P(x)/Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми. Рационална дроб се нарича правилна, ако степента на полинома P(x) е по-ниска от степента на полинома Q(x); в противен случай дробта се нарича неправилна дроб. Най-простите (елементарни) дроби са обикновени дроби със следния вид: където A, B, p, q, a са реални числа.

Първи интеграл най-простата дробТип IV от дясната страна на равенството се намира лесно с помощта на заместването x2+px+q=t, а вторият се трансформира, както следва: Ако приемем, че x+p/2=t, dx=dt получаваме и обозначаваме q-p 2/ 4=a 2,

Интегриране на рационални дроби чрез разлагане в прости дроби Преди да интегрирате рационалната дроб P(x)/Q(x), трябва да се извършат следните алгебрични трансформации и изчисления: 1) Ако е дадена неправилна рационална дроб, след това изберете цяла част от то, т.е. във формата, където M(x) е полином, а P 1(x)/Q(x) е правилна рационална дроб; 2) Разгънете знаменателя на дробта на линейни и квадратни множители: където р2/4 q

3) Разложете правилната рационална дроб на прости дроби: 4) Изчислете неопределените коефициенти A 1, A 2, ..., Am, ..., B 1, B 2, ..., Bm, ..., C 1, C 2, ..., Cm, ... , за които привеждаме последното равенство към общ знаменател, приравняваме коефициентите при еднакви степени на x в лявата и дясната част на полученото тъждество и решаваме системата линейни уравненияпо отношение на желаните коефициенти.

Интегриране на най-простите ирационални функции 1. Интеграли от вида където R е рационална функция; m 1, n 1, m 2, n 2, … цели числа. Използвайки заместването ax+b=ts, където s е най-малкото общо кратно на числата n 1, n 2, ..., зададеният интеграл се преобразува в интеграл на рационална функция. 2. Интеграл от формата Такива интеграли, чрез избиране на квадрат от квадратен тричлен, се редуцират до таблични интеграли 15 или 16

3. Интеграл на формата За да намерим този интеграл, избираме в числителя производната на квадратния трином, който е под знака на корена, и разширяваме интеграла в сумата на интегралите:

4. Интеграли от вида Чрез заместване на x α=1/t този интеграл се свежда до разглежданата т. 2. 5. Интеграл от вида където Рn(х) е полином от n-та степен. Интеграл от този вид се намира с помощта на идентичността, където Qn 1(x) е полином (n 1) от та степен с неопределени коефициенти, λ е число. Диференцирайки посоченото тъждество и свеждайки резултата до общ знаменател, получаваме равенството на два полинома, от което можем да определим коефициентите на полинома Qn 1(x) и числото λ.

6. Интеграли от диференциални биноми, където m, n, p са рационални числа. Както P. L. Chebyshev доказа, интегралите на диференциалните биноми се изразяват чрез елементарни функции само в три случая: 1) p е цяло число, тогава този интеграл се редуцира до интеграла на рационална функция, като се използва заместването x=ts, където s е най-малкото общо кратно знаменател на дроби m и n. 2) (m+1)/n е цяло число, в този случай този интеграл се рационализира с помощта на заместването a+bxn=ts; 3) (m+1)/n+р е цяло число, в този случай заместването ax n+b=ts води до същата цел, където s е знаменателят на дробта р.

Интеграция тригонометрични функцииИнтеграли от вида където R е рационална функция. Под интегралния знак е рационална функция на синус и косинус. В този случай е приложима универсалната тригонометрична замяна tg(x/2)=t, която редуцира този интеграл до интеграла на рационалната функция на новия аргумент t (табл. стр. 1). Има и други замествания, както е показано в следната таблица:

Определеният интеграл на функцията f(x) върху отсечка е границата на интегралните суми, при условие че дължината на най-голямата частична отсечка Δхi клони към нула. Числата a и b се наричат долна и горна граница на интегриране. Теорема на Коши. Ако функцията f(x) е непрекъсната на отсечката , то определеният интеграл съществува

Src="https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt="(!LANG:Ако f(x)>0 на сегмента, тогава определеният интеграл е геометрично областта на криволинейният"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0!}

Правила за изчисляване на определени интеграли 1. Формула на Нютон Лайбниц: където F(x) е първоизводната за f(x), т.е. F(x)'= f(x). 2. Интегриране по части: където u=u(x), v=v(x) са непрекъснато диференцируеми функции на отсечката .

3. Промяна на променлива, където x=φ(t) е функция, която е непрекъсната заедно с нейната производна φ' (t) на сегмента α≤t≤β, a= φ(a), b= φ(β), f[φ( t)] – функцията е непрекъсната върху [α; β] 4. Ако f(x) е нечетна функция, т.е. f(x)= f(x), тогава Ако f(x) е четна функция, т.е. f(x)=f(x) , тогава.

Неправилни интеграли Неправилни интеграли са: 1) интеграли с безкрайни граници; 2) интеграли на неограничени функции. Неправилният интеграл на функцията f (x) в диапазона от a до + безкрайност се определя от равенството Ако тази граница съществува и е крайна, тогава неправилният интеграл се нарича конвергентен; ако границата не съществува или е равна на безкрайност, дивергентна Ако функцията f(x) има безкраен прекъсване в точка от сегмента и е непрекъсната за a≤x

При изследването на сходимостта на неправилни интеграли се използва един от признаците за сравнение. 1. Ако функциите f(x) и φ(x) са дефинирани за всички х≥а и са интегрируеми на отсечката , където А≥а, и ако 0≤f(x)≤φ(x) за всички х≥ а, тогава от сходимостта на интеграла следва сходимостта на интеграла и 2. 1 Ако за x→+∞ функцията f(x)≤0 е безкрайно малка от порядък p>0 в сравнение с 1/x, тогава интегралът се сближава за p>1 и се разминава за p≤1 2. 2 Ако функцията f(x) ≥ 0 е дефинирана и непрекъсната в интервала a ≤ x

Изчисляване на площта на плоска фигура Площта на криволинейния трапец, ограничен от крива y=f(x), прави x=a и x=b и сегмент от оста OX, се изчислява по формулата Площ на фигура, ограничена от крива y=f 1(x) и y=f 2( x) и прави x=a и x=b, се намира по формулата и сегмент от оста OX се изчислява по формула, където t 1 и t 2 се определят от уравнението a = x (t 1), b = x (t 2) два полярни радиуса θ=α, θ=β (α

Изчисляване на дължината на дъгата на равнинна крива Ако кривата y=f(x) върху сегмента е гладка (т.е. производната y'=f'(x) е непрекъсната), тогава дължината на съответната дъга на тази крива е намира се по формулата (t), y=y(t) [x(t) и y(t) са непрекъснато диференцируеми функции] дължината на дъгата на кривата, съответстваща на монотонната промяна на параметъра t от t 1 до t 2, се изчислява по формулата Ако гладка крива е дадена в полярни координати чрез уравнението ρ=ρ(θ), α≤θ≤β, тогава дължината на дъгата е равна на.

Изчисляване на обема на тялото 1. Изчисляване на обема на тялото по известни площи на напречното сечение. Ако площта на напречното сечение на тялото, равнина, перпендикулярна на оста OX, може да бъде изразена като функция на x, т.е. във формата S=S(x) (a≤x≤b), обемът на частта на тялото, затворена между равнините, перпендикулярни на оста OX x= a и x=b, се намира по формула 2. Изчисляване на обема на въртеливо тяло. Ако криволинеен трапец, ограничен от кривата y=f(x) и прави линии y=0, x=a, x=b, се върти около оста OX, тогава обемът на тялото на въртене се изчислява по формулата Ако фигурата ограничена от кривите y1=f 1(x) и y2=f 2(x) и прави x=a, x=b, се върти около оста OX, тогава обемът на обекта на въртене е равен.

Изчисляване на повърхността на въртене Ако дъгата на гладка крива y=f(x) (a≤х≤b) се върти около оста OX, тогава площта на повърхността на въртене се изчислява по формулата Ако кривата е дадена от параметричните уравнения x=x(t), y=y(t ) (t 1≤t≤t 2), тогава.

Основни понятия Диференциалното уравнение е уравнение, което свързва независими променливи, тяхната функция и производни (или диференциали) на тази функция. Ако има една независима променлива, тогава уравнението се нарича обикновено, но ако има две или повече независими променливи, тогава уравнението се нарича частично диференциално уравнение.

Уравнение от първи ред Функционалното уравнение F(x, y, y) = 0 или y = f(x, y), свързващо независимата променлива, желаната функция y(x) и нейната производна y (x), се нарича първи ред диференциално уравнение. Решение на уравнение от първи ред е всяка функция y= (x), която, заместена в уравнението заедно с нейната производна y = (x), го превръща в идентичност по отношение на x.

Общо решение на диференциално уравнение от първи ред Общо решение на диференциално уравнение от първи ред е функция y = (x, C), която за всяка стойност на параметъра C е решение на това диференциално уравнение. Уравнението Ф(x, y, C)=0, което определя общото решение като неявна функция, се нарича общ интеграл на диференциалното уравнение.

Уравнение, решено по отношение на производната Ако уравнението от 1-ви ред е решено по отношение на производната, тогава то може да бъде представено като Неговото общо решение е геометрично семейство от интегрални криви, т.е. набор от линии, съответстващи на различни стойности на константата C.

Постановка на проблема на Коши Проблемът за намиране на решение на диференциално уравнение, което удовлетворява началното условие при се нарича проблем на Коши за уравнение от първи ред. Геометрично това означава: намерете интегралната крива на диференциалното уравнение, минаваща през дадената точка.

Уравнение с отделена променлива Диференциалното уравнение се нарича уравнение с отделена променлива. Диференциално уравнение от първи ред се нарича уравнение с разделими променливи, ако има формата: За да решите уравнението, разделете двете му части на произведението на функциите и след това интегрирайте.

Хомогенни уравнения Диференциално уравнение от първи ред се нарича хомогенно, ако може да бъде приведено до формата y = или до формата където и са хомогенни функции от един и същи ред.

Линейни уравнения от първи ред Диференциалното уравнение от първи ред се нарича линейно, ако съдържа y и y‘ на първа степен, т.е. има формата. Такова уравнение се решава чрез заместването y=uv, където u и v са спомагателни неизвестни функции, които се намират чрез заместване на спомагателни функции в уравнението и определени условия се налагат на една от функциите.

Уравнението на Бернули Уравнението на Бернули е уравнение от първи ред, което има формата

Диференциални уравнения от 2-ри ред Уравнение от 2-ри ред има формата Или Общо решение на уравнение от втори ред е функция, която за всякакви стойности на параметрите е решение на това уравнение.

Задача на Коши за уравнението от 2-ри ред Ако уравнението от 2-ри ред се решава по отношение на втората производна, тогава за такова уравнение възниква следната задача: намиране на решение на уравнението, което отговаря на началните условия: и Тази задача се нарича Задача на Коши за диференциално уравнение от 2-ри ред.

Теорема за съществуване и уникалност за решение на уравнение от втори ред Ако в дадено уравнение функция и нейните частни производни по отношение на аргументи и са непрекъснати в някаква област, съдържаща точка, тогава също съществува уникално решение на това уравнение, което удовлетворява условия и.

Уравнения от 2-ри ред, позволяващи намаляване на реда Най-простото уравнение от 2-ри ред се решава чрез двойно интегриране. Уравнение, което не съдържа изрично y, се решава чрез заместване, уравнение, което не съдържа x, се решава чрез заместване, .

Линейни хомогенни уравнения Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред е уравнение.Ако всички коефициенти на това уравнение са постоянни, тогава уравнението се нарича уравнение с постоянни коефициенти.

Свойства на решенията на линейно хомогенно уравнение Теорема 1. Ако y(x) е решение на уравнение, тогава Cy(x), където C е константа, също е решение на това уравнение.

Свойства на решенията на линейно хомогенно уравнение Теорема 2. Ако и са решения на уравнение, тогава тяхната сума също е решение на това уравнение. Последица. Ако и е решение на уравнение, тогава функцията също е решение на това уравнение.

Линейно зависими и линейно независими функции Две функции и се наричат линейно зависими от някакъв интервал, ако е възможно да се изберат такива числа и да не са равни на нула в същото време, че линейната комбинация от тези функции е идентично равна на нула на този интервал, т.е.

Ако такива числа не могат да бъдат избрани, тогава функциите и се наричат линейно независими на посочения интервал. Функциите ще бъдат линейно зависими тогава и само ако съотношението им е постоянно, т.е.

Теорема за структурата на общото решение на линейно хомогенно уравнение от 2-ри ред Ако линейно независими частични решения от 2-ри ред LOE, тогава тяхната линейна комбинация, където и са произволни константи, е общо решение на това уравнение.

Линейно хомогенно уравнение от 2-ри ред с постоянни коефициенти Уравнението се нарича характеристично уравнение на линейно уравнение. Получава се от LOE чрез заместване на производната със степен k, съответстваща на реда.

Министерство на образованието на Република Беларус

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

ПУБЛИЧНА ИНСТИТУЦИЯ

ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ

БЕЛОРУСКО-РУСКИ УНИВЕРСИТЕТ

Катедра Висша математика

Диференциално смятане на функции на една и няколко променливи.

Методически указания и задачи на контролна работа № 2

за задочници

всички специалности

комисия към Методическия съвет

Беларуско-руски университет

Одобрено от катедра "Висша математика" "_____" ____________ 2004 г.,

протокол №

Съставител: Червякова Т.И., Ромская О.И., Плешкова С.Ф.

Диференциално смятане на функции на една и няколко променливи. Насоки и задания за контролна работа No 2 за задочни студенти. Работата представя насоки, контролни задачи, примери за решаване на задачи в раздел "Диференциално смятане на функции на една и няколко променливи." Задачите са предназначени за студенти от всички специалности на дистанционно обучение.

Учебно издание

Диференциално смятане на функции на една и няколко променливи

Технически редактор A.A. Подошевко

Компютърно оформление Н.П. левичар

Рецензенти L.A. Новик

Отговорен за освобождаването на L.V. Плетньов

Подписано за печат. Формат 60×84 1/16. Офсетова хартия. Ситопечат. Реал. фурна л. . Уч.-изд. л. . Тираж екземпляри. Поръчка Номер._________

Издателство и печатно оформление:

Държавна институция за професионално образование

"Беларуско-руски университет"

Лиценз ЛВ № 243 от 11.03.2003 г., Лиценз ЛП № 165 от 08.01.2003 г.

212005, Могилев, пр. Мира, 43

университет”, 2004г

Въведение

Тези указания съдържат материал за изучаване на раздела "Диференциално смятане на функция на една и няколко променливи."

Контролната работа се извършва в отделна тетрадка, на корицата на която студентът трябва ясно да напише номера, името на дисциплината, да посочи своята група, фамилия, инициали и номер на зачетната книга.

Номерът на варианта съответства на последната цифра от записната книга. Ако последната цифра в бележника е 0, номерът на опцията е 10.

Решаването на задачите трябва да се извършва в последователността, посочена в контролната работа. В този случай условието на всяка задача се пренаписва напълно преди нейното решение. Не забравяйте да оставите полета в бележника.

Решението на всеки проблем трябва да бъде посочено подробно, необходимите обяснения трябва да бъдат дадени по пътя с позоваване на използваните формули, изчисленията трябва да се извършват в строг ред. Доведете решението на всяка задача до отговора, изискван от условието. В края на контролната работа посочете литературата, използвана при изпълнението на контролната работа.

ввъпроси за самоподготовка

Производна на функция: определение, обозначение, геометрични и механични значения. Уравнение на допирателна и нормала към равнинна крива.

Непрекъснатост на диференцируема функция.

Правила за диференциране на функция на една променлива.

Производни на комплексни и обратни функции.

Производни на основни елементарни функции. Производна таблица.

Диференциране на параметрично и неявно дефинирани функции. Логаритмично диференциране.

Функционален диференциал: определение, обозначение, връзка с производна, свойства, инвариантност на формата, геометричен смисъл, приложение при приближени изчисления на стойностите на функцията.

Производни и диференциали от по-високи разряди.

Теореми на Ферма, Рол, Лагранж, Коши.

Правилото на Бернули-Л'Хопитал, приложението му за изчисляване на лимити.

Монотонност и екстремуми на функция на една променлива.

Изпъкналост и инфлексии на графиката на функция на една променлива.

Асимптоти на графиката на функция.

Пълно изследване и чертане на функция на една променлива.

Най-голямата и най-малката стойност на функцията на сегмента.

Концепцията за функция на няколко променливи.

Граница и непрекъснатост на FNP.

Частни производни на FNP.

Диференцируемост и тотален диференциал на FNP.

Диференциране на сложни и имплицитно дадени FNP.

Частни производни и тотални диференциали от по-високи разряди FNP.

Крайности (локални, условни, глобални) FNP.

Производна по посока и градиент.

Допирателна равнина и нормала на повърхнина.

Решение на типичен вариант

Задача 1.Намерете производни на функции:

	б) ;	в) ;
G)		д)

Решение.При решаване на задачи а)-в) прилагаме следните правила за диференциране:

1)
; 2)
;

3)
; 4)

5)
6)

7)
;

8) ако , т.е.
е сложна функция
.

Въз основа на дефиницията на производната и правилата за диференциране е съставена таблица на производните на основните елементарни функции.

1 ,	8 ,
2 ,	9 ,
3 ,	10 ,
4 ,	11 ,
5 ,	12 ,
6 ,	13 .
7 ,

Използвайки правилата за диференциране и таблицата с производни, намираме производните на тези функции:

Отговор:

Тази функция е експоненциална. Прилагаме метода на логаритмичното диференциране. Нека регистрираме функцията:

Нека приложим свойството на логаритмите:
. Тогава
.

Разграничете двете страни на равенството по отношение на :

;

Функцията е дефинирана имплицитно във формата
. Разграничете двете страни на това уравнение, като приемете функция от:

Изразяваме от уравнението :

Функцията се задава параметрично
Производната на такава функция се намира по формулата:
.

Отговор:

Задача 2.Намерете диференциала от четвърти ред на функция
.

Решение.Диференциал
се нарича диференциал от първи ред.

Диференциал
се нарича диференциал от втори ред.

Диференциалът от n-ти ред се определя по формулата:
, където n=1,2,…

Нека намерим последователно производни.

Задача 3.В коя точка от графиката на функцията
допирателната към нея е успоредна на правата
? Направете рисунка.

Решение.По условие допирателните към графиката и дадената права са успоредни, така че наклоните на тези прави са равни един на друг.

Наклон на права линия
.

Наклон на допирателната към кривата в дадена точка намираме от геометричния смисъл на производната:

, където  е наклонът на допирателната към графиката на функцията
в точка .

За да намерим коефициентите на наклона на желаните линии, съставяме уравнението

Решавайки го, намираме абсцисите на двете точки на контакт:
и
.

От уравнението на кривата определяме ординатите на допирните точки:
и
.

Да направим рисунка.

Отговор: (-1;-6) и
.

Коментирайте : уравнение на допирателната към кривата в точка
изглежда като:

уравнението на нормалата към кривата в точка има формата:

Задача 4.Проведете пълно проучване на функцията и изградете нейната графика:

Решение.За пълно изследване на функцията и изграждане на нейната графика се използва следната примерна схема:

намерете обхвата на функцията;

изследва функцията за непрекъснатост и определя естеството на точките на прекъсване;

да се изследва функцията за четно и нечетно, периодичност;

намерете пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси;

изследва функцията за монотонност и екстремум;

намерете интервали на изпъкналост и вдлъбнатост, точки на инфлексия;

намерете асимптотите на графиката на функцията;

за прецизиране на графиката понякога е препоръчително да намерите допълнителни точки;

начертайте функцията според получените данни.

Прилагаме горната схема за изследване на тази функция.

Функцията не е нито четна, нито нечетна. Функцията не е периодична.

Точка
- точка на пресичане с оста x.

С у-ос:
.

Точка (0;-1) - пресечната точка на графиката с оста Oy.

Намираме производната.

при
и не съществува при
.

Критични точки:
и
.

Изследваме знака на производната на функцията върху интервалите .

Функцията намалява през интервали
; увеличава - на интервала
.

Намираме втората производна.

при
и не съществува за .

Критични точки от втори вид: и
.

Функцията е изпъкнала на интервала
, функцията е вдлъбната на интервалите
.

инфлексна точка,
.

Нека докажем това, като изследваме поведението на функцията близо до точката.

Нека намерим наклонени асимптоти

Тогава
- хоризонтална асимптота

Нека намерим допълнителни точки:

Въз основа на получените данни изграждаме графика на функцията.

Задача 5.Нека формулираме правилото на Бернули-Л'Хопитал като теорема.

Теорема: ако две функции
и
:

Намерете границите, като приложите правилото на Бернули-Л'Хопитал:

а)
; б)
; в)
.

Решение.а) ;

в)
.

Нека приложим идентичността
. Тогава

Задача 6.Дадена функция
. намирам , ,
.

Решение.Нека намерим частни производни.

Тотален диференциал на функция
изчислено по формулата:

Отговор:
,
,
.

Задача 7Разграничете:

Решение. а)Производната на сложна функция се намира по формулата:

;
;

Отговор:

б) Ако функцията е дадена неявно от уравнението
, тогава неговите частни производни се намират по формулите:

,
.

,
,
.

;
.

Отговор:
,
.

Задача 8Намерете локални, условни или глобални екстремуми на функция:

Решение. а)Нека намерим критичните точки на функцията, като решим системата от уравнения:

- критична точка.

Прилагаме достатъчни условия за екстремум.

Нека намерим вторите частични производни:

;
;
.

Съставяме детерминанта (дискриминант):

защото
, то в точката M 0 (4; -2) функцията има максимум.

Отговор: Z max \u003d 13.

б)
, при условие че
.

За да съставим функцията на Лагранж, прилагаме формулата

- тази функция

Комуникационно уравнение. може да се съкрати. Тогава. Лява и дясна граница. Теореми... Документ

... ДИФЕРЕНЦИАЛСЧИТАНИЯФУНКЦИИЕДНОПРОМЕНЛИВА 6 § 1. ФУНКЦИЯЕДНОПРОМЕНЛИВА, ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ 6 1.Дефиниция функцииединпроменлива 6 2.Методи на настройка функции 6 3. Сложни и обратни функции 7 4.Елементарно функции 8 § 2. ГРАНИЦА ФУНКЦИИ ...

Математика част 4 диференциално смятане на функции на няколко променливи серии диференциални уравнения

Урок

Математика. част 4 диференциалсмятанефункцииняколкопроменливи. Диференциалуравнения. Редове: Образователни ... математически анализ", " диференциалсмятанефункцииединпроменлива"и „Интеграл смятанефункцииединпроменлива". ЦЕЛИ И...

Смятането е клон на смятането, който изучава производната, диференциалите и тяхното използване при изследване на функция.

История на появата

Диференциалното смятане възниква като самостоятелна дисциплина през втората половина на 17 век, благодарение на работата на Нютон и Лайбниц, които формулират основните положения в диференциалното смятане и забелязват връзката между интегрирането и диференцирането. От този момент дисциплината се развива заедно с изчисляването на интегралите, като по този начин формира основата на математическия анализ. Появата на тези изчисления откри нов модерен период в математическия свят и предизвика появата на нови дисциплини в науката. Той също така разшири възможността за прилагане на математическите науки в природните науки и технологиите.

Основни понятия

Диференциалното смятане се основава на основните понятия на математиката. Те са: непрекъснатост, функция и граница. След известно време те придобиха модерен вид, благодарение на интегралното и диференциалното смятане.

Процес на създаване

Образуването на диференциалното смятане под формата на приложен, а след това и научен метод е настъпило преди появата на философска теориясъздаден от Николай от Куза. Неговите трудове се считат за еволюционно развитие от преценките на древната наука. Въпреки факта, че самият философ не е бил математик, неговият принос за развитието на математическата наука е неоспорим. Кузански е един от първите, които напускат разглеждането на аритметиката като най-точната област на науката, поставяйки математиката от онова време под съмнение.

За древните математици единицата е универсален критерий, докато философът предлага безкрайността като нова мярка вместо точното число. В това отношение представянето на прецизността в математическата наука е обърнато. Научното познание според него се дели на рационално и интелектуално. Второто е по-точно, според учения, тъй като първото дава само приблизителен резултат.

Идея

Основната идея и концепция в диференциалното смятане е свързана с функция в малки околности на определени точки. За целта е необходимо да се създаде математически апарат за изследване на функция, чието поведение в малка околност на установените точки е близко до поведението на полином или линейна функция. Това се основава на определението за производна и диференциал.

Появата е причинена от голям брой проблеми от природните науки и математиката, които доведоха до намиране на стойностите на границите от същия тип.

Една от основните задачи, които се дават като пример, започвайки от гимназията, е да се определи скоростта на точка, движеща се по права линия и да се построи допирателна към тази крива. Диференциалът е свързан с това, тъй като е възможно да се апроксимира функцията в малка околност на разглежданата точка на линейната функция.

В сравнение с концепцията за производна на функция на реална променлива, дефиницията на диференциалите просто преминава към функция от общ характер, по-специално към представянето на едно евклидово пространство върху друго.

Производна

Нека точката се движи по посока на оста Oy, за времето, което вземаме x, което се брои от определено начало на момента. Такова движение може да се опише с функцията y=f(x), която се присвоява на всеки времеви момент x от координатата на точката, която се премества. В механиката тази функция се нарича закон на движението. Основната характеристика на движението, особено неравномерното, е. Когато една точка се движи по оста Oy съгласно закона на механиката, тогава в произволен момент от време x тя придобива координатата f (x). В момента x + Δx, където Δx означава прираст на времето, неговата координата ще бъде f(x + Δx). Така се формира формулата Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), която се нарича нарастване на функцията. Той представлява пътя, изминат от точката във времето от x до x + Δx.

Във връзка с възникването на тази скорост в момента се въвежда производна. В произволна функция производната във фиксирана точка се нарича граница (при условие, че съществува). Може да се обозначи с определени символи:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Процесът на изчисляване на производната се нарича диференциране.

Диференциално смятане на функция на няколко променливи

Този метод на смятане се използва при изследване на функция с няколко променливи. При наличието на две променливи x и y, частната производна по отношение на x в точка A се нарича производна на тази функция по отношение на x с фиксирано y.

Може да се представи със следните символи:

f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x или ∂f(x,y)'/∂x.

Необходими умения

За да учите успешно и да можете да решавате дифузи, са необходими умения за интеграция и диференциация. За да улесните разбирането на диференциалните уравнения, трябва да имате добро разбиране на темата за производната и също така няма да навреди да научите как да търсите производната на имплицитно дадена функция. Това се дължи на факта, че в процеса на изучаване често ще е необходимо да се използват интеграли и диференциране.

Видове диференциални уравнения

Практически във всички контролна работа, свързани с има 3 вида уравнения: хомогенни, с разделими променливи, линейни нехомогенни.

Има и по-редки разновидности на уравнения: с тотални диференциали, уравнения на Бернули и др.

Основи на решението

Първо трябва да запомните алгебричните уравнения от училищния курс. Те съдържат променливи и числа. За да решите обикновено уравнение, трябва да намерите набор от числа, които отговарят на дадено условие. По правило такива уравнения имат един корен и за да се провери правилността, човек трябва само да замени тази стойност с неизвестното.

Диференциалното уравнение е подобно на това. Като цяло такова уравнение от първи ред включва:

независима променлива.
Производната на първата функция.
функция или зависима променлива.

В някои случаи едно от неизвестните, x или y, може да липсва, но това не е толкова важно, тъй като наличието на първа производна, без производни от по-висок ред, е необходимо за правилното решение и диференциалното смятане.

Да се реши диференциално уравнение означава да се намери множеството от всички функции, които отговарят на даден израз. Такъв набор от функции често се нарича общо решение на диференциалното уравнение.

Интегрално смятане

Интегралното смятане е един от клоновете на математическия анализ, който изучава концепцията за интеграл, неговите свойства и методи за изчисляването му.

Често изчисляването на интеграла се случва при изчисляване на площта на криволинейна фигура. Тази област означава границата, към която площта на многоъгълник, вписан в дадена фигура, се стреми с постепенно увеличаване на страната му, докато тези страни могат да бъдат направени по-малки от всяка предварително определена произволна малка стойност.

Основната идея при изчисляване на площта на произволна геометрична фигурасе състои в изчисляване на площта на правоъгълник, тоест доказване, че неговата площ е равна на произведението от дължина и ширина. Що се отнася до геометрията, всички конструкции се правят с линийка и компас и тогава съотношението дължина към ширина е рационална стойност. Когато изчислявате площта на правоъгълен триъгълник, можете да определите, че ако поставите същия триъгълник до него, тогава се образува правоъгълник. В успоредника площта се изчислява по подобен, но малко по-сложен метод, чрез правоъгълник и триъгълник. При полигоните площта се изчислява чрез триъгълниците, включени в нея.

При определяне на милостта на произволна крива този методняма да пасне. Ако го разделите на единични квадратчета, тогава ще има незапълнени места. В този случай човек се опитва да използва две корици, с правоъгълници отгоре и отдолу, в резултат на това те включват графиката на функцията, но не. Методът за разделяне на тези правоъгълници остава важен тук. Освен това, ако вземем деления, които все повече намаляват, тогава площта отгоре и отдолу трябва да се сближи при определена стойност.

Трябва да се върнете към метода на разделяне на правоъгълници. Има два популярни метода.

Риман формализира дефиницията на интеграла, създадена от Лайбниц и Нютон, като площ на подграф. В този случай бяха разгледани фигури, състоящи се от определен брой вертикални правоъгълници и получени чрез разделяне на сегмента. Когато с намаляването на дяла има граница, до която площта на подобна фигура намалява, тази граница се нарича интеграл на Риман на функция на даден интервал.

Вторият метод е конструирането на интеграла на Лебег, който се състои в това, че за мястото на разделяне на дефинираната област на части от интегранта и след това съставяне на интегралната сума от стойностите, получени в тези части, неговия диапазон от стойности се разделя на интервали и след това се сумира със съответните мерки на обратните образи на тези интеграли.

Съвременни предимства

Едно от основните ръководства за изучаване на диференциалното и интегралното смятане е написано от Фихтенголц – „Курс по диференциално и интегрално смятане“. Неговият учебник е основно ръководство за изучаване на математическия анализ, което е преминало през много издания и преводи на други езици. Създаден за студенти и отдавна се използва в много учебни заведения като едно от основните учебни помагала. Дава теоретични данни и практически умения. Публикуван за първи път през 1948 г.

Алгоритъм за изследване на функцията

За да се изследва функция с методите на диференциалното смятане, е необходимо да се следва вече дадения алгоритъм:

Намерете обхвата на функцията.
Намерете корените на даденото уравнение.
Изчислете крайности. За да направите това, изчислете производната и точките, в които тя е равна на нула.
Заместете получената стойност в уравнението.

Разновидности на диференциалните уравнения

DE от първи ред (в противен случай диференциално смятане на една променлива) и техните видове:

Уравнение с отделена променлива: f(y)dy=g(x)dx.
Най-простите уравнения или диференциално смятане на функция на една променлива, имащи формулата: y"=f(x).
Линейна нехомогенна DE от първи ред: y"+P(x)y=Q(x).
Диференциално уравнение на Бернули: y"+P(x)y=Q(x)y a .
Уравнение с общи диференциали: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Диференциални уравнения от втори ред и техните видове:

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни стойности на коефициента: y n +py"+qy=0 p, q принадлежи на R.
Линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянна стойност на коефициентите: y n +py"+qy=f(x).
Линейно хомогенно диференциално уравнение: y n +p(x)y"+q(x)y=0 и нехомогенно уравнение от втори ред: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Диференциални уравнения от по-висок ред и техните видове:

Диференциално уравнение, позволяващо по-нисък ред: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
Линейното уравнение от по-висок ред е хомогенно: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, и нехомогенни: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Етапи на решаване на задача с диференциално уравнение

С помощта на дистанционно управление се решават не само математически или физически въпроси, но и различни задачи от биологията, икономиката, социологията и други неща. Въпреки голямото разнообразие от теми, при решаването на такива проблеми трябва да се придържате към една логическа последователност:

Съставяне на DU. Една от най-трудните стъпки, която изисква максимална прецизност, тъй като всяка грешка ще доведе до напълно грешни резултати. Трябва да се вземат предвид всички фактори, влияещи върху процеса, и да се определят началните условия. Също така трябва да се основава на факти и логични заключения.
Решение на формулираното уравнение. Този процес е по-прост от първата точка, тъй като изисква само строги математически изчисления.
Анализ и оценка на получените резултати. Полученото решение трябва да бъде оценено, за да се установи практическата и теоретичната стойност на резултата.

Пример за използване на диференциални уравнения в медицината

Използването на дистанционно управление в областта на медицината се среща при изграждането на епидемиологични математически модел. В същото време не трябва да забравяме, че тези уравнения се срещат и в биологията и химията, които са близки до медицината, тъй като изучаването на различни биологични популации и химични процеси в човешкото тяло играе важна роля в това.

В горния пример за епидемия може да се разгледа разпространението на инфекция в изолирано общество. Жителите се делят на три типа:

Заразени, брой x(t), състоящи се от индивиди, носители на инфекцията, всеки от които е заразен (инкубационният период е кратък).
Вторият вид включва податливи индивиди y(t), които могат да се заразят чрез контакт със заразени индивиди.
Третият вид включва имунни индивиди z(t), които са имунизирани или са умрели поради заболяване.

Броят на индивидите е постоянен, като не се отчитат ражданията, естествените смъртни случаи и миграцията. Тя ще се базира на две хипотези.

Процентът на заболеваемост в определен момент от време е x(t)y(t) (въз основа на предположението, че броят на случаите е пропорционален на броя на пресичанията между болните и податливите представители, което в първото приближение ще бъде пропорционално на x(t)y(t)), в Следователно броят на болните се увеличава, а броят на податливите хора намалява със скорост, която се изчислява по формулата ax(t)y(t) (a > 0).

Броят на имунизираните индивиди, които са придобили имунитет или са починали, се увеличава със скорост, която е пропорционална на броя на случаите, bx(t) (b > 0).

В резултат на това е възможно да се състави система от уравнения, като се вземат предвид и трите показателя и да се направят изводи въз основа на нея.

Пример за използване в икономиката

Диференциалното смятане често се използва в икономическия анализ. Основната задача в икономическия анализ е изследването на величини от икономиката, които се записват под формата на функция. Това се използва при решаване на проблеми като промени в доходите веднага след увеличаване на данъците, въвеждане на мита, промени в приходите на компанията, когато се променят производствените разходи, в каква пропорция могат да бъдат заменени пенсионирани работници с ново оборудване. За да се решат такива въпроси, е необходимо да се конструира функция за свързване от входните променливи, които след това се изучават с помощта на диференциалното смятане.

В икономическата сфера често е необходимо да се намерят най-оптималните показатели: максимална производителност на труда, най-висок доход, най-ниски разходи и т.н. Всеки такъв индикатор е функция на един или повече аргументи. Например, производството може да се разглежда като функция на вложения труд и капитал. В това отношение намирането на подходяща стойност може да се сведе до намиране на максимума или минимума на функция от една или повече променливи.

Проблеми от този вид създават клас екстремални проблеми в икономическата област, чието решаване изисква диференциално смятане. Когато един икономически индикатор трябва да бъде минимизиран или максимизиран като функция на друг индикатор, тогава в точката на максимум съотношението на увеличението на функцията към аргументите ще клони към нула, ако увеличението на аргумента клони към нула. В противен случай, когато такова съотношение клони към някаква положителна или отрицателна стойност, посочената точка не е подходяща, тъй като чрез увеличаване или намаляване на аргумента можете да промените зависимата стойност в желаната посока. В терминологията на диференциалното смятане това ще означава, че изискваното условие за максимума на функция е нулевата стойност на нейната производна.

В икономиката често има задачи за намиране на екстремума на функция с няколко променливи, тъй като икономическите показатели се състоят от много фактори. Такива въпроси са добре проучени в теорията на функциите на няколко променливи, прилагайки методите на диференциалното изчисление. Такива проблеми включват не само максимизирани и минимизирани функции, но и ограничения. Такива въпроси са свързани с математическото програмиране и се решават с помощта на специално разработени методи, също базирани на този клон на науката.

Сред методите на диференциалното смятане, използвани в икономиката, важен раздел е маргиналния анализ. В икономическата сфера този термин се отнася до набор от методи за изследване на променливи показатели и резултати при промяна на обема на създаване, потребление, въз основа на анализа на техните пределни показатели. Ограничаващият индикатор е производната или частните производни с няколко променливи.

Диференциалното смятане на няколко променливи е важна тема в областта на математическия анализ. За подробно проучване можете да използвате различни учебни ръководстваза висши учебни заведения. Един от най-известните е създаден от Фихтенголц - "Курс по диференциално и интегрално смятане". Както подсказва името, уменията за работа с интеграли са от голямо значение за решаването на диференциални уравнения. Когато се извърши диференциалното смятане на функция на една променлива, решението става по-просто. Въпреки че, трябва да се отбележи, той се подчинява на същите основни правила. За да се изучава функция на практика чрез диференциално смятане, е достатъчно да се следва вече съществуващият алгоритъм, който се дава в гимназията и само леко се усложнява, когато се въвеждат нови променливи.

Лухов Ю.П. Конспект на лекции по висша математика. 6

Лекция 22

ТЕМА: Диференциално смятане на функция на няколко променливи s x

Планирайте.

Диференциране на сложни функции. Инвариантност на диференциалната форма.
Неявни функции, условия за тяхното съществуване. Диференциране на неявни функции.
Частни производни и диференциали от по-високи разряди, техните свойства.*
Допирателна равнина и нормала на повърхнина. Геометричният смисъл на диференциала. Формула на Тейлър за функция на няколко променливи.*
Производна на функция по посока. Градиент и неговите свойства.

Диференциране на сложни функции

Нека аргументите на функцията z \u003d f (x, y) u и v: x \u003d x (u, v), y \u003d y (u, v). Тогава функцията f има и функция u и v. Разберете как да намерите неговите частни производни по отношение на аргументите u и v без да правите директна замяна z = f(x(u, v), y(u, v)). В този случай ще приемем, че всички разглеждани функции имат частни производни по отношение на всичките си аргументи.

Задайте аргумента u увеличение Δ u , без да променя аргумента v. Тогава

. (16. 1 )

Ако зададете нарастването само на аргумента v, получаваме:

. (16. 2 )

Разделяме двете части на равенството (16. 1 ) върху Δ u и равенства (16. 2 ) върху Δ v и преминават към границата, съответно, за Δ u → 0 и Δv → 0. В този случай отчитаме, че поради непрекъснатостта на функциите x и y. Следователно,

(16. 3 )

Нека разгледаме някои специални случаи.

Нека x = x(t), y = y(t). Тогава функцията f(x, y) всъщност е функция на една променлива T , и е възможно, като се използват формулите ( 43 ) и замяна на частните производни в тях x и y от u и v към обичайните производни по отношение на T (разбира се, при условие на диференцируемост на функциите x(t) и y(t) ), получете израз за:

(16. 4 )

Нека сега приемем, че as T предпочитана променлива x, т.е. x и y свързани със съотношението y = y(x). В този случай, както и в предишния случай, функцията f x. Използвайки формула (16.4) за t=x и като вземем предвид това, получаваме това

. (16. 5 )

Обърнете внимание, че тази формула съдържа две производни на функцията f по аргумент x : отляво е т.нартотална производна, за разлика от частния вдясно.

Примери.

Нека z = xy, където x = u ² + v, y = uv ². Да намерим и За да направим това, първо изчисляваме частичните производни на три дадени функции по отношение на всеки от техните аргументи:

Тогава от формула (16.3) получаваме:

(В крайния резултат заместваме изразите за x и y като функции на u и v).

Нека намерим общата производна на функцията z = sin (x + y ²), където y = cos x.

Диференциална инвариантност на формата

Използвайки формули (15.8) и (16. 3 ), изразяваме общия диференциал на функцията

z = f (x, y), където x = x (u, v), y = y (u, v), чрез диференциали на променливи u и v:

(16. 6 )

Следователно формата на диференциала се запазва за аргументите u и v същото като за функциите на тези аргументи x и y , тоест еинвариантни (непроменливи).

Неявни функции, условия за тяхното съществуване

Определение. Функция y от x , определени от уравнението

F (x, y) = 0, (16.7)

Наречен неявна функция.

Разбира се, не всяко уравнение от формата ( 16.7) определя y като еднозначна (и освен това непрекъсната) функция нах . Например уравнението на елипсата

пита y като двузначна функция наХ : за

Условията за съществуване на еднозначна и непрекъсната неявна функция се определят от следната теорема:

Теорема 1 (няма доказателство). Позволявам:

функция F(x, y) е дефинирана и непрекъсната в някакъв правоъгълник с център в точката ( x 0, y 0);
F (x 0 , y 0 ) = 0 ;
при константа x F (x, y) монотонно нараства (или намалява) с увеличаванепри .

Тогава

а) в някаква околност на точката ( x 0, y 0 ) уравнение (16.7) определя y като еднозначна функция на x: y \u003d f (x);

б) при x \u003d x 0 тази функция приема стойността y 0 : f (x 0 ) = y 0 ;

в) функцията f(x) е непрекъсната.

Нека намерим при посочените условия производната на функцията y = f(x) върху x.

Теорема 2. Нека функцията y от x се дава имплицитно от уравнението ( 16.7), където функцията F (x, y) удовлетворява условията на теорема 1. Нека в допълнение- непрекъснати функции в някаква областд съдържаща точка(x, y), чиито координати удовлетворяват уравнението ( 16.7 ), и в този момент
. Тогава функцията y от x има производна

(16.8 )

Доказателство.

Нека изберем някаква стойностх и съответната му стойностпри . Нека зададем нарастването на x Δ x, след това функцията y \u003d f (x) ще получи увеличение Δпри . В същото време F (x, y) = 0, F (x + Δ x, y + Δ y) = 0, следователно F (x + Δ x, y + Δ y) - F (x, y) = 0. Отляво в това равенство е пълното нарастване на функцията F(x, y), което може да бъде представено като ( 15.5 ):

Разделяйки двете части на полученото равенство на Δх , изразяваме от него: .

В лимита при
, предвид това и
, получаваме: . Теоремата е доказана.

Пример. Намерете дали. Да намерим.

Тогава от формулата ( 16.8 ) получаваме: .

Производни и диференциали от по-високи разряди

Функции с частни производни z = f(x, y) са от своя страна функции на променливите x и y . Следователно могат да се намерят техните частни производни по отношение на тези променливи. Нека ги обозначим така:

Така се получават четири частни производни от 2-ри ред. Всеки от тях може да бъде разграничен отново според x и y и получаваме осем частични производни от 3-ти ред и т.н. Дефинираме производните от по-висок ред, както следва:

Определение . частен дериват n-ти ред функции на няколко променливи се нарича първа производна на производната ( n – 1)ти ред.

Частичните производни имат важно свойство: резултатът от диференциацията не зависи от реда на диференциация (например,).

Нека докажем това твърдение.

Теорема 3. Ако функцията z = f (x, y) и неговите частични производни
определени и непрекъснати в точка M (x, y) и в някои от неговите околности, тогава в този момент

(16.9 )

Доказателство.

Разгледайте израза и въведете спомагателна функция. Тогава

От условията на теоремата следва, че е диференцируема на отсечката [ x , x + ∆x ], така че към него може да се приложи теоремата на Лагранж: където

[x, x + ∆x ]. Но тъй като в близост до точкатаМ е дефинирана, диференцируема на интервала [ y , y + ∆y ], следователно можем отново да приложим теоремата на Лагранж към получената разлика: , където Тогава

Нека променим реда на членовете в израза заНО :

И въвеждаме друга спомагателна функция, след което след извършване на същите трансформации като за, получаваме какво къде. Следователно,

Поради приемствеността и Следователно, преминавайки към границата при получаваме това, което трябваше да се докаже.

Последица. Това свойство е валидно за производни от произволен ред и за функции на произволен брой променливи.

Диференциали от по-висок порядък

Определение . диференциал от втори редсе извиква функция u = f(x, y, z).

По същия начин можем да дефинираме диференциали от 3-ти и по-висок ред:

Определение . диференциал на поръчкатак се нарича общ диференциал на диференциала на порядъка ( k - 1): d k u \u003d d (d k - 1 u).

Свойства на диференциали от по-висок порядък

к -тият диференциал е хомогенен целочислен полином от степенк по отношение на диференциали на независими променливи, чиито коефициенти са частни производник ти ред, умножени по целочислени константи (същите като при нормално степенуване):

Диференциалите от порядък по-висок от първия не са инвариантни при избора на променливи.

Допирателна равнина и нормала на повърхнина. Геометричният смисъл на диференциала

Нека функцията z = f(x, y) е диференцируема в околност на точката M (x 0, y 0) . Тогава неговите частични производни са наклоните на допирателните към линиите на пресичане на повърхността z \u003d f (x, y) с равнини y \u003d y 0 и x \u003d x 0 , която ще бъде допирателна към самата повърхност z = f(x, y). Нека напишем уравнение за равнината, минаваща през тези прави. Насочващите вектори на тангентите имат формата (1; 0; ) и (0; 1; ), така че нормалата към равнината може да бъде представена като тяхното векторно произведение:н = (-,-, 1). Следователно уравнението на равнината може да бъде написано като:

, (16.10 )

където z 0 = .

Определение. Равнината, определена от уравнението ( 16.10 ), се нарича допирателна равнина към графиката на функцията z = f(x, y) в точката с координати(x 0 , y 0 , z 0 ) .

От формулата (15.6 ) за случая на две променливи следва, че нарастването на функцията f в близост до точкатаМ може да се представи като:

Или

(16.11 )

Следователно разликата между приложенията на функционалната графика и допирателната равнина е безкрайно малък по-висок порядък отρ, като ρ→ 0.

В този случай диференциалът на функцията f изглежда така:

което съответства на нарастването на апликацията на допирателната равнина към графиката на функцията. Това е геометричното значение на диференциала.

Определение. Ненулев вектор, перпендикулярен на допирателната равнина в точка M (x 0, y 0) повърхности z \u003d f (x, y) , се нарича нормала към повърхността в тази точка.

Като нормала към разглежданата повърхност е удобно да вземем вектора - n = (,-1).

z = f(x,y)

M 0 (x 0, y 0, z 0)

M (x 0, y 0)

Пример.

Съставете уравнението на допирателната равнина към повърхността z = xy в точка M (1; 1). Когато x 0 \u003d y 0 \u003d 1 z 0 \u003d един; . Следователно допирателната равнина се дава от уравнението: z = 1 + (x - 1) + (y - 1) или x + y - z - 1 = 0. В този случай нормалният вектор в дадена точка от повърхността има формата: n = (1; 1; -1).

Намерете увеличението на приложението на графиката на функцията и допирателната равнина при преминаване от точката M до точка N (1,01; 1,01).

Δz \u003d 1,01² - 1 \u003d 0,0201; Δ z cas = (1,01 + 1,01 - 1) - (1 + 1 - 1) = 0,02. Следователно,

dz \u003d Δ z cas \u003d 0,02. В този случай Δz – dz = 0,0001.

Формула на Тейлър за функция на няколко променливи

Както е известно, функцията F(t) предмет на съществуването на неговите производни на редан +1 може да се разшири по формулата на Тейлър с остатъчен член във формата на Лагранж (виж формули (21), (2 5 )). Записваме тази формула в диференциална форма:

(16.1 2 )

където

В тази форма формулата на Тейлър може да бъде разширена до случай на функция на няколко променливи.

Да разгледаме функция на две променливи f(x, y) , което има точка ( x 0, y 0 ) непрекъснати производни по отношение на (н + 1)та поръчка включително. Нека зададем аргументите x и y някои увеличения Δ x и Δy и разгледайте нова независима променлива T :

(0 ≤ t ≤ един). Тези формули определят отсечка от права линия, свързваща точките ( x 0, y 0) и (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y ). Тогава вместо увеличението Δ f (x 0, y 0) можем да разгледаме увеличението на спомагателната функция

F(t) = f (x 0 + t Δ x, y 0 + t Δ y) , (16.1 3 )

равно на Δ F (0) = F (1) - F (0). Но F(t) е функция на една променлива T , следователно формулата (16.1 2). Получаваме:

Имайте предвид, че за линеен промяна на променливите, диференциалите от по-високи порядки имат свойството инвариантност, т.е.

Замествайки тези изрази в (16.1 2), получаваме Формула на Тейлър за функция на две променливи:

, (16.1 4 )

където 0< θ <1.

Коментирайте.В диференциална форма формулата на Тейлър за случая на няколко променливи изглежда доста проста, но в разширена форма е много тромава. Например, дори за функция от две променливи, нейните първи членове изглеждат така:

Производна по посока. Градиент

Нека функциятаu = f (х, г, z) непрекъснато в някаква областди има непрекъснати частни производни в тази област. Нека изберем точка в разглежданата областМ(х, г, z) и начертайте вектор от негоС, чиято посока е косинусcosα, cosβ, cosγ. На вектораСна разстояние Δсот началото му намираме точкаМ1 (x+Δ x, y+Δ y,z+ Δ z), където

Нека представим пълното увеличение на функциятаfкато:

където

След разделяне на Δсполучаваме:

Тъй като предишното равенство може да се пренапише като:

(16.15 )

Определение.Границата на отношението при се наричапроизводна на функцияu = f (х, г, z) по посока на вектораСи е маркиран.

Въпреки това, от (16.1 5 ) получаваме:

(16.1 6 )

Забележка 1. Частичните производни са специален случай на производната по посока. Например, когато получим:

Забележка 2.По-горе геометричното значение на частните производни на функция от две променливи беше дефинирано като коефициентите на наклона на допирателните към линиите на пресичане на повърхността, която е графиката на функцията, с равнинитех = х0 иy = y0 . По подобен начин можем да разгледаме производната на тази функция по отношение на посокаталв точкатаM(x0 , г0 ) като наклона на пресечната линия на дадената повърхност и равнината, минаваща през точкатаМуспоредна на остаОzи директнол.

Определение. Вектор, чиито координати във всяка точка от някаква област са частни производни на функциятаu = f (х, г, z) в този момент се наричаградиентфункцииu = f (х, г, z).

Обозначаване:градu = .

градиентни свойства

Производна по посока на някакъв векторСе равно на проекцията на вектораградuна векторС.

Доказателство. Единичен вектор на посокатаСима форматадС ={ cosα, cosβ, cosγ), така че дясната страна на формулата (16.16 ) е скаларното произведение на векторитеградuидс, тоест посочената проекция.

Производна в дадена точка по посока на вектораСима най-голяма стойност, равна на |градu| ако тази посока е същата като посоката на градиента. Доказателство. Означете ъгъла между векторитеСиградuпрез φ. Тогава от свойство 1 следва, че

| градu|∙ cosφ, (16.1 7 )

следователно най-голямата му стойност се достига при φ=0 и е равна на |градu|.

Производна по отношение на посоката на вектор, перпендикулярен на вектораградu, е равно на нула.

Доказателство.В този случай във формулата (16.17)

Акоz = f (х, г) тогава е функция на две променливиградf= насочен перпендикулярно на линията на нивотоf (х, г) = ° С, преминавайки през тази точка.

Катедра по информатика и висша математика, KSPU

Въпроси за изпита по математика. II семестър.

При отговор на въпрос е необходимо да се дефинират всички използвани термини.

Алгебра.

1. Групи, пръстени, полета. Групов изоморфизъм.

2. Дефиниция на линейно пространство. Теорема за линейно зависими и независими системи от вектори.

3. Теоремата за линейната зависимост на система от k вектора, всеки от които е линейна комбинация от някаква система от m вектора (k>m).

4. Основа на линейно пространство. Теорема за инвариантността на броя на елементите на основата. Теоремата за броя на елементите на линейно независима система (Т. 1.3, Т. 1.4).

5. Векторни координати. Теореми за векторни координати (T.1.5 и T.1.7).

6. Определение и свойства на скаларното произведение. Ъгъл между векторите.

7. Интервали и .

8. Подпространство на линейно пространство. Линеен обхват на система от вектори.

9. Матрици: определение; събиране и умножение. Размерност и базис на пространството на матрици с еднакъв размер.

10. Матрично умножение. Имоти.

11. Обратни и транспонирани матрици.

12. Умножение на матрици, разделени на блокове.

13. Ортогонални матрици.

14. Детерминанта на матрица: определение, разгъване в първа колона. Детерминанта на горни и долни триъгълни матрици. Връзка на детерминанти и .

15. Пермутации.

16. Теоремата за изразяване на детерминантата чрез сумата от членове, всеки от които съдържа произведението на матрични елементи (по един от всеки ред и всяка колона), оборудвани със знак според някакво правило.

17. Свойства на детерминантите: пермутация на редове (колони), разширение в произволна колона (ред), сума от произведенията на елементи от i-тия ред чрез алгебрични допълнения на съответните елементи от j-тия ред.

18. Линейност на детерминантата върху елементите на ред или колона. Детерминанта на матрица, чиито редове (колони) са линейно зависими. Детерминантата на матрица, към чийто ред се добавя друг, умножен по число.

19. Детерминанта на блоковата матрица. Детерминанта на произведението на матрици.

20. Обратна матрица. Следствия върху триъгълни матрици.

21. Матрици на елементарни преобразувания.

22. Методът на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения в случаите, когато системите са непоследователни или имат единствено решение.

23. Методът на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения в случай, че системите имат безкрайно много решения. Структурата на общото решение на системите.

24. Хомогенни системи линейни уравнения.

25. Теорема на Крамър.

26. Хоризонтални и вертикални рангове на матрицата. Малък ранг. Тяхното съвпадение за трапецовидна матрица.

27. Инвариантност на ранга на матрица, когато се умножи по неизродена. Теорема за равенството на ранговете за произволна матрица.

28. Теорема на Кронекер-Капели.

29. Собствени стойности и матрични вектори. Съвпадение на характеристични полиноми за подобни матрици. Линейна независимост на собствените вектори, съответстващи на различни собствени стойности.

30. Връзка между линейната зависимост на системата от вектори и съответната система от координатни колони. Комуникация на координатни колони на един вектор в различни бази.

31. Линейно картографиране на линейни пространства. Матрица на дисплея в някои бази. Използването му за изчисляване на изображението на вектор. Връзка на матрици за картографиране в различни бази.

32. Ядро и изображение на дисплея. Ранг на дисплея, връзката му с ранга на матрицата на дисплея.

33. Собствени стойности и собствени вектори на оператора. Операторна матрица в базиса на собствените вектори.

34. Линейна независимост на собствените вектори, съответстващи на различни собствени стойности на оператор. Собствени подпространства, тяхната размерност. Последствия.

35. Евклидови и унитарни пространства. Процес на ортогонализиране на Грам-Шмид.

36. Теорема за собствените стойности и собствените вектори на реална симетрична матрица.

37. Теорема за ортогонално подобие за реална симетрична матрица на някои диагонална матрица. Последствия.

38. Дефиниция на билинейни и квадратични форми. Матрица на билинейна форма в някакъв базис, използването й за изчисляване на билинейна форма. Свързване на матрици от една и съща билинейна форма в различни бази.

39. Теорема за съществуване за ортогонална трансформация на базис, която редуцира квадратна форма до канонична форма. Практически метод за редуциране на квадратна форма до канонична форма с помощта на ортогонална трансформация на базиса (метод на собствените вектори). Изграждане на крива

40. Теорема за необходимо и достатъчно условие за положителна (отрицателна) определеност на квадратна форма.

41. Теоремата за съществуването на триъгълна трансформация на база, която редуцира квадратна форма до канонична форма. Критерият на Силвестър.

Математически анализ.

Диференциално смятане на функции на няколко променливи.

42. Последователност от точки в .Теорема за координатна сходимост.

43. Функционална граница Рпроменливи. Непрекъснатост на функцията Рпроменливи. Теорема на Вайерщрас.

44. Диференцируемост на функция Рпроменливи. Диференцируемост на сумата и произведението на диференцируеми функции.

45. Частни производни на функции Рпроменливи. Връзка между диференцируемостта на функция и съществуването на частни производни. Пример за функция, която има частични производни в точка А, но не е диференцируема в тази точка.

46. Диференцируемост на функция при съществуване и непрекъснатост на частни производни.

47. Производна на сложна функция. Частни производни на сложна функция. Инвариантност на формата на първия диференциал.

48. Частни производни от по-високи разряди. Теорема за равенството на смесените производни.

49. Диференциали от по-високи разряди. Липсата на инвариантност на формата за диференциали с порядък по-висок от първия.

50. Формула на Тейлър за функции на p променливи.

51. Теорема за съществуването и диференцируемостта на неявно дадена функция на една променлива. Изчисляване на първа и втора производна на функция y(x), дадено имплицитно от уравнението

52. Теорема за съществуването и диференцируемостта на неявно дадени функции на p променливи, дадени от система от функционални уравнения. Техники за изчисляване на производни. Изчисляване на първа и втора производна на функция z(x,y), дадено имплицитно от уравнението

Изчисляване на първите производни на функции y(x), z(x), u(x),имплицитно зададени от системата

53. Определяне на точки на екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за съществуване на точки на екстремум.

54. Определяне на условни точки на екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за съществуване на условни точки на екстремум. Пример: намерете условни точки на екстремум на функция при условието .

Когато отговаряте за оценка 3, трябва да знаете всички дефиниции и формулировки от въпроси 1 - 54, както и доказателствата на теореми от въпроси 25, 29, 33, 40, 46, 49. Бележките (и мамалните листове) не могат да бъдат използвани.